鞏固與拓展數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，下列函數(shù)中，單調(diào)遞增的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=2^x$

C.$f(x)=\lnx$

D.$f(x)=x^{-1}$

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別為$a_1,a_2,a_3$，且$a_1+a_3=6$，$a_2=3$，則該數(shù)列的公差$d$等于：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若一個平面圖形的面積是$S$，它的周長是$P$，則下列哪個不等式成立：

A.$S>P$

B.$S\leqP$

C.$S=P$

D.無關(guān)

4.在三角形$ABC$中，$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，則$A$的度數(shù)是：

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$60^\circ$

D.$90^\circ$

5.已知復(fù)數(shù)$z=1+i$，則$z^2$等于：

A.$2i$

B.$2+2i$

C.$-2i$

D.$-2+2i$

6.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q\neq1$，且$a_1=2$，$a_2=4$，則$a_3$等于：

A.8

B.6

C.12

D.10

7.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(2,3)$關(guān)于$x$軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.$(2,-3)$

B.$(-2,3)$

C.$(-2,-3)$

D.$(2,3)$

8.若$\triangleABC$中，$a:b:c=3:4:5$，則$\triangleABC$為：

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.無特殊性質(zhì)

9.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=2n^2+3n$，則$a_1$等于：

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(3,4)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.$(3,4)$

B.$(4,3)$

C.$(-3,-4)$

D.$(-4,-3)$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是：

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\cosx$

C.$f(x)=\lnx$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差$d>0$，則下列說法正確的是：

A.$a_1>a_2$

B.$a_2>a_3$

C.$a_3>a_4$

D.$a_4>a_5$

3.在直角坐標(biāo)系中，下列直線方程中，表示斜率為負(fù)數(shù)的是：

A.$y=-2x+1$

B.$y=0$

C.$y=\frac{1}{2}x-1$

D.$y=x$

4.已知復(fù)數(shù)$z=2+3i$，則$z$的實(shí)部、虛部和模分別是：

A.實(shí)部為2，虛部為3，模為$\sqrt{13}$

B.實(shí)部為2，虛部為3，模為$\sqrt{13}$

C.實(shí)部為3，虛部為2，模為$\sqrt{13}$

D.實(shí)部為3，虛部為2，模為$\sqrt{13}$

5.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q\neq1$，且$a_1=5$，$a_2=10$，則下列說法正確的是：

A.$a_3=20$

B.$a_4=40$

C.$a_5=80$

D.$a_6=160$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若一個二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，則$a$的取值范圍是________，$h$和$k$的取值分別是________和________。

2.在三角形$ABC$中，已知$a=5$，$b=6$，$c=7$，則該三角形的外接圓半徑$R$的值為________。

3.復(fù)數(shù)$z=3-4i$的共軛復(fù)數(shù)為________。

4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，則數(shù)列的第$n$項(xiàng)$a_n$可以表示為________。

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(1,-2)$到直線$y=-\frac{1}{2}x+3$的距離為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，求$f'(x)$并求出$f'(x)$在$x=1$時的值。

2.計算下列積分：$\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx$。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，求前$10$項(xiàng)的和$S_{10}$。

4.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}$，求矩陣$AB$。

5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$P(2,3)$和點(diǎn)$Q(-1,4)$，求線段$PQ$的中點(diǎn)坐標(biāo)。

6.已知復(fù)數(shù)$z=1+3i$，求$z$的模$|z|$和$z$的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$。

7.求解方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

3x-2y=1

\end{cases}

\]

8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f'(x)$并求出$f'(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$時的值。

9.計算下列極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$。

10.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&-1\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$，求矩陣$A$和$B$的行列式$|A|$和$|B|$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.B

2.B

3.B

4.D

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.B

二、多項(xiàng)選擇題答案：

1.B

2.B,C,D

3.A,C

4.A,C

5.A,B,C,D

三、填空題答案：

1.$a>0$，$h$的取值是$\frac{-b}{2a}$，$k$的取值是$-\frac{\Delta}{4a}$。

2.$\frac{7}{2}$

3.$3+4i$

4.$a_n=a_1+(n-1)d$

5.$\frac{5}{\sqrt{5}}$或$\sqrt{5}$

四、計算題答案及解題過程：

1.解：$f'(x)=3x^2-6x$，$f'(1)=3(1)^2-6(1)=-3$。

2.解：$\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx=\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+4x\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+4=\frac{7}{2}$。

3.解：$S_{10}=\frac{10(2\cdot3+(10-1)\cdot2)}{2}=10\cdot5=50$。

4.解：$AB=\begin{bmatrix}1\cdot2+2\cdot0&1\cdot1+2\cdot3\\3\cdot2+4\cdot0&3\cdot1+4\cdot3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&7\\6&15\end{bmatrix}$。

5.解：中點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(\frac{2+(-1)}{2},\frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$。

6.解：$|z|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\overline{z}=1-3i$。

7.解：$2x+3y=8$，$3x-2y=1$，解得$x=2$，$y=1$。

8.解：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，$f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\left(\left(\frac{\pi}{4}\right)^2+1\right)^2}$。

9.解：$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。

10.解：$|A|=1\cdot(-1)-(-2)\cdot3=5$，$|B|=2\cdot3-1\cdot1=5$。

知識點(diǎn)總結(jié)：

選擇題考察了函數(shù)性質(zhì)、數(shù)列、幾何、復(fù)數(shù)等基本概念。

多項(xiàng)選擇題考察了數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、幾何圖形的性質(zhì)等。

填空題考察了函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、三角形的外接圓半徑、復(fù)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、點(diǎn)到直線的距離等。

計算題考察了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、數(shù)列的和、矩陣的乘法和行列式、直線的方程、復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)、方程組的解、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極限等。

知識點(diǎn)詳解及示例：

1.函數(shù)性質(zhì)：考察了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等。

2.數(shù)列：考察了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式