有關余數(shù)的題目及答案1.題目：計算\(1234\times5678\)除以7的余數(shù)。答案：首先計算\(1234\times5678\)的結果，然后除以7求余數(shù)。由于直接計算這個乘積非常大，我們可以采用模運算的方法簡化計算。首先計算\(1234\mod7\)和\(5678\mod7\)，然后計算這兩個結果的乘積，最后再對7取余數(shù)。\(1234\mod7=6\)（因為\(1234=176\times7+6\)）\(5678\mod7=6\)（因為\(5678=811\times7+6\)）接下來計算\(6\times6=36\)，然后\(36\mod7=1\)（因為\(36=5\times7+1\)）所以，\(1234\times5678\)除以7的余數(shù)是1。2.題目：求\(100^{100}\)除以3的余數(shù)。答案：根據(jù)費馬小定理，如果\(p\)是一個質數(shù)，且\(a\)是不被\(p\)整除的整數(shù)，則\(a^{p-1}\equiv1\modp\)。這里\(p=3\)，\(a=100\)，所以\(100^2\equiv1\mod3\)。因為\(100\equiv1\mod3\)（因為\(100=33\times3+1\)），所以\(100^{100}\equiv1^{50}\equiv1\mod3\)。所以，\(100^{100}\)除以3的余數(shù)是1。3.題目：計算\(2^{2019}\)除以7的余數(shù)。答案：我們可以使用歐拉定理，該定理指出如果\(a\)和\(n\)互質，則\(a^{\phi(n)}\equiv1\modn\)，其中\(zhòng)(\phi(n)\)是歐拉函數(shù)。對于\(n=7\)，\(\phi(7)=6\)，因為7是質數(shù)。所以，\(2^6\equiv1\mod7\)。我們可以將\(2^{2019}\)寫成\(2^{6\times336+3}\)的形式，即\((2^6)^{336}\times2^3\)。由于\((2^6)^{336}\equiv1^{336}\equiv1\mod7\)，我們只需要計算\(2^3\mod7\)。\(2^3=8\)，\(8\mod7=1\)。所以，\(2^{2019}\)除以7的余數(shù)是1。4.題目：求\(3^{2023}\)除以5的余數(shù)。答案：同樣使用歐拉定理，對于\(n=5\)，\(\phi(5)=4\)。所以，\(3^4\equiv1\mod5\)。我們可以將\(3^{2023}\)寫成\(3^{4\times505+3}\)的形式，即\((3^4)^{505}\times3^3\)。由于\((3^4)^{505}\equiv1^{505}\equiv1\mod5\)，我們只需要計算\(3^3\mod5\)。\(3^3=27\)，\(27\mod5=2\)。所以，\(3^{2023}\)除以5的余數(shù)是2。5.題目：計算\(77^{78}\)除以11的余數(shù)。答案：使用費馬小定理，因為11是質數(shù)，所以\(77^{10}\equiv1\mod11\)。我們可以將\(77^{78}\)寫成\(77^{10\times7+8}\)的形式，即\((77^{10})^7\times77^8\)。由于\((77^{10})^7\equiv1^7\equiv1\mod11\)，我們只需要計算\(77^8\mod11\)。\(77\equiv0\mod11\)（因為\(77=7\times11\)），所以\(77^8\equiv0^8\equiv0\mod11\)。所以，\(77^{78}\)除以11的余數(shù)是0。6.題目：求\(98^{99}\)除以13的余數(shù)。答案：使用歐拉定理，對于\(n=13\)，\(\phi(13)=12\)。所以，\(98^{12}\equiv1\mod13\)。我們可以將\(98^{99}\)寫成\(98^{12\times8+3}\)的形式，即\((98^{12})^8\times98^3\)。由于\((98^{12})^8\equiv1^8\equiv1\mod13\)，我們只需要計算\(98^3\mod13\)。\(98\equiv12\mod13\)（因為\(98=7\times13+12\)），所以\(98^3\equiv12^3\mod13\)。\(12^3=1728\)，\(1728\mod13=12\)（因為\(1728=133\times13+12\)）。所以，\(98^{99}\)除以13的余數(shù)是12。7.題目：計算\(2023^{2024}\)除以17的余數(shù)。答案：使用歐拉定理，對于\(n=17\)，\(\phi(17)=16\)。所以，\(2023^{16}\equiv1\mod17\)。我們可以將\(2023^{2024}\)寫成\(2023^{16\times126+8}\)的形式，即\((2023^{16})^{126}\times2023^8\)。由于\((2023^{16})^{126}\equiv1^{126}\equiv1\mod17\)，我們只需要計算\(2023^8\mod17\)。\(2023\equiv15\mod17\)（因為\(2023=118\times17+15\)），所以\(2023^8\equiv15^8\mod17\)。\(15^2=225\)，\(225\mod17=4\)（因為\(225=13\times17+4\)）。\(15^4