夯實根底、培養思維、提高能力——對初中數學復習課的認識與思考舟山南海實驗初中張宏政

QQ:1141011769第一局部構建高效教學的條件與案例分析；第二局部數學復習課設計的理論與案例分析。內容概要對數學教學中低效現象的反思案例一：“幾何證明與計算〞專題復習課教學片斷問題：如圖1，△ABC中，AB=AC,P是△ABC內部任意一點，將AP繞點A順時針旋轉至AQ，使∠QAP=∠BAC，連結BQ，CP，那么BQ=CP〞小亮是一個愛動腦筋的同學，他通過分析證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移動到等腰△ABC外，原題中的條件不變，發現BQ=CP仍然成立，請你就圖2給出證明。ABCPQ圖1ABCQP圖2〔教師把題目朗讀了一遍后，便引導學生進行分析……〕對數學教學中低效現象的反思案例一：“幾何證明與計算〞專題復習課教學片斷ABCPQ圖1ABCQP圖2教師：如圖2，AQ是由AP旋轉得到的，因此它們之間的關系是怎樣的呢？學生1：相等。教師：由∠QAP=∠BAC可得∠QAP+∠BAP=∠BAC+∠BAP,于是有∠QAB=∠PAC，題中還有一個條件是AB=AC，那么能否得到△ABQ≌△ACP呢？為什么？學生2：能得到，根據SAS定理。教師：這樣我們便知BQ=CP仍然成立。對數學教學中低效現象的反思這種“以教師的讀題來代替學生對問題的自主閱讀〞的教學現象和“以為教師對問題已經理解便認為學生也就能明確問題所提供的條件信息和目標信息〞的教學觀念，在日常的課堂教學中實在比較常見。但學生是否“明確了問題所提供的條件信息和目標信息，并在頭腦里建立起問題的表象〞了呢？這些都是學生進行數學問題解決的第一步，也是至關重要的一步。否那么學生扮演的無非是教師的“同聲筒〞角色，這樣的教學，是無法產生理想的教學效果的。實驗說明，對于數學題而言，教師的有聲讀題在引起學生注意力水平上低于學生默讀。因此，本例應讓學生默讀問題，自主分析題中信息，并嘗試用自己的語言解釋題目中的信息。對數學教學中低效現象的反思案例2：我的方法怎么不對了？問題：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分別是BC,AC的中點，延長BA到點D,使AD=1/2AB，連結DE,DF。〔1〕求證：AF與DE互相平分；〔2〕假設BC=4，求DF的長。BACDEF第〔1〕問順利解決后，在教學第〔2〕問時，教師請學生表達自己的想法，出現了如下教學片斷：教師：還有不同的想法嗎？學生1：連結EF后，可得到四邊形BDFE是等腰梯形…教師：四邊形BDFE怎么會是等腰梯形呢？這種方法行不通。聽到這種評價，學生1便不做聲的坐了下來，低著頭在紙上寫寫畫畫，過了好一會，他才把注意力集中到課堂教學中來…對數學教學中低效現象的反思預設與生成看似一對矛盾，但也不完全是對立的。歸根到底是教師對教學質量的認識偏差。一堂好課，應該讓學生的知、情、意均得到開展。因此，有時雖然不能很好完成預設的教學任務，但對已教學的內容，假設學生都能真正理解與掌握，能積極快樂的參與到教學中來，思維被激活，并享受到學習的成就感，就是很大的成功。本例中學生的闡述不管是否正確，其實都具有較高的教育價值，一方面可以借此引導學生穩固等腰梯形等相關知識，幫助學生完善知識結構；另一方面，讓學生表達自己的觀點，表達了教師對學生的尊重，師生之間的平等對話，這樣的環境里，學生感到平安、輕松、自由，這對培養學生的數學學習興趣及學生的平安成長都講產生潛移默化的積極影響。對數學教學中低效現象的反思案例3：問題解決就可以了嗎？如圖,△AOB和△COD均為等腰直角△,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上。〔1〕求證:△AOC≌△BOD;〔2〕假設AD=1,BD=2,求CD的長。AOBCD教學過程描述：教師讓學生講解該問題的解答思路，對于〔2〕，學生給出了三種不同方法，教師隨即問其他學生是否已聽懂，在得到學生的肯定信息后，教師進入了下一環節的教學。一周后，該老師抱怨，在那節課后的第三天，他們進行了一次測試，該題也是其中的一個考題，但結果班里仍有十多位同學不能正確解答……對數學教學中低效現象的反思教學中教師常發出信息：你們都聽懂了嗎？收到學生回復的信息也常是：聽懂了。于是教師便以為學生真的懂了。其實，“聽懂〞與“真懂〞之間仍有著明顯的差距。“聽懂了〞僅說明學生能在他人的解題思路的引領下，了解到問題的解答思路。但數學問題的關鍵是尋找解題思路和突破解題的難點。假設學生不能真正領悟解題思路的獲得過程，那么，除了當時在解題思路上相互之間產生共鳴的學生外，對于其他學生，尤其是對于那些理解能力較弱的學生，當他們面對相似的甚至同一個問題時，仍然難以順利解決。因此在教學中，教師除了要幫助學生理解他人解題的思路外，還應針對不同學生的思維特點和能力，通過個別輔導或同伴互助等方式，幫助他們能從自身的思路出發獲得解決問題的策略，或幫助他們分析其思路受阻的原因，進而領悟問題解決的策略。故此，問題解決后，教師應組織學生反思思維的探索過程，評價同伴的解題方法，并從中進行分析、歸納、比較和選擇，以提高數學解決問題與數學思考的能力。對數學教學中低效現象的反思案例4：二次函數中面積問題的專題教學問題1：如圖1，拋物線y=x2+2x-3與x軸分別交于A,B兩點，與y軸交于C點，點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，請分別求出△ABC及△ACD的面積。問題2：如圖2，拋物線y=x2-7x+6與x軸分別交于A,B兩點，P(x,y)是位于x軸下方拋物線上的一個動點，四邊形OPAQ是平行四邊形，求這個四邊形的面積S與x之間的函數關系式。ABCODxyOBAxPQy對數學教學中低效現象的反思案例4：二次函數中面積問題的專題教學問題3：如圖3，拋物線y=-x2-2x+3與x軸分別交于A,B兩點，與y軸交于C點，點D是位于x軸上方拋物線上的一個動點，設四邊形ABCD的面積為S，求S的最大值及此時點D的坐標。問題4：如圖4，拋物線y=-x2+4x與x軸分別交于A點，點B(1,y)是拋物線上的一點，P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，設△PAB的面積為S，求S的最大值及此時點P的坐標。ABCODxyOAxPyB對數學教學中低效現象的反思教學現象描述：教師依次給出問題1、2、3，先讓學生自主探索解法，在學生遇到困難時，適當給予方法上的提示，在學生得到解題思路后，教師引導學生根據解題思路板書具體的解答過程，教學完這三個問題后，教師又給出了問題4，并讓學生獨立嘗試解答。但根據課題觀察，全班學生能順利解答出來的寥寥無幾。思考：從問題設計看，四個問題都緊緊圍繞本課教學的主題。問題1屬于固定圖形的面積，問題2—4屬于變化圖形中的面積問題，教學目標明確，問題難度層層深入，內部聯系緊密。從教法看，先學后教，讓學生先嘗試再講解，吻合新課程倡導的教學方式。從教學效果看，學生根本理解了前三個問題的解題思路與方法，但為什么學生不能獨立完成問題4的解答呢？對數學教學中低效現象的反思變式教學不能只關注問題的解決方法，更要強化問題之間的內在聯系！本課的難點在于引導學生歸納、感悟運用割補法求不規那么圖形的面積。因此，從問題1到問題2,3，從數值問題到函數問題，學生雖然會求解問題1，教師也教會了學生解決問題2，但由于教師沒能引導學生找出解決問題2的難點與關鍵點，也沒有引導學生感悟問題1與問題2之間的聯系，同時，當教師講解完問題3后就直接給出問題4，也沒能先引導學生挖掘問題3與前兩個問題的內在聯系，因此，雖然教完了前三個問題，但學生的思維仍是點狀的、散亂的、沒能系統化、結構化，故此，對此類問題的認識仍是外表的，根據課堂觀察，絕大局部學生還是把問題4當做一個獨立的新問題來思考，沒有把問題4與前面的問題聯系起來，也沒能借用前面問題的解決方法、解題經驗，致使思路陷入了困境。構建高效教學的條件分析高效教學=理解數學+理解教學+理解學生教什么永遠比怎么教要重要！把握教學的目標了解學生的認知起點與認知特點，找準教學的起點案例1：老師，你該告訴我們你是怎么想到的？問題:：如圖，H為△ABC內任意一點，連結AH并延長交BC于D，連結BH并延長交AC于E，連結CH并延長交AB于F，求證：DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.ABDCFEH理解教學變證為猜！猜DH/AD+EH/BE+HF/CF=?一般問題——特殊化方法——類比思想——回歸特殊問題——一般結論理解教學理解教學案例2：“平行四邊形判定〞的設計教材的處理：我們已經知道可以用定義判定一個四邊形是否是，還有其他方法嗎？比方，一個四邊形的一組對邊平行且相等，這個四邊形是平行四邊形嗎？兩組對邊分別相等的四邊形呢？設計：先畫一個平行四邊形，把它分成兩個三角形，接著擦去其中一個三角形，提出問題：如何復原平行四邊形呢？分析：畫圖雖不能用性質作依據，但要聯想性質；畫圖是一種行為，通過行為獲取命題，實際上是實踐到理論的過程；圖畫出來了，你憑什么確認？判定方法的產生就是一種必須，證明也就成了探究活動的自然延伸。由一個問題(初始問題〕生成了本節課的全部知識，既表現了課的整體美感，又提高了課堂教學的效益。理解教學教學設計時要思考教學的諸要素中，觀察、實驗、猜測、驗證、推理、交流等的價值到底是什么？如何表達它們的價值。如果說單純依賴模仿記憶的課一定不是好課，那么即使運用了實踐、探索、交流等方式的課也未必是好課。關鍵是看它們在實現教學目標中所起的作用，即是否促進學生獲得了對數學的理解，是否引領學生經歷了數學思考和解決問題的過程，是否有利于學生在情感、態度和價值觀方面的開展。高效教學=進行高立意的教學設計+組織高認知的思維活動+營造高情意的學習氣氛理解數學、理解教學、理解學生數學復習課——為什么而教？一、復習目的1.梳理知識體系,減少知識盲區,形成認知網絡;2.強化知識間的聯系與溝通,深刻理解知識內涵;3.突出思想方法靈魂,開展思維能力為本.應試的成績可持續學習能力平衡點數學復習課——為什么而教？1、是深化知識理解的需要。新課學習中獲得的知識與其他知識有什么聯系，在整個數學知識體系處于什么地位，有什么作用，需進行知識組織活動。只有把握了知識之間的聯系，才可能深刻地理解知識；其次，學生的學習是循序漸進、螺旋上升的，最終學習目標的達成需要整合先前各階段學習的知識，通過知識的回憶、組織和應用，建立知識間的聯系，擴展原有的知識網絡，形成對知識關系的深層次理解。2、是減少遺忘，改善記憶的需要。學習過程中，知識的保持與遺忘是同時進行的，為減少獲得知識的遺忘，使知識更多地存儲到長時記憶中，需運用復述、精細加工和組織的學習策略。3、是選擇性應用知識解決問題，實現知識的遷移，初步體會數學思想方法的需要。程序性知識不能僅靠告知獲得，需要經過“解決問題—模仿運用—歸納提煉—專項訓練〞的從內隱到外顯再到內隱〔自動化〕的過程。4、是查漏補缺，為后進生提供再次學習的需要。這是貫徹根底教育的普及型，面向全體的需要。一個可以借鑒的例子!“四邊形內角和〞的教學A班討論“一題多解〞的背后，有什么共同的地方。B班沒有這個環節25天后的測試ABCDEA班正確率89%B班正確率25%結果分析：A班進行了數學本質——“化歸思想〞的顯化提煉；B班僅停留在“一題多解〞的操作層面和“化歸〞的滲透階段。更深層次的思考!

圖1圖2圖3ABCDEABCDEABCDE前25%的學生擺脫了對三角形情境的依賴，對化歸思想的靈魂——把未知問題轉化成問題有了更深的認識〔內隱學習〕；但65%的學生對當初“化歸為三角形的內角和〞有直接的依賴，停留在原來的水平上，沒有表現出認知水平的提升〔外顯學習〕.后10%的情況說明思想方法的提煉需要知識根底.結論:思想方法的提煉可以提高中等生的數學能力.關鍵在于教師要設計“從內隱到外顯〞的邏輯通道，提供時機。數學復習課——教什么？二、復習課特點1.重復性---既有堅實根底,也會削弱學生學習動機；應把握知識本質和內在聯系,創新復習方式(組織策略)。2.概括性---從新課知識的過程性認識過渡到知識的系統整理，思想方法從內隱到外顯的總結提煉。3.系統性---單元知識之間，與其它知識之間、不同學科之間、與現實生活之間建立簡約性、多觸點、結構化特征的知識體系。4.綜合性---知識綜合組織，形成認知結構；數學知識的綜合應用體驗，以提煉問題解決的策略與方法。5.反思性---通過知識回憶與系統化，改進原有認知缺乏或缺陷；在知識應用中進行實時評價，開展思維。數學復習課——教什么？知識的回憶、知識的組織、知識的運用是復習課教學中的核心認知活動。知識內容的選擇要以課程標準和學情為依據；要思考知識的整體性和系統性。如一次函數的復習可以從為什么要研究函數、怎樣研究函數出發引導學生整體回憶函數與一次函數概念、一次函數的圖形性質、一次函數的應用。實數復習要讓學生感受數系擴充的必要性，擴充后的新數與原數的區別與聯系。把擴充后數系的大小比較、運算與運算律與有理數進行類比，把平方根與立方根類比，把乘法與開方類比。一元一次方程的復習應以建立方程模型、解方程和解方程的依據為核心，用方程思想貫穿復習的全過程。三、學生復習數學的心理過程分析1.信息的搜索與提取—根據復習任務搜索先前分散學習的數學知識與學習經驗，并把注意力聚焦到這些知識與經驗上，體驗對這些目標知識進行重新認識與組織的必要性，產生復習活動的動機。2.信息的組織與再加工—對先前學習過的知識進行結構特征、相互關系的再加工，重新建構系統更大、聯系更廣泛的知識結構體系，并結合問題解決把數學思想方法、策略有效融入新的知識結構體系之中。3.信息的重新存儲與轉移—把重新組織與加工的數學知識、思想方法、解題策略用適合自己的方式重新表征，嘗試不同表征方式之間的轉換，把獲得的知識與經驗進行存儲并轉移到長期記憶之中。數學復習課——怎么教？四.復習課教學與新授課教學的區別

數學復習課——怎么教？由知到熟〔方法與思想〕由點成網〔直覺與邏輯〕時間有限〔能學，會跟，難懂均有〕問題總有〔有需要教的，也有能夠學的〕學生定型〔能學，會跟，難懂的均有〕教學共需〔有需要教的，也有能自己學的〕四.復習課教學與新授課教學的區別

由知到熟由點成網時間有限問題總有

學生定型教學共需

過程中尋求開展〔溫故而知新〕正確定位學生根底,分類施教盡量爭取與必要的舍去數學復習課——怎么教？數學復習課——怎么教？五、復習課現狀根本可以分成三類：一類：設計數學問題，學生先參與問題解決，接著學生活動后，組織交流，教師概括。二類：教師先引導回憶知識，并形成知識體系，再安排學生進行練習，過程中進行交流。三類：主講為主的教學，教師先把知識分成幾塊，再選擇對應例題，逐塊講解。教師工作：總結題型，標準解法，專題訓練學生工作：識別題型，回憶解法，模仿例題數學復習課——怎么教？六、復習課的誤區1、重綜合輕根底——把著眼點放在綜合題、新穎題、壓軸題上，對根底題輕描淡寫，沒有進行必要的穩固練習，甚至學生還沒有把根底知識梳理清楚，就急于進行綜合題的演練。2、重數量輕質量——對鋪天蓋地的資料無所適從，多多益善。學生的厭學情緒與這樣的教學方法有密切關系。3、重題型輕反思——雖然必要的歸納總結，形成一定的解題規律與技巧是必要的。但運用不當，容易使學生陷入題海，把運用知識解決問題的能力異化成死記硬背，由此導致思維定勢、負遷移。1.在2021年中考復習課中，對教師所用的例題〔〕選“全都能聽懂〞有19%，選“大局部能聽懂〞的達53%，而選擇“有些能聽懂〞有26%，選擇“D都聽不懂〞有2%。2.對聽懂的較難的例題，一般情況下，你認為〔〕選“當時自己能做出，一定時間后難說〞達72%，而選擇“今后一定會做〞有20%，選擇“還是不會做〞有8%。

對初三學生的調查數據分析結論：辯證看待難題，講過的不一定懂，懂的不一定會，會的不一定對。對初三學生的調查數據分析3.復習課中，你認為〔〕選“只聽教師講最好〞的有4%，而選擇“有教師講也有自己做最好〞的到達91%，選擇“全部自己做最好〞的有4%。4.復習課中，你是否經歷過“教師出問題→小組合作或自己探究→交流所得→老師概括〞的課〔〕認為“經常有的〞只占19%，認為“有過〞的占65%，認為“沒有〞的有15%。結論：復習教學存在提升實效的需要，復習教學呼喚復習途徑與方法的改進。七、我的認識與思考認知心理學的理論依據1.線索回憶好于自由回憶；分類回憶好于隨機回憶復習目標：梳理知識，形成網絡→穩固應用，促進理解→拓展提高，開展思維→適時總結，歸納方法。怎樣設計復習課的教學？——教學設計時要為學生回憶知識提供背景線索〔關系線索：知識對象之間的關系；情境線索：與個體的相關度越高，變化連續性越好，越容易形成知覺形象；問題與任務線索：讓學生在任務操作回憶知識〕2.學生認知的差異性特點〔理解方式與理解程度不同〕——教學時需要開展適度交流〔防止單向傳遞信息〕3.知識系統要成為模塊自動提取，需為思想方法概括準備經驗

——問題設計時應具有典型性、層次性、綜合性七、我的認識與思考4.系列化、連續性的活動能使學生更容易形成記憶的活動情境線索，便于保持和提取

——要圍繞核心知識設計問題系列，由淺入深、層層遞進七、我的認識與思考★數學復習課的理想結構：教師活動提供線索傾聽、提示與方法指導活動對象關系情境創設情境引導反思引導總結問題系列1問題系列2數學思想方法、解決問題策略知識與思想方法學生活動回憶知識整理知識互相交流體驗問題解決過程概括、提煉思想方法與解決問題策略總結與復述八、復習課教學案例案例1反比例函數復習課案例2相似三角形判