第十三章

三角形八上數學RJ第1課時13.3.1三角形的內角13.3三角形的內角與外角1.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°，會將文字語言、符號語言相互轉化，發展幾何直觀.2.會運用三角形內角和定理進行角度的相關計算和證明，提高運算能力和推理能力.問題

你能通過展現出的這一個角，猜出來這是什么三角形嗎？鈍角三角形問題

你能通過展現出的這一個角，猜出來這是什么三角形嗎？直角三角形思考 為什么通過一個角就能判斷三角形的形狀呢？三角形的內角和等于180°（1）度量法.

（2）剪拼法.

在小學，我們是怎樣得到三角形內角和是180°？48072060060°＋48°＋72°＝180°（1）度量法.

ABC（2）剪拼法.通過度量或剪拼，我們已經知道三角形的內角和等于180°，這樣的方法獲得的結論可靠嗎？由于測量常常有誤差，這樣驗證三角形的內角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三角形有無數個，我們不可能用上述方法一一驗證所有三角形的內角和等于180°.因此，需要通過推理的方法去證明：任意一個三角形的內角和等于180°.探究

圖中給出了兩種剪拼的方法.從這個操作過程中，你能發現證明的思路嗎？BCABClBBAACl已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：證法一

過點A作直線l，使得l∥BC.∵l∥BC∴∠2=∠4.(兩直線平行，內錯角相等)同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義），∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.45231BCABCl證明：證法二

延長BC到點D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1(兩直線平行，內錯角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.CBAED12BBAACl已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.以上我們就證明了任意一個三角形的內角和都等于180°，得到如下三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°.思考

多種方法證明三角形內角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角（180°）.45231CBAED12例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，

AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.

例2

如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A,B兩島的視角∠ACB呢？分析：A,B,C三島的連線構成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.50°40°30°解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.你還能給出其他解法嗎？50°40°30°50°40°30°F能.如圖所示，過點C作CF∥BE,則CF∥AD.所以∠ACF=∠CAD=50°，∠BCF=∠CBE=40°，所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.因為∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，所以在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60°.答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.1.如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD=45°.從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少度？ABDC解:∵∠CAD=30°，且∠D=90°，∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-90°-30°=60°.∵∠CBD=45°，且∠D=90°，∴∠BCD=180°-∠D-∠CBD=180°-90°-45°=45°，∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°.2.如圖，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度數.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°，在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°.∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°=140°，∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°.CBAED3.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-∠CED-∠C=180°-78°-60°=42°．ABDEC4.如圖，輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，求∠BAC的度數.解：根據題意，得∠ABD=75°，∠BCE=∠DBC=30°，∠ACE=60°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE=30°+60°=90°，∠CBA=∠ABD-∠DBC=75°-30°=45°，所以∠BAC=180°-∠CBA-∠ACB=180°-45°-90°=45.5.如圖，在△A