專題15概率的進一步認識內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：7大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01用樹狀圖或表格求概率1.樹狀圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.要點：(1)樹形圖法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；(2)在用樹形圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同.2.列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.要點：（1）列表法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率.3.用列舉法求概率的一般步驟（1）列舉（列表、畫樹狀圖）事件所有可能出現的結果，并判斷每個結果發生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再確定所有可能出現的結果的個數n和其中出現所求事件A的結果個數m；（3）用公式計算所求事件A的概率.即P（A）=.知識點02用頻率估計概率1.頻率與概率的定義頻率：在相同條件下重復n次試驗，事件A發生的次數m與試驗總次數n的比值.概率：事件A的頻率接近與某個常數，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P（A）.2.頻率與概率的關系事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的，當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定，當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.可見，概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值.要點：（1）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，無法從根本上來刻畫事件發生的可能性的大小，在大量重復試驗的條件下可以近似地作為這個事件的概率；（2）頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重復試驗中頻率逐漸穩定到的值，即可以用大量重復試驗中事件發生的頻率去估計得到事件發生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.3.利用頻率估計概率當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，一般用統計頻率的方法來估計概率.要點：用試驗去估計隨機事件發生的概率應盡可能多地增加試驗次數，當試驗次數很大時，結果將較為精確.【題型1列舉法求概率】例題：（2425九年級上·湖北襄陽·期末）如圖，電路圖上有一個小燈泡以及4個斷開狀態的開關A，B，C，D，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為．【變式訓練】1．（2425九年級上·山西長治·階段練習）將三個數1，5，8隨機排成一個三位數，則排成的三位數是偶數的概率為．2．（2025·河南商丘·模擬預測）河南是中原文化的發源地之一，擁有豐富的自然和人文旅游資源，現有三張正面分別印有龍門石窟、殷墟遺址、登封“天地之中”歷史建筑群的卡片，它們除正面內容不同外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，抽取的卡片是“龍門石窟”和“殷墟遺址”的概率為．3．（2025年安徽省馬鞍山市中考三模數學試題）某科技節新增了機器人編程、無人機操控、打印、虛擬現實設計四個競賽項目．學校為普及相關知識，在四個實驗室分別開展對應項目的體驗活動，要求每名學生選擇其中一項參與．九（1）班準備了四枚外觀相同的電子芯片，分別編號為1，2，3，4（對應上述四個項目），放在不透明的芯片盒中．若一次性從芯片盒中隨機抽取兩枚芯片，則兩枚芯片編號的差值超過2的概率是．【題型2列表法或樹狀圖法求概率】例題：（2025·江蘇鹽城·二模）九年級同學報名參加學校舉行的運動會，有以下三類運動項目可供選擇：A：球類運動；B：50米短跑；C：立定跳遠．(1)若甲同學從三類運動項目中隨機任選一類，則恰好選中球類運動項目的概率是_________；(2)甲、乙兩名同學都從三類項目中隨機任選一類，清用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩個同學所選運動項目恰好相同的概率．【變式訓練】(1)五個模型單獨處理這批數據所需要的時間的中位數為__________；眾數為__________；(3)從這五個模型中隨機抽取兩個共同處理這批數據，利用樹狀圖法，求抽到模型和的概率．2．（2025·云南紅河·三模）為滿足學生個性化需求，促進學生德智體美勞全面發展，我市某中學開展“特色選修課育人計劃”，其中包含：A．文學欣賞，B．數學思維，C．體育與健康，D．科學實驗四門課程，每位學生需從這些課程中選擇兩門進行學習．(1)從選修課程里面選到“英語口語”屬于________事件（選填“隨機”“必然”或“不可能”）；(2)用列表法或畫樹狀圖法求出選到的兩門課程中恰好包含“數學思維”課程的概率．(1)圖①中轉盤停止轉動后，指針指向的數字大于2的概率為(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求小穎最終去養老中心的概率．【題型3利用概率判斷游戲的公平性】例題：（2025·吉林白山·模擬預測）如圖是一副撲克牌中的3張牌，將它們正面朝下洗勻后放在桌上．爸爸先從中抽出一張，榕榕從剩余的2張牌中也抽出一張，比較兩人抽出的牌面上的數字，數字大者獲勝．如果兩個人的獲勝概率相同，我們說游戲是公平的．請借助樹狀圖或列表法來判斷這個游戲是否公平．【變式訓練】(2)你認為這個游戲公平嗎？請說明理由．2．（2025七年級下·全國·專題練習）現有12張卡片，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一個游戲，規定：小花先隨意抽取一張，然后讓小佳猜這個數，如果猜對了，那么小佳獲勝；如果猜錯了，那么小花獲勝．(1)這個游戲對雙方公平嗎？為什么？(2)現還有下面兩種游戲規則，你認為公平嗎？為什么？①猜是奇數還是偶數；②猜是不是3的倍數．(3)如果你是小佳，為了獲勝，你選擇上面哪一種猜法？3．（2025·陜西西安·三模）課間十分鐘是學生釋放學習壓力，自我調節的放松時間．課間同學們玩抽卡片游戲，他們在一個不透明的箱子中放了4張卡片，卡片上分別寫有數字2，3，5，6這些卡片除上面的數字外，其余均相同．(1)小晴從箱子中隨機摸10次卡片，其中摸到寫有數字“6”的卡片2次，則這10次摸卡片中，摸出寫有數字“6”的卡片的頻率是___________；(2)佳佳和樂樂同時從箱子中各取出1張卡片，如果兩張卡片上的數字之和為奇數，則佳佳勝；如果兩張卡片上的數字之和為偶數，則樂樂勝．這個游戲規則對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明．【題型4幾何概率】例題：（2025七年級下·河南鄭州·專題練習）張老師把邊長為4的正方形厚紙板分成七部分，如圖1所示，然后將它割開，制成七巧板．用自制的七巧板在一個大長方形中拼出如圖2所示的圖案，如果小球在如圖2所示的大長方形中自由地滾動，那么它最終停留在陰影區域的概率是．【變式訓練】1．（2025·山東濟南·三模）如圖是由三個同心圓組成的游戲板，同心圓的半徑從大到小分別為15cm，10cm和5cm．若將飛鏢隨機投擲到游戲板上，則飛鏢落在黑色區域的概率是．3．（2025·江蘇·一模）如圖，在的正方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的，任意投擲飛鏢一次（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），飛鏢擊中陰影部分的概率是．【題型5概率的應用】例題：（2025·福建廈門·模擬預測）商場在國慶期間舉行部分商品優惠促銷活動，顧客只能從以下兩種方案中選擇一種：方案一：購物每滿元減元；方案二：顧客購物達元可抽獎一次，具體規則是：在一個箱子內裝有四張一樣的卡片，四張卡片中有張寫著數字，張寫著數字，顧客隨機從箱子內抽出兩張卡片，兩張卡片上的數字和記為，的值和享受優惠如表所示．的值實際付款折折折(1)若按方案二的抽獎方式，利用樹形圖（或列表法）求一次抽獎獲得折優惠的概率；(2)若某顧客的購物金額為元，請你應用統計概率的知識幫助分析該顧客應選擇哪種方案較為實惠．【變式訓練】1．（2425七年級下·陜西咸陽·期中）某超市為吸引顧客設置如下的翻獎牌，獎品有紙巾、牙刷、太陽傘，進店消費可翻一次牌．翻獎牌的正面、背面如圖所示．已知翻獎牌正面除數字外其他完全相同．請解決下面的問題：(1)翻一次牌翻到“紙巾”的概率是__________；(2)翻一次牌獲得獎品的概率是_________；(3)請你設計翻獎牌背面的內容，使得最后翻到“紙巾”的概率是，翻到“謝謝參與”的概率是，要求獎牌內容包含“紙巾、牙刷、太陽傘、謝謝參與”．2．（2425九年級下·廣東汕頭·階段練習）某餐廳為了提高服務質量，開展了顧客滿意度問卷調查，滿意度共分為檔，從低到高為分，分，分，分，分．工作人員隨機抽取了名顧客進行調查，并制作了如下統計表．分數/分份數/份根據以上信息，解答下列問題：(1)若抽取的顧客中超過一半的評分均不高于分，則需要對餐廳進行整改，請通過計算說明該餐廳是否需要整改；(2)若抽取的顧客所評分數的平均數或中位數低于分，則需要對餐廳進行整改，請通過計算說明該餐廳是否需要整改．3．（2324九年級上·遼寧營口·階段練習）某體育館有A，B兩個入口，每個入口有3個通道可同時通行，C，D，E三個出口，其中C、D出口有2個通道，E出口只有一個通道，每個通道在規定時間內可通行100人，規定：觀眾進館時須持票任意從兩個入口進入，出館時只可任意從三個出口離開．甲、乙、丙三名觀眾分別從兩個入口中隨機選擇一個入口進入．(1)求甲從A口進入，C口離開的概率；(2)求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的概率．(3)學校有七、八、九三個年級的學生進場觀看比賽，七年級80人，八年級150人，九年級160人，比賽結束后，為了能夠在規定時間內使所有同學都能有序離開，請你合理安排七、八、九三個年級的學生從C、D、E三個出口（每個年級的學生走同一個出口）離開（安排一種即可），并說明理由．【題型6由頻率估計概率】例題：（2025·寧夏銀川·二模）某射擊運動員在相同條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數射中9環以上次數根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次“射中9環以上”的概率是．（精確到）【變式訓練】移植的棵數成活的棵數成活的頻率估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是．（結果精確到）2．（2025·新疆阿克蘇·模擬預測）某市為了解初中生近銳情況，在全市進行初中生視力的隨機抽查，結果如下表．根據抽測結果，可估計該市初中生近視的概率為，（結果精確到0.1）累計抽測的學生數n1000200030004000500060008000近視學生數與n的比值0.4230.4100.4100.4110.4130.4090.4103．（2025·河南南陽·二模）“良種壯苗”是造林的基本措施之一．某林業局為測試一種樹苗的成活率，將這種樹苗移植成活的情況繪制成如圖折線統計圖，由該圖可估計移植這種樹苗2000棵，成活的大約有棵．【題型7用頻率估計概率的綜合應用】例題：（2425八年級下·江蘇鎮江·期中）不透明的袋中有若干個紅球和黑球，每個球除顏色外無其他差別．現從袋中隨機摸出1個球，記下顏色后放回并攪勻，實驗結果如下：摸球次數1002004006008001000摸黑球頻數3972156228312__________摸黑球頻率0.390.360.390.38__________0.39(1)填寫表格中的數據；(2)估計從這個袋中隨機摸出1個球，這個球是黑球的概率為______；（結果精確到0.1）(3)在（2）的條件下，如果袋中紅球和黑球共有10個，那么袋中有幾個黑球？【變式訓練】1．（2425七年級下·廣東深圳·期中）植樹節為每年3月12日，某中學買了一批樹苗組織學生去植樹，資料顯示該種樹苗在相同條件下成活試驗的部分結果如下表：每批棵數n501001504008001000成活的棵數m3777316640800成活的頻率b(1)完成上述表格：________，________；(2)這種樹苗成活的概率估計值為________（精確到）(3)如果想要有600棵樹能夠成活，那么在相同條件下至少需要買多少棵樹苗？2．（2425九年級下·福建廈門·期中）大型服裝廠對一批襯衣進行抽檢，統計合格襯衣的件數，得到合格襯衣的頻數表如下：抽取件數（件）5001000150020005000800010000合格數42088014101760445072409010合格率0.840.880.940.880.890.910.90(1)請估計抽檢2萬件襯衣中合格襯衣大約有多少萬件？(2)為了維護消費者的利益，質檢部門規定不合格襯衣不能銷售，服裝廠本月生產10萬件襯衣，每件襯衣成本50元，為確保銷售利潤至少有220萬，則每件襯衣至少需要定價多少件元？3．（2425七年級下·廣東佛山·期中）盒子里裝有紅球和白球共20個，它們除顏色外其他都相同，每次從盒子里摸出1個球，記下顏色后放回盒中搖勻再摸球，在活動中得到如表中部分數據．摸球次數出現紅球的頻數出現紅球的頻率摸球次數出現紅球的頻數出現紅球的頻率10032400130a20062500150b30090600183(1)請將表中數據補充完整，______；______；(2)畫出“出現紅球”的頻率折線統計圖；(3)估計摸到紅球的概率為______（精確到）．(4)估計盒子里有紅球______個和白球______個．一、單選題1．（2025·安徽合肥·三模）我們把十位上數字比百位和個位上數字都大的三位數稱為“”型數，如586，352等．那么從2，3，4這三個數字組成的無重復數字的三位數中任意抽取一個數，該數是“A”型數的概率為（）A． B． C． D．2．（2025年四川省南充市名校聯測中考三模數學試卷）如圖，一個可以自由轉動的轉盤等分為4個扇形．轉動兩次，轉盤停止時指針均指向區域的概率是（

）．A． B． C． D．3．（2025·湖北武漢·模擬預測）2025年春節聯歡晚會生動展現了武漢的楚風漢韻、重慶的巴渝風情、拉薩的雪域文化、無錫的江南水鄉，為文旅帶來了新熱潮．小雅決定從這四個城市中隨機選兩個作為暑假旅游目的地，假設小雅選擇四個城市的可能性相同，則選擇的兩個城市中有武漢的概率是（

）A． B． C． D．A． B． C． D．公交車用時的頻數公交車用時線路合計4526516723500591511661245005050122278500早高峰期間，乘坐哪條線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大（

）A．線路 B．線路 C．線路 D．不能確定二、填空題6．（2025·福建廈門·二模）在創建國家生態園林城市活動中，某市園林部門為了擴大城市的綠化面積進行了大量的樹木移栽．下表記錄的是在相同的條件下移栽某種幼樹的棵數與成活棵數：移栽棵數100100010000成活棵數89910900890005若該園林部門準備移植棵樹木，則依此估計有棵樹木可以成活．7．（2025·福建廈門·模擬預測）一個盒子中裝有除顏色外其他都相同的個藍色小球和若干個紅色小球．小明通過多次摸取小球的試驗發現，摸取到紅色小球的頻率穩定在左右，則盒子中約有個紅色小球．9．（2025·河南安陽·二模）造紙術、指南針、火藥、印刷術是我國古代四大發明．如圖是秦奮同學收集的四大發明的不透明卡片，四張卡片除正面圖案外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“指南針”和“印刷術”的概率是10．（2025·河南周口·二模）如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤分成6個大小相同的扇形，分為紅、藍、綠、黃四種顏色，指針的位置固定，轉動的轉盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置．自由轉動轉盤兩次，兩次停止后指針（不指向交線）指向的顏色可以配成紫色（紅、藍可配成紫色）的概率是．三、解答題11．（2025·江蘇蘇州·二模）端午節期間，小峰一家人準備選取蘇州拙政園（記為）、獅子林（記為）、寒山寺（記為）、西園寺（記為）中的部分景點去游玩．(1)若選取一個景點，則選中拙政園的概率是__________；(2)若選取兩個景點，求恰好選中拙政園、獅子林的概率．12．（2025·山東青島·二模）小亮和小穎利用三張卡片做游戲，卡片上分別寫有A，B，C．這些卡片除字母外完全相同，背面朝上，從中隨機摸出一張，記下字母后放回，充分洗勻后，再從中摸出一張．(1)第一次就摸到A的概率是______；(2)如果兩次摸到卡片字母相同小明勝，否則小亮勝．這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．(1)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，取出的卡片上的數字為負數的概率是______；(2)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機抽取一張，利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次取出的卡片上的數字之積為正數的概率．(1)請用畫樹狀圖或列表的方法，求小華獲勝的概率；(2)這個游戲對小華和小強公平嗎？請說明理由．15．（2425七年級下·江西撫州·期中）工廠質檢員對甲員工近期生產的產品進行抽檢，統計合格的件數，得到如下表格：抽取件數501002003005001000合格件數4994192285m950合格頻率n(1)表格中m的值為，n的值為；(2)估計任抽一件該產品是不合格品的概率．(3)該工廠規定，若每被抽檢出一件不合格產品，需在相應員工獎金中扣除2元的材料損失費，今天甲員工被抽檢了420件產品，估計要在他獎金中扣除多少材料損失費？16．（2025·江蘇無錫·二模）某商場為了促銷，舉辦了摸球得禮金券活動，在一個不透明的盒子里裝有1個藍球、1個紅球和2個白球，這4個球除顏色不同外其余均相同，將球攪勻．(1)從盒子里隨機摸出一個球