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文檔簡介
第01章有理數章節(9知識點回顧+20題型練習)題型梳理題型梳理題型一正負數的定義題型二相反意義的量題型三正負數的實際應用題型四有理數的定義題型五有理數的分類題型六帶“非”字的有理數題型七數軸的三要素及其畫法題型八用數軸上的點表示有理數題型九數軸上兩點之間的距離題型十相反數的定義題型十一數軸上整點覆蓋問題題型十二化簡多重符號題型十三相反數的應用題型十四絕對值的幾何意義題型十五求一個數的絕對值題型十六絕對值非負性題型十七絕對值的其他應用題型十八利用數軸比較有理數的大小題型十九有理數大小比較題型二十有理數大小比較的實際應用知識清單知識清單知識點1自然數、分數、小數的意義1、自然數的作用:(1)計數,計量人或物的數量;(2)測量,如長度、高度、質量等;(3)標號,人為的編號,如車次、學號、門牌號等;(4)排序,如年份、月份、名次等.2、分數、小數的關系:(1)分數可以看做兩個整數相除,因此分數都可以化為小數(有限小數或無限循環小數);(2)有限小數、無限循環小數和百分數都可以轉化為分數.知識點2具有相反意義的量1、具有相反意義的量包含兩層含義:(1)具有相反意義;(2)具有數量.2、用正負數表示具有相反意義的量一般地,對于具有相反意義的量,我們可以把一種意義的量規定為正的,并用正數來表示,把與它意義相反的量規定為負的,并用負數來表示.常用的表示相反意義的詞有零上和零下、前進和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、上升和下降等.知識點3正數和負數1.正數像2%,4,3.5這樣大于0的數叫做正數.有時,為了明確表達意義,在正數的前面加上“+”(正)號.如+2,+0.7。2.負數像3,2.7%,4.5這樣在正數前加上符號“”(負)的數叫做負數要點歸納:(1)一個數前面的“+”“-”號叫作這個數的符號,其中“+”號可以省略,“-”號不能省略.(2)“+”“-”作為運算符號,是加、減號.3.數0的意義(1)0既不是正數,也不是負數.(2)0是正數與負數的分界.1.表示沒有例如,0個蘋果,意思是沒有蘋果2.表示數時起到占位的作用如10605中的兩個0,分別占的是十位和千位3.表示某種量的基準例如,0℃不是表示沒有溫度,而是表示在標準大氣壓下,水開始結冰的溫度4.表示某些數量的分界0既不是正數,也不是負數,是正數和負數的分界.例如在攝氏溫度計上,“0”是零上溫度與零下溫度的分界5.表示起點例如,在米尺上,刻度的起點為“0”知識點4有理數的有關概念及分類1.整數正整數、0、負整數統稱為整數,如3,2,0,1,2,3等2.分數正分數、負分數統稱為分數,如+1,0.18,1.35,分數都可以化為有限小數或無限循環小數的形式,同時有限小數和限循環小數又都可以化為分數.無限不循環小數不能轉化成分數.3.有理數整數和分數統稱為有理數,“有理數都可以寫成分數的形式,4.幾個常用數學名詞的含義(1)正整數:既是正數,又是整數的數(2)負整數:既是負數,又是整數的數(3)正分數:既是正數,又是分數的數(4)負分數:既是負數,又是分數的數(5)非負數:正數和0.(6)非正數:負數和0.(7)非負整數(也叫自然數):正整數和0.(8)非正整數:負整數和0.(9)正有理數:正整數和正分數(10)負有理數:負整數和負分數(11)非正有理數:0、負整數和負分數(12)非負有理數:0、正整數和正分數【注意】引入負數之后,小學學過的奇數和偶數的范圍相應地擴大了,奇數和偶數也可以是負數.①按整數、分數的關系分類:有理數整數正整數②按正數、負數與0的關系分類:有理數正有理數正整數【注意】①分類的標準不同,結果也不同;②分類的結果應無遺漏、無重復;③0是整數,但0既不是正數,也不是負數.知識點5:數軸(重點)定義:規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.要點歸納:(1)原點、正方向和單位長度是數軸的三要素,三者缺一不可.(2)長度單位與單位長度是不同的,單位長度是根據需要選取的代表“1”的線段,而長度單位是為度量線段的長度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.(3)原點、正方向、單位長度可以根據實際靈活選定,但一經選定就不能改動.知識點6:相反數1.定義只有符號不同的兩個數互為相反數;0的相反數是0.要點歸納:(1)“只”字是說僅僅是符號不同,其它部分完全相同.(2)“0的相反數是0”是相反數定義的一部分,不能漏掉.(3)相反數是成對出現的,單獨一個數不能說是相反數.(4)求一個數的相反數,只要在它的前面添上“”號即可.2.相反數的性質(1)互為相反數的兩數的點分別位于原點的兩旁,且與原點的距離相等(這兩個點關于原點對稱).(2)互為相反數的兩數和為0.知識點7:絕對值1.定義:一般地,數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值,記作|a|.要點歸納:(1)絕對值的代數意義:一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0.即對于任何有理數a都有:(2)絕對值的幾何意義:一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離,離原點的距離越遠,絕對值越大;離原點的距離越近,絕對值越小.(3)一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的.知識點8:絕對值的性質1.性質:絕對值具有非負性,即任何一個數的絕對值總是正數或0.2.求法(1)0除外,絕對值為一正數的數有兩個,它們互為相反數.(2)互為相反數的兩個數(0除外)的絕對值相等.(3)絕對值具有非負性,即任何一個數的絕對值總是正數或0.知識點9:有理數大小比較1.數軸法比較有理數的大小在數軸上表示出兩個有理數,左邊的數總比右邊的數小.如:a與b在數軸上的位置如圖所示,則a<b.2.法則比較有理數的大小兩個數比較大小,按數的性質符號分類,情況如下:兩數同號同為正號:絕對值大的數大同為負號:絕對值大的反而小兩數異號正數大于負數-數為0正數與0:正數大于0負數與0:負數小于0要點歸納:利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟:(1)分別計算兩數的絕對值;(2)比較絕對值的大小;(3)判定兩數的大小.題型練習題型練習題型一正負數的定義1.(2024七年級上·浙江·專題練習)在,,0,11,,3這五個數中,正數的個數是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【知識點】正負數的定義【分析】本題考查正數和負數,掌握它們的定義是本題的關鍵.根據正數的定義解答即可.【詳解】解:這五個數中,正數有3個,分別為,11,3.故選:C.【知識點】相反意義的量、正負數的定義【分析】本題考查了相反意義的量、正負數,理解正負數表示的意義,然后根據相反意義的量的意義解答即可.題型二相反意義的量3.(2425七年級上·浙江寧波·期中)如果銀行賬戶余額增加50元記為元,那么余額減少30元記為.【答案】元【知識點】相反意義的量【分析】本題考查正負數的意義,根據正負數表示一對相反意義的量,增加為正,則減少為負,進行作答即可.【詳解】解:余額增加50元記為元,那么余額減少30元記為元;故答案為:元4.(2223七年級上·全國·單元測試)糧庫某月前天進出糧食的記錄如下:日期進出糧食噸其中以運進為正,說出各天記錄的實際意義.【答案】日運出噸糧食,日運進噸糧食,日運出噸糧食,日運出噸糧食,日運進噸糧食【知識點】相反意義的量、正負數的實際應用【分析】根據正負數的實際意義進行解答即可.【詳解】解:∵運進為正,∴運出為負,∴各天記錄的實際意義為:日運出噸糧食,日運進噸糧食,日運出噸糧食,日運出噸糧食,日運進噸糧食.【點睛】本題主要考查了正負數的實際意義,解題的關鍵是熟練掌握具有相反意義的量.題型三正負數的實際應用5.(2425七年級上·浙江紹興·期中)如果盈利30元記作元,那么虧損20元記作元.【答案】【知識點】正負數的實際應用【分析】本題考查了正數和負數表示相反意義的量,將盈利記為正,則虧損記為負,由此即可得解.【詳解】解:如果盈利30元記作元,那么虧損20元記作元,故答案為:.【答案】A【知識點】正負數的實際應用【分析】本題考查正數和負數,理解具有相反意義的量是解題的關鍵.正數和負數是一組具有相反意義的量,據此即可求得答案.故選:A.題型四有理數的定義A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】B【知識點】有理數的定義、有理數的分類【分析】本題主要考查負整數的概念,掌握負整數的概念:符號為負號的整數是關鍵.故選:B.題型五有理數的分類【答案】4【知識點】有理數的分類、帶“非”字的有理數【分析】本題主要考查了非負數的定義,根據“零和正數統稱為非負數”,即可求解,解題的關鍵是掌握非負數的定義.【詳解】根據“零和正數統稱為非負數”的定義得:故答案為:4.正分數集合:______;整數集合:______;正有理數集合:______.【知識點】有理數的分類【分析】本題考查有理數的分類,分別根據正分數、整數、正有理數的定義進行分類即可題型六帶“非”字的有理數【答案】,0,2023【知識點】帶“非”字的有理數【分析】本題主要考查了有理數的分類,根據非負整數是大于等于0的整數進行求解即可.故答案為:,0,2023.11.(2425七年級上·浙江金華·階段練習)把下列各數填到相應的括號里(只填編號即可)正數:{
…};分數:{
…};非負整數:{
…}.【答案】正數:①③④⑧;分數:①②③⑦⑧;非負整數:④⑤【知識點】有理數的分類、帶“非”字的有理數【分析】此題考查了有理數的分類,根據有理數的分類方法進行解答即可.【詳解】解:正數:{①③④⑧…};分數:{①②③⑦⑧…};非負整數:{④⑤…}.故答案為:①③④⑧;①②③⑦⑧;④⑤題型七數軸的三要素及其畫法12.(2022七年級上·浙江·專題練習)畫出數軸并表示下列有理數:1.5,﹣2,2,﹣2.5,,,0.【答案】見解析【知識點】數軸的三要素及其畫法、用數軸上的點表示有理數【分析】直接在數軸上表示出相關有理數即可即可.【詳解】解:以0為原點,作一條以右方向為正方向的數軸,各點的位置如圖:【點睛】本題主要考查了數軸、點在數軸上位置的確定等知識點,正確畫出數軸以及在數軸上表示數是解答本題的關鍵.題型八用數軸上的點表示有理數13.(2425七年級上·浙江臺州·期末)如圖,數軸的單位長度為1,如果點A,B表示的數互為相反數,則圖中點C所表示的數是(
)A. B. C. D.【答案】C【知識點】用數軸上的點表示有理數、相反數的定義【分析】本題主要考查了有理數與數軸,相反數的定義,關鍵是正確確定原點位置.首先確定原點位置,進而可得C點對應的數.【詳解】解:∵點A、B表示的數互為相反數,∴原點在線段的中點處,∴點C對應的數是.故選:C.14.(2425七年級上·浙江溫州·期末)數軸上點與點相距3個單位,若點表示,則點表示的數是【答案】或【知識點】數軸上兩點之間的距離、用數軸上的點表示有理數【詳解】解:點表示,點與點相距3個單位,即點表示的數為或.故答案為:或.題型九數軸上兩點之間的距離A. B. C. D.【答案】C【知識點】數軸上兩點之間的距離、用數軸上的點表示有理數又因為點A表示的數是2,點O表示的數是0,所以點是的中點,所以點表示的數是,如圖,當點在點右側時,如圖,當點在點左側時,所以最長為;故選:C.16.(2425七年級上·浙江溫州·期中)如圖,數軸的單位長度為1,點B表示的數是3.(1)點A表示的數是______;(2)在數軸上表示出下列各數:,2,,并將這些數及點A,B表示的數用“”號連接起來.【答案】(1)【知識點】數軸上兩點之間的距離、利用數軸比較有理數的大小、用數軸上的點表示有理數【分析】本題主要考查了用數軸上點表示有理數,根據數軸比較有理數的大小,解題的關鍵是熟練掌握數軸上點的特點.(1)根據數軸上表示的數,及其兩點間距離公式進行求解即可;(2)根據數軸上點特點把各數表示在數軸上,并用“”連接即可.【詳解】(1)解:∵數軸的單位長度為1,點B表示的數是3,(2)解:把各數表示在數軸上,如圖所示:題型十相反數的定義17.(2425七年級上·浙江寧波·期末)實數的相反數是.【知識點】相反數的定義【分析】本題考查了相反數的定義,根據相反數的定義求解即可.【詳解】解:實數的相反數是,故答案為:.18.(2024七年級上·全國·專題練習)有理數a,b,c在數軸上的對應點如圖.(1)在橫線上填上“”或“”:a_____0,b_____0,c_____0,_____;(2)在數軸上標出表示,,的點;(3)用“”將a,,b,,c,,0連接起來.【答案】(1),,,(2)見解析【知識點】相反數的定義、根據點在數軸的位置判斷式子的正負、利用數軸比較有理數的大小【分析】本題考查實數與數軸,理解絕對值和相反數的概念,掌握數軸上的點左邊的總比右邊的小是解題關鍵.(1)觀察數軸,結合點在數軸上所在的位置進行分析判斷;(2)根據相反數的概念在數軸上表示各點;(3)利用數軸上的點左邊的總比右邊的小進行比較解答.故答案為:,,,;(2)解:如圖:題型十一數軸上整點覆蓋問題A.9個 B.10個 C.100個 D.101個【答案】C【知識點】數軸上兩點之間的距離、數軸上整點覆蓋問題【分析】分類討論:線段的兩端點是整數點,線段的兩端點不是整數點,根據線段的長度,可得答案.線段蓋住的整數點至少有個故選:C.【點睛】本題考查了數軸上兩點的距離,熟練掌握數軸的定義是解題的關鍵.20.(2024七年級上·全國·專題練習)如圖的數軸被墨跡蓋住一部分,被蓋住的整數點有多少個?它們對應的數是多少?【知識點】數軸上整點覆蓋問題、用數軸上的點表示有理數【分析】本題考查了數軸,是基礎題,知道數軸上的點是連續的是解題的關鍵.根據數軸上的點是連續的特點,寫出被墨水蓋住的整數即可.0到之間的整數有1、2、3、4共4個,題型十二化簡多重符號21.(2425七年級上·浙江杭州·期中)下列各對數中互為相反數的是(
)【答案】C【知識點】相反數的定義、化簡多重符號【分析】本題考查了相反數的定義,熟練掌握的相反數的定義是解題的關鍵,先將各選項去括號再根據相反數的定義判斷即可.故選:C.22.(2324七年級上·全國·課后作業)化簡下列各對數,并指出哪些互為相反數:(3),(4),【知識點】相反數的定義、化簡多重符號【分析】首先化簡各對數,然后根據相反數的概念求解即可.【點睛】本題考查了多重符號的化簡方法,一個數前面有偶數個“”號,結果為正,一個數前面有奇數個“”號,結果為負,0前面無論有幾個“”號,結果都為0.只有符號不同的兩個數互為相反數.題型十三相反數的應用【答案】0【知識點】相反數的應用【詳解】∵a,b互為相反數,故答案為:0.【點睛】本題考查了相反數即只有符號不同的兩個數,熟記互為相反數的兩個數的和為零是解題的關鍵.題型十四絕對值的幾何意義24.(2425七年級上·浙江寧波·期中)化學老師在實驗室中發現了四個因操作不規范沾染污垢或被腐蝕的砝碼,經過測量,超出標準質量的部分記為正數、不足的部分記為負數,它們中質量最接近標準的是(
)A. B. C. D.【答案】B【知識點】絕對值的幾何意義、正負數的實際應用【分析】本題考查正數與負數,絕對值的計算;熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵.求出超過標準的克數和低于標準的克數的絕對值,絕對值小的則是最接近標準的砝碼.【詳解】解:通過求4個砝碼的絕對值得:故選:B.【答案】7【知識點】絕對值的幾何意義、數軸上兩點之間的距離【分析】本題主要考查了數軸上兩點間距離計算、絕對值的意義等知識點,掌握絕對值的意義是解題的關鍵.故答案為:7.26.(2425七年級上·浙江寧波·期末)如圖,數軸上每一小段的長度為,點、、、在數軸上對應的數分別為、、、,(1)若與互為相反數,則______;【答案】(1)(2)小于;與【知識點】相反數的定義、用數軸上的點表示有理數、絕對值的幾何意義【分析】本題考查了數軸,相反數、絕對值的定義,解題的關鍵是掌握相關知識并數形結合.(1)根據相反數的定義以及觀察數軸即可求解;(2)根據絕對值、相反數的定義,即可求解.【詳解】(1)解:數軸上每一小段的長度為,與互為相反數,在數軸上表示,在數軸上表示,故答案為:;小于,、、、中,可能互為相反數的是與,故答案為:小于;與.題型十五求一個數的絕對值【答案】A【知識點】求一個數的絕對值【分析】本題主要考查了求一個數的絕對值,熟知正數和0的絕對值是它本身,負數的絕對值是它的相反數是解題的關鍵.故選:.28.(2425七年級上·浙江紹興·期中)的相反數是,絕對值是.【答案】【知識點】求一個數的絕對值、相反數的定義【分析】本題考查相反數,絕對值的知識,解題的關鍵是掌握相反數的定義,絕對值的意義.根據相反數:只有符合不同的兩個數叫做互為相反數,絕對值的意義,即可.【詳解】解:∵相反數:只有符合不同的兩個數叫做互為相反數∴的相反數是:,故答案為:,.29.(2425七年級上·浙江紹興·階段練習)把下列各數相應的序號填入相應的橫線內:(1)分數:______;(2)正有理數:______;(3)有理數:______.【答案】(1)③④;(2)②③⑥;(3)①②③④⑥⑤⑦【知識點】有理數的分類、求一個數的絕對值【分析】本題主要考查了有理數的分類,化簡絕對值:(1)先化簡絕對值,再根據分數的定義求解即可;(2)根據正有理數的定義求解即可;(3)根據有理數的定義求解即可.∴分數有③④,故答案為:③④;(2)解:由題意得,正有理數有②③⑥;故答案為:②③⑥;(3)解:由題意得,有理數有①②③④⑥⑤⑦.故答案為:①②③④⑥⑤⑦.題型十六絕對值非負性【答案】B【知識點】絕對值非負性【分析】此題考查了絕對值的非負性,根據絕對值的非負性求解即可.故選:B.【答案】2【知識點】絕對值的幾何意義、絕對值非負性、已知式子的值,求代數式的值【詳解】解:,,均為整數,它們的和為1,題型十七絕對值的其他應用32.(七年級上·浙江臺州·期末)現有30個數,其中所有正數之和為10,負數之和為,這30個數的絕對值之和為(
)【答案】C【知識點】絕對值的其他應用、有理數加法運算【分析】所有負數的絕對值的和等于所有負數和的絕對值,所有正數之和的絕對值等于所有正數絕對值的和,從而可求得30個數的絕對值之和.故選:C.【點睛】本題考查了絕對值的性質,有理數的加法運算,關鍵掌握負數的和的絕對值等于負數的絕對值的和,正數的和的絕對值等于正數的絕對值的和.33.(2324七年級上·浙江紹興·期中)絕對值小于的所有實數的和是,所有負整數的和是.【答案】【知識點】絕對值的其他應用、有理數加法運算【分析】本題主要考查絕對值的性質,有理數的混合運算,根據題意,結合絕對值的定義和性質,負整數的概念即可求解,解題的關鍵是理解和掌握絕對值的性質.【詳解】解:根據題意,設絕對值小于的數為,故答案為:,.題
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