專題05二次函數的應用（1知識點+8大題型+5大拓展訓練+過關測）內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：8大核心考點精準練+5大拓展訓練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1：二次函數的應用1.用二次函數解決實際問題的一般步驟：1）審：仔細審題，理清題意；2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖像和性質等求解實際問題；5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．2.利用二次函數解決實際問題的常見類型 常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標系是解決此類問題的關鍵，然后用待定系數法求出函數表達式，利用函數性質解決問題.【即時訓練】1．（2425九年級上·浙江嘉興·期末）如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬，橋洞頂部離水面．(1)請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式．(2)若有一艘船的寬度為，高度為，則這艘船能否從該橋下通過？(1)求，的值．(2)當每日售出多少該水果時，所得利潤最大？最大利潤為多少元？3．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，小明的爸爸要用一堵長為4m的墻和長為18m的籬笆圍一個小型養雞場，要求：①墻和籬笆全部利用；②圍成的養雞場的面積最大．圖1是小明的爸爸把墻體全部利用起來圍成的養雞場，圖2是小明把墻體向外用籬笆延伸了一段長，然后用剩余的籬笆圍成一個矩形養雞場．(1)請計算小明爸爸圍成的養雞場的面積；(2)請計算小明圍成的養雞場比爸爸圍成的養雞場面積大多少？4．（2425九年級上·浙江溫州·期中）國慶期間某旅游點一家商鋪銷售一批成本為每件50元的商品，規定銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，銷售量y（件）與銷售單價x（元）的關系可以近似的看作一次函數（如圖）．(1)請直接寫出y關于x的函數表達式．(2)設該商鋪銷售這批商品獲得的總利潤（總利潤＝總銷售額﹣總成本）為w元，當銷售單價為多少元時，可獲得的總利潤最大？最大總利潤是多少？(3)若該商鋪要保證銷售這批商品的利潤不能低于4000元，則銷售單價x（元）的取值范圍是．（直接寫答案）5．（2425九年級上·浙江杭州·期中）綜合與實踐素材1：一年一度的科技節即將到來，小明所在的科技小組研制了一種航模飛機．通過多次實驗，收集了飛機的水平飛行距離（單位：）與相對應的飛行高度（單位：）的數據（如表）飛行水平距離（單位：）020406080100…飛行高度（單位：）04064726440…素材2：如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛航模飛機，已知航模的飛行高度（單位：）與水平飛行距離（單位：）滿足二次函數關系．任務1：請求出關于的函數關系式（不用寫自變量的取值范圍），并求出航模的最遠飛行距離；

(1)如果拋物線經過原點O，頂點剛好落在點F．求該拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下求單側6根鋼柱的總長度；(3)現需要修改鋼架結構，將拋物線頂點移到EF右側，到EF水平距離為1米，且使拋物線經過點F，與鋼柱AB有交點，求此時頂點的縱坐標k的取值范圍．【題型1圖形問題】2．某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻，墻的長度為13m，另外三面用棚欄圍成，中間再用棚欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為m（如圖）．(2)當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？(2)圍成的矩形花圃的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值；若不存在，說明理由．(1)請寫出y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)當x為多少時，矩形的面積最大？最大為多少？5．九年級數學興趣小組在課余時間里，利用一面學校的墻(墻的最大可用長度為15米)，現用長為34米柵欄（安裝過程中不重疊、無損耗），圍成中間隔有一道柵欄的矩形菜地，在菜地的前端各設計了兩個寬1米的小門，供同學們進行勞動實踐．設矩形菜地垂直于墻的柵欄邊AB長為x米，面積為S平方米．(1)直接寫出S與x間的函數解析式（不要求寫x的取值范圍）；(2)圍成的菜地面積能達到81平方米嗎？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．(3)當x的值是多少時，圍成菜地的面積S最大？最大面積是多少平方米？【題型2圖形運動問題】(1)用含的式子表示：(2)寫出關于的函數解析式及的取值范圍．(1)求隨變化的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.(3)當取何值時，面積最大，最大是多少？(2)求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；【題型3拱橋問題】11．如圖的一座拱橋，當水面寬為時，橋洞頂部離水面，已知橋洞的拱形是拋物線的一部分，以點A為坐標原點建立平面直角坐標系．(1)求拋物線的解析式；(2)若有一艘船準備從橋下穿過，船艙頂部為矩形，船比水面高出，當船的寬度小于多少米時，船能安全穿過橋洞．（船艙頂部矩形的寬所在的邊始終與平行）(1)求該拋物線的函數表達式．(2)若安裝的門的上端和窯洞相接，底邊在x軸上，求門的面積．(1)求拋物線的函數表達式；15．開封是我國西瓜三大主產區之一，西瓜種植歷史悠久，始于五代，廣種于宋，已有1000多年栽培歷史，南宋詩人范成大曾在他的《西瓜園》一詩中云：“碧蔓凌霜臥軟沙，年來處處食西瓜”．圖1是某瓜農種植的吊籃西瓜．為了提供更好的生長環境，促進西瓜生長、豐產，該瓜農搭建了西瓜大棚，其橫截面可模擬為拋物線．如圖2是大棚的橫截面，大棚在地面上的寬度是，最高點C距地面的距離為．以水平地面為x軸，的中點O為原點建立平面直角坐標系．(1)求此拋物線的解析式；【題型4銷售問題】16．在杭州舉辦的亞運會令世界矚目，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”家喻戶曉，其相關產品成為熱銷產品．某商店購進了一批吉祥物毛絨玩具，進價為每個30元．若毛絨玩具每個的售價是40元時，每天可售出80個；若每個售價提高1元，則每天少賣2個．17．抖音直播購物逐漸走進了人們的生活．為提高我縣特產紅富士蘋果的影響力，某電商在抖音平臺上對我縣紅富士蘋果進行直播銷售．已知蘋果的成本價為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可售出160千克.通過調查發現，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克．若想通過漲價增加每日利潤，設漲價后的售價為元，每日獲得的利潤為元.(1)漲價后每日銷量將減少______件（用含的代數式表示）；(2)當售價為多少時，每日獲的利潤最大？最大利潤為多少？售價（元/盒）1820222630日銷售量（盒）5450463830(1)分析表格中數據的變化規律，可知日銷售量是售價的一次函數，求日銷售量與售價之間的關系式；(2)根據以上信息，禧愛花店將售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤，最大利潤是多少？19．某文具店購進一批毛筆，每支進價為10元，出于營銷考慮，要求每支毛筆的售價不低于10元且不高于14元，在銷售過程中發現該毛筆每周的銷售量y（支）與每支毛筆的售價x（元）之間滿足一次函數關系；當銷售單價為11元時，銷售量為18支；當銷售單價為12元時，銷售量為16支．(1)求y與x的函數關系式；(2)設該文具店每周銷售這種毛筆所獲得的利潤為w元，將該毛筆銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該毛筆所獲利潤最大？最大利潤是多少？20．網絡直播銷售已經成為一種熱門的銷售方式．某公司在一銷售平臺上進行直播銷售某種產品．已知這種產品的成本價為6元/千克，每日銷售量（千克）與銷售單價（元/千克）滿足一次函數關系，下表記錄的是有關數據，經銷售發現，銷售單價不低于成本價且不高于30元/千克．設該公司銷售這種產品的日獲利為（元）．（元/千克）789（千克）430042004100(1)直接寫出日銷售量與銷售單價之間的函數關系式（不用寫出自變量的取值范圍）；(2)當銷售單價定為多少時，該公司銷售這種產品日獲利最大？最大利潤為多少元？(3)請直接寫出當銷售單價在什么范圍內時，該公司日獲利不低于43500元？【題型5投球問題】(1)求沙包飛行軌跡拋物線的解析式（無需寫出自變量的取值范圍）；(2)為了擊中目標，應將布幔向前或后移動多少米？(1)求該拋物線的解析式；(2)試通過計算說明該石塊能否飛越防御墻．(1)此次擊打乒乓球運行的最大豎直高度是多少？24．再一次校運會上，一名男同學仍鉛球時，其運動軌跡為如圖所示的一條拋物線，已知仍出鉛球時，鉛球距離男同學的水平距離長為x（單位：m），距離地面高度為y（單位：m）滿足下表關系：.x01234y1.41.92.22.32.2(1)求出鉛球的運動軌跡的解析式；12467…2.2532.25…(2)求實心球出手時（即與y軸交點）的高度；(3)當實心球落地點到原點的距離超過時，得分為滿分．請通過計算說明小宇此次擲球是否得到滿分．【題型6噴水問題】【問題解決】(1)求a的值；(2)現重新改建噴泉，降低噴水管，使落水點與噴水管的水平距離為9m，求噴水管要降低的高度．(1)求水柱所在拋物線的函數表達式；(2)出于安全考慮，在河道的壩邊處豎直向上安裝護欄，若護欄高度為1.2米，判斷水柱是否會噴射到護欄上，并說明理由．(1)求水流所在拋物線的函數表達式；(2)為了給公園增添藝術氛圍，園林部門計劃在水流下方放置一些雕塑．①若雕塑的高度為，求與噴灌嘴的水平距離在多大范圍內時，雕塑不會被水流直接噴到；29．學科實踐：任務背景“碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景區不僅是一條岸綠水清、鳥語花香的生態走廊，更是一條展現厚重城市底蘊的文化長廊、一條展現城水相融、人水相親的幸福長廊．研究素材圖1是景區中的一個噴灌設備，圖2是該設備噴灌時的示意圖，已知高為米，噴出水柱可以近似得看作一條拋物線，該拋物線最高點距離地面米，距離的水平距離為米．問題解決(1)以水平地面為軸，以噴水裝置所在直線為軸，在圖2中建立平面直角坐標系，并求拋物線的函數表達式．(2)求該噴灌設備能夠灌溉的點到噴灌裝置的最大水平距離（精確到1米）．(3)若給該噴灌設備安裝一個可自動旋轉的噴頭，噴灑區域是一個以點為圓心的圓，求噴灑區域的面積（精確到1平方米）？30．某小區有一個噴水池，噴水池的中心有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心處達到最大高度，水柱落地點到水池中心的水平距離為，以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)點，點的坐標分別為________、__________；(2)求水柱所在拋物線對應的函數表達式；【題型7增長率問題】31．某超市1月份的營業額為100萬元，第一季度的營業額為萬元，如果每月平均增長率為，那么與的函數關系式是（

）32．某廠今年一月份新產品的研發資金為10萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產品的研發資金（元）關于x的函數關系式為（

）33．某印刷廠10月份印書20萬冊，如果第四季度從11月份起，每月的印書量的增長率都為，如果設12月份比10月份多印了萬冊，那么關于的函數解析式是．（不寫定義域）34．某市今年第一季度的專項教育投入為億元，第二季度比第一季度增長的百分比為，第三季度增長的百分比是第二季度增長百分比的倍，則第三季度專項教育投入（億元）關于的函數關系式為．（不要求寫自變量的取值范圍）35．某工廠的前年生產總值為10萬元，去年比前年的年增長率為，預計今年比去年的年增長率為，設今年的總產值為萬元．(1)求與的關系式；【題型8其他問題】0.10.326請解答下列問題：37．“動若脫兔”是一個漢語成語，這個成語的含義是：在行動時變得敏捷迅速，就像脫逃的兔子一樣．野兔跳躍時的空中運動路線可以看作是拋物線的一部分．(1)野兔一次跳躍的最遠水平距離為米，最大豎直高度為米，以其起跳點為原點，建立平面直角坐標系，求滿足條件的拋物線的解析式；（無需寫出取值范圍）(2)若距野兔起跳點2米處有一個高度為米的樹樁，通過計算說明野兔是否能成功越過木樁；若不能，野兔至少需要再向前走多遠開始起跳才可成功越過木樁？(1)建立模型①收集數據t/秒04812162024s/米256196144100643616②建立平面直角坐標系為了觀察s（米）與t（秒）的關系，建立如圖所示的平面直角坐標系；③描點連線請在平面直角坐標系中將表中未描出的點補充完整，并用平滑的曲線依次連接；④選擇函數模型觀察這條曲線的形狀，它可能是函數的圖象；⑤求函數解析式請根據上述數據求出s關于t的函數解析式；(2)應用模型列車從減速開始經過多少秒，列車停止；最后三秒鐘，列車滑行的距離為多少米．汽車在反應過程保持原速度勻速運動，制動過程中的路程與行駛速度關系如下表所示：020406080…制動距離（）0281832…(1)將表格中的數據在平面直角坐標系中描點、連線，并求出與x的函數關系式；【拓展訓練一二次函數的存在性問題】(1)求拋物線的解析式；(1)求拋物線的表達式；(2)若點P為拋物線上第一象限內一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，設點P的橫坐標為m，的長為l，請寫出l關于m的表達式，當l取最大值時，求出點P的坐標；(1)求二次函數的表達式：(1)求拖物線的函數表達式；(1)求拋物線關系式．【拓展訓練二二次函數的含參式應用題】46．“六一”兒童節期間，某超市以元/個的價格購入一批兒童禮品．在銷售前，銷售經理進行了市場調研．調研數據：下表是日銷售數量y（個）與銷售單價x（元）的部分調研數據：銷售單價x/元……日銷售數量y/個……建立模型：（1）根據調研數據可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函數，y關于x的函數表達式為_________．問題解決：（2）兒童禮品的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？（3）若該超市決定每銷售一個兒童禮品就向兒童福利院捐贈m元，捐贈后，該兒童禮品日銷售最大利潤為元，求m的值．(1)試求銷售單價p（元）與時間t（天）之間的函數關系式；(2)問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？48．某公司推出一款產品，成本價元/千克，經過市場調查，該產品的日銷售量（千克）與銷售單價（元/千克）之間滿足一次函數關系，該產品的日銷售量與銷售單價之間的幾組對應值如下表：銷售單價（元/千克）日銷售量（千克）注：日銷售利潤日銷售量（銷售單價成本單價）(1)求關于的函數解析式（不要求寫出的取值范圍）；(2)當銷售價格為多少元時，日銷售利潤最大，最大利潤是多少元；(1)當銷售單價為30元時，該玩具每天的銷售額為多少？（銷售額銷售量銷售單價）(2)求銷售該玩具每天的利潤w（元）的最大值．50．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂，商店計劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經調查發現：每降價1元，平均每周可多售出20頂．(1)若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應降價多少？【拓展訓練三二次函數的倍角計算問題】(1)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上取點，在平面直角坐標系內取點，問是否存在以、、、為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．(1)求該拋物線的表達式；(2)點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設點P的橫坐標為m．(1)求：，的值；【拓展訓練四二次函數的面積問題】(1)求拋物線的函數表達式．(1)求該拋物線的解析式；求的取值范圍；(1)求該拋物線的表達式和頂點的坐標．【拓展訓練五二次函數的新定義問題】(1)求二次函數的表達式；理解：（1）下列拋物線是“至美拋物線”的是_____．（填序號）A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20②鉛球飛行至水平距離4米時，到達最大高度，最大高度為；③鉛球落地時的水平距離為．其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒5．若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：）與小球運動的時間t（單位：）之間的函數關系如圖所示，有以下結論：①小球在空中經過的路程是40；③小球運動的時間為6；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．一個重物從高處做自由落體運動時，若不考慮空氣阻力，它的速度會因地心引力而均勻加速，速度（v）與時間（t）的函數圖象如圖①，下降的距離會隨時間的增加而增加，距離（s）與時間（t）的函數圖象如圖②．下列結論錯誤的是（

）C．時間每增加1秒，該重物的速度增加米/秒（1）該拋物線的頂點坐標為．(1)求售價定為多少時，每天的銷售利潤最大；(2)若商店希望每天的利潤不低于4000元，直接寫出售價x的取值范圍．(1)用配方法求出拋物線的頂點坐標，并說明其頂點坐標的實際意義．(