專題1.3勾股定理的應用教學目標1．利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題；2．通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的空間觀念．3．能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關的計算和證明。教學重難點1.重點（1）勾股定理的實際應用場景：理解勾股定理在解決實際問題（如測量距離、計算幾何圖形邊長、判斷直角三角形等）中的作用，能將實際問題轉化為數學模型；（2）解題思路與方法：直角三角勾股定理。2.難點（1）實際問題的數學建模：將生活中的問題（如梯子滑動、螞蟻爬行路徑最短等）抽象為直角三角形問題，準確找到三邊對應的實際意義；（2）立體圖形與平面圖形的轉化：在圓柱、長方體等立體圖形中，通過展開圖確定直角三角形的位置，避免空間想象偏差導致的錯誤；（3）分類討論與方程思想：當問題中邊長關系不明確時，能運用分類討論思想分析多種情況，并通過列方程求解未知數。知識點1：勾股定理應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論.【即學即練1】(1)請求出觀測點C到公路的距離；知識點2：平面展開圖最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用勾股定理求解【即學即練2】1．綜合與實踐【問題情境】數學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為、、，和是一個臺階兩個相對的端點．【探究實踐】老師讓同學們探究：如圖①，若點處有一只螞蟻要到點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到點的最短路程是多少？【變式探究】（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長是厘米，高是厘米，一只螞蟻從點出發沿著玻璃杯的側面到點，求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？【拓展應用】（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高厘米，底面周長為厘米，在杯內壁離杯底厘米的點處有一滴蜂蜜．此時，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿厘米，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計）題型01勾股定理應用之梯子滑落高度(1)求這架梯子的頂端距離地面的高度．(2)如果梯子的頂端沿墻下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？(1)求的長；題型02勾股定理應用之旗桿高度【典例1】八年2班數學課外活動小組的同學測量學校旗桿的高度時，發現升旗的繩子（無彈性）長度比旗桿多1米，當他們把繩子拉直，繩子末端剛好接觸地面時，此時繩子末端與旗桿的距離為5米，求旗桿的高度．【變式1】小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測量風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為米．(1)求風箏的垂直高度；(2)如果小明想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？【變式2】學過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離為3米，到旗桿的距離為10米（如圖2）．根據以上信息，求旗桿的高度．【變式3】學過《勾股定理》后，八（1）班數學興趣小組來到操場上測量旗桿的高度．小華測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長2米（如圖1），小明拉著繩子的下端往后退，當他將繩子拉直時，小凡測得此時小明拉繩子的手到地面的距離為1米，到旗桿的距離為9米（如圖2）．(1)設長為米，繩子為_____米，為_____米（用的代數式表示）；(2)請你求出旗桿的高度．題型03勾股定理應用之小鳥飛行的距離【典例1】如圖，樹根下有一個蛇洞，樹高，樹頂有一只鷹，它看見一條蛇迅速向洞口爬去，與洞口的距離還有3倍樹高時，鷹向蛇撲過去．如果鷹與蛇的速度相等，鷹與蛇的路線都是直線段，請求出鷹向何處撲擊才能恰好抓到蛇．(1)求一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？(2)如圖，臺風過后，高米的樹在點處折斷，大樹頂部落在點處，則樹折斷處距離地面多少米？題型04勾股定理應用之大樹折斷前的高度【典例1】如圖，強大的臺風使得一棵大樹在離地面6米處折斷倒下，大樹頂部落在離大樹底部8米處，大樹折斷之前有多高？【變式1】如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風旗桿從點處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(1)求這兩棵樹的水平距離；(2)求樹的高度．題型05勾股定理應用之水杯中的筷子問題【變式1】如圖，一支鉛筆放在圓柱形的筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高為12cm．若鉛筆的長為20cm，則這只鉛筆露在筆筒外面的長度最小是cm．

題型06勾股定理應用之航海問題【典例1】有一艘游輪即將靠岸，當游輪到達點后熄滅發動機，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時繩子的長為．（假設繩子是直的，結果保留根號）【變式1】如圖，一艘輪船先從A地出發行駛到B地，又從B地行駛到C地，B地在A地南偏西的方向，距離A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距離B地100海里．

(1)表示出B地相對于C地的位置；(2)求A，C兩地之間的距離．(1)求，兩港口之間的距離；（結果保留根號）(2)港口在港口的什么方向上？【變式3】釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領土，我國對釣魚島的巡航已經常態化．如圖，甲、乙兩艘海警船同時從位于南北方向的海岸線上某港口出發，各自沿一固定方向對釣魚島巡航，若甲船每小時航行6海里，乙船每小時航行8海里．(1)若甲乙兩船離開港口一小時后分別位于、處（圖1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏東方向航行，你知道乙船沿哪個方向航行嗎？請說明理由．題型07勾股定理應用之河的寬度(1)求A、C兩地之間距離．（結果精確到1米）題型08勾股定理應用之臺階上地毯長度(1)求BC的長；【變式2】如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點A出發經過臺階爬到點B的最短路線有多長？【變式3】如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個矩形區域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？題型09勾股定理應用之汽車是否超速問題【變式1】某城市交管部門規定：小汽車在城市快速路上行駛速度不得超過80千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市快速路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了4秒后，測得小汽車與車速檢測儀之間的距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？【變式2】為了積極響應國家新農村建設，某鎮政府采用了移動宣講的廣播形式進行宣傳．如圖，筆直公路的一側有一報亭A，報亭A到公路的距離為600米，且宣講車P周圍1000米以內能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路上沿方向行駛．

(1)請問報亭的人能否聽到廣播宣傳，并說明理由；(2)如果能聽到廣播宣傳，已知宣講車的速度是200米/分，那么報亭的人總共能聽到多長時間的廣播宣傳？(2)請你通過計算說明小麗在家能聽到廣播嗎？題型10勾股定理應用之是否受臺風影響問題(1)臺風中心經過多長時間從點移到點？(1)請判斷島嶼是否會受到臺風的影響？并說明理由(2)若臺風影響島嶼的時長是小時，求臺風中心的移動速度．(1)判斷農場A是否會受到臺風的影響，請說明理由．(1)臺風中心經過多長時間從點移到點？題型11勾股定理應用之選扯距離相離問題(2)煤棧應建在距點多少千米處？(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求的長；題型12勾股定理應用之幾何圖形中最短路徑問題【典例1】【實踐發現】數學興趣小組在研究螞蟻在圓柱側面爬行問題時，發現螞蟻沿圓柱側面從一點爬到另一點的最短路徑問題與圓柱的展開圖有關．【實踐探究】設計測量方案：第一步：測量圓柱的底面半徑，測得圓柱底面半徑是2厘米；第二步：測量圓柱的高，測得圓柱的高為4厘米；第三步：如圖，假設螞蟻在圓柱側面從點A爬到點B，研究其最短路徑情況．【問題解決】設螞蟻爬行的最短路徑長度為厘米，通過計算即可求得最短路徑長度．(2)在展開圖中，螞蟻的最短路徑是連接的線段長，請你計算螞蟻從點爬到點的最短路程．【變式2】【問題情境】數學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，和是一個臺階兩個相對的端點．【探究實踐】老師讓同學們探究：如圖①，若點處有一只螞蟻要到點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到點的最短路程是多少？（1）同學們經過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20．寬為15的長方形，連接，經過計算得到長度為___________，就是最短路程．【變式探究】【拓展應用】【變式3】如圖，已知圓柱底面的周長為12，圓柱的高為8，在圓柱的側面上，過點A，C嵌有一圈長度最短的金屬絲．(1)現將圓柱側面沿剪開，所得的圓柱側面展開圖是______．A．

B．

C．

D．(2)如圖②，若將金屬絲從點B繞四圈到達點A，則所需金屬絲最短長度是多少？1．如圖，強臺風時一棵大樹在距離地面的點C處折斷，大樹頂端的著地點A與大樹底端B的距離為，則這棵大樹折斷前的高度為（

）A． B． C． D．2．在棱長為1的正方體中，頂點，的位置如圖所示，處有一小蟲，它沿正方體表面爬到點處，則小蟲爬行的最短距離是（

）A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里6．如圖，庭院中有兩棵樹，喜鵲要從一棵高的樹頂飛到一棵高的樹頂上，兩棵樹相距，則喜鵲至少要飛．7．數學經典著作《九章算術》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”意思為：如圖，有一池塘，底面是邊長為一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵蘆葦，高出水面一尺，若將蘆葦引到池邊中點處，正好與岸邊齊平，則水深為尺．8．《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作．書中有個關于門和竹竿的問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高幾何？譯文：現有一扇門，不知道門的高度和門的寬度是多少，現有一支竹竿，不知竹竿的長短是多少．橫著放竹竿比門寬多出4尺，豎著放竹竿比門高多出2尺，斜著放恰好與門的對角線一樣長，如圖．設門的對角線長為尺，可列方程為．(1)在圖中畫出從A到再到B的最短路徑，并計算最短路徑的長度（保留作圖痕跡）；(2)C是河邊上D，E兩地之間的一個地點，且與D處相距16米，如果從A先到C處飲水，再回到B處，行走路程比（1）中的最短路徑長多少？13．【問題情境】某數學興趣小組想測量學校旗桿的高度．【實踐發現】數學興趣小組實地勘查發現：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．【實踐探究】設計測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點，再測量繩子底端與旗桿根部點之間的距離，測得距離為．【解決問題】設旗桿的高度為，通過計算即可求得旗桿的高度．(1)用含的式子表示為_____；(2)請你求出旗桿的高度．14．如圖，“廣州灣號”貨輪和“小蠻腰號”科考船從某港口P同時出發執行任務，已知“廣州灣號”以每小時12海里的速度沿北偏東方向航行，“小蠻腰號”以每小時5海里的速度沿另一方向航行，2小時后兩船分別位于點R，Q處，此時兩船相距26海里．求：(1)兩船分別航行了多少海里？(2)“小蠻腰號”的航行方向．15．在“歡樂周末?非遺市集”活動現場，諸多非遺項目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個年畫風箏，并進行了試放，為了解決一些問題，他設計了如下的方案：先測得放飛點與風箏的水平距離為；根據手中余線長度，計算出的長度為；牽線放風箏的手到地面的距離為．已知點A，B，C，D在同一平面內．(1)求風箏離地面的垂直高度；【深入探究】【問題解決】（2）在演練中，墻邊距地面的窗口有求救聲，消防員需調整云梯去救援被困人員．經驗表明，云梯