1.4充分條件與必要條件TOC\o"12"\h\z\u題型1充分條件、必要條件及充要條件的判斷 4考點(diǎn)1用定義法判斷充分條件與必要條件 4考點(diǎn)2通過集合的關(guān)系判斷充分條件與必要條件 6考點(diǎn)3等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件與必要條件 8題型2充分條件、必要條件的探究 9題型3應(yīng)用充分、必要、充要條件確定參數(shù)的取值范圍 12題型4充要條件的證明 16知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件1．命題=1\*GB2⑴概念：一般地,我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題,判斷為假的語句是假命題.=2\*GB2⑵形式：中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若,則”“如果,那么”等形式.其中稱為命題的條件,稱為命題的結(jié)論.2．充分條件與必要條件=1\*GB2⑴充分條件與必要條件的定義(2)充分條件與必要條件的關(guān)系(3)對(duì)“推出”的正確理解注：=1\*GB3①對(duì)于命題“若,則”的條件和結(jié)論,我們都視為條件,只看推出符號(hào)“”的推出方向,“”前面是后面的充分條件,“”后面是前面的必要條件.知識(shí)點(diǎn)二充要條件1．充要條件的定義2．充要條件的理解若是的充要條件,則也是的充要條件,雖然本質(zhì)上是一樣的,但在說法上還是不同,因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同.3．充要條件的等價(jià)說法是的充要條件又常說成是成立當(dāng)且僅當(dāng)成立,或與等價(jià).知識(shí)點(diǎn)三從不同角度理解充分條件、必要條件、充要條件1.從命題的角度理解充分必要性=1\*GB2⑴充分條件與必要條件的判斷設(shè)原命題為“若,則”,則逆命題為“若,則”,得與的關(guān)系有以下四種情形：原命題逆命題與的關(guān)系結(jié)論真假是的充分不必要條件；是的必要不充分條件假真是的必要不充分條件；是的充分不必要條件真真與互為充要條件假假是的既不充分也不必要條件；是的既不充分也不必要條件=2\*GB2⑵充分條件與必要條件的傳遞性充分、必要、充要條件都具有傳遞性,具體如下：2．從集合的角度理解充分必要性=2\*GB2⑵結(jié)論如果把研究的范圍看成集合,把研究的范圍看成集合,則可得下表.記法關(guān)系圖示結(jié)論是的充分不必要條件是的必要不充分條件,互為充要條件是的既不充分也不必要條件=3\*GB2⑶適用范圍題型1充分條件、必要條件及充要條件的判斷考點(diǎn)1用定義法判斷充分條件與必要條件1．指出下列各題中是的什么條件（在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個(gè)作答）.（2）兩個(gè)三角形相似，兩個(gè)三角形全等；【答案】（1）是的充分不必要條件（2）是的必要不充分條件（3）是的充要條件（4）是的既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、判斷命題的必要不充分條件、既不充分也不必要條件【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，逐個(gè)判斷，即可得出結(jié)果.（2）“兩個(gè)三角形相似”不能推出“兩個(gè)三角形全等”，但“兩個(gè)三角形全等”能推出“兩個(gè)三角形相似”，故是的必要不充分條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于常考題型.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即可得出結(jié)論.所以是的必要不充分條件.故選：B.A．必要不充分條件 B．充分必要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.故選：C.4．(多選)（2324高一上·河北·階段練習(xí)）設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，條件：“開關(guān)閉合”；條件：“燈泡亮”，則是的必要條件的圖為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】必要條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】對(duì)于，開關(guān)閉合燈亮，反過來燈泡亮，也可能是開關(guān)閉合，是的充分不必要條件；對(duì)于，只有一個(gè)開關(guān)，燈如果要亮，開關(guān)必須閉合，是的充要條件；對(duì)于燈亮必須和同時(shí)閉合，是的必要不充分條件；對(duì)于，燈一直亮，跟開關(guān)沒有關(guān)系，是的既不充分也不必要條件.故選：BC.5．荀子曰：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時(shí)期的名言，闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得，“至千里”是“積跬步”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件【分析】利用充分必要條件的定義求解.【詳解】荀子的名言表明至千里必須積跬步，積跬步未必能至千里，故“至千里”是“積跬步”的充分不必要條件.故選:A.考點(diǎn)2通過集合的關(guān)系判斷充分條件與必要條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、判斷命題的必要不充分條件故選：B.7．(多選)（2324高一上·云南昆明·期末）下列選項(xiàng)中，是的必要不充分條件的是（

）【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)各項(xiàng)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即可得答案.故選：AC【答案】既不充分也不必要【知識(shí)點(diǎn)】根式不等式、既不充分也不必要條件則是的既不充分也不必要條件.故答案為：既不充分也不必要.【答案】必要不充分【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合充分條件、必要條件的意義判斷即得.故答案為：必要不充分考點(diǎn)3等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件與必要條件【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得的取值范圍，再根據(jù)充分不必要條件即可得結(jié)論.故選：.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】分析題干所提供非空集合A，B，C條件，對(duì)三者關(guān)系進(jìn)行判斷．故選：B．考點(diǎn)3等價(jià)法A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)判斷.故選：C.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件【分析】用立方差公式，按照充要條件的定義推理即可.故選：A.題型2充分條件、必要條件的探究【答案】②③【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、判斷命題的必要不充分條件、解不含參數(shù)的一元二次不等式故選:②③．（1）使，都不為0的充分條件是．（2）使，至少有一個(gè)為0的充要條件是．【答案】④①【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、判斷命題的必要不充分條件、探求命題為真的充要條件【分析】分別求出條件①②③④的充要條件，然后由充分條件、充要條件的定義即可求解.綜上可知：（1）使，都不為0的充分條件是④；（2）使，至少有一個(gè)為0的充要條件是①．故答案為：④；①．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，以及必要不充分條件的應(yīng)用，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.故選：D.A．a(chǎn)，b都為2 B．a(chǎn)，b都不為2 C．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)為2 D．a(chǎn)，b都不為0【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】探求命題為真的充要條件【分析】根據(jù)充要條件的知識(shí)求得正確答案.故選：C【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】探求命題為真的充要條件、利用Venn圖求集合、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【分析】利用維恩圖求解.故選：A【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件故選：B題型3應(yīng)用充分、必要、充要條件確定參數(shù)的取值范圍【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)(2)若集合A成立的充分不必要條件是集合B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】（1）利用并集與補(bǔ)集定義計(jì)算即可得；（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，【知識(shí)點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算、根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)(1)若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值集合；【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、已知命題的真假求參數(shù)由題設(shè)，是的真子集，(2)不存在，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)充要條件求參數(shù)題型4充要條件的證明26．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.【答案】見解析．【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充要條件求參數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二次方程有解的充要條件及二次方程解的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力及方程的思想，屬中檔題.【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明【解析】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行證明即可．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的證明，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明一、單選題A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】既不充分也不必要條件、必要條件的判定及性質(zhì)、充分條件的判定及性質(zhì)【分析】通過充分條件、必要條件的概念對(duì)判斷即可求解.則此時(shí)命題成立，但命題不成立，所以不是的充分條件；則此時(shí)命題成立，但命題不成立，所以不是的必要條件；結(jié)合以上兩方面有是的既不充分也不必要條件.故選：D.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.即必要性成立，故選：BA．0 B．2或 C．或 D．0或或【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)6．下列命題為真命題的是（

）D．“一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方”的充要條件是“此三角形為直角三角形”【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)、充要條件的證明、判斷命題的真假7．（2425高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知是的充分不必要條件，是的充要條件，是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、判斷命題的充分不必要條件【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念求解即可.則是的充分不必要條件，故選：AA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.故選：B.二、多選題9．（2425高一上·江蘇·期中）下列命題中為真命題的是（

）B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要而不充分條件【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、既不充分也不必要條件、判斷命題的充分不必要條件、探求命題為真的充要條件【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.對(duì)于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，即“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分而不必要條件，所以B錯(cuò)誤；故選：AD.10．已知是成立的必要條件，是成立的充要條件，是成立的充分條件，是成立的不充分條件，則下列說法不正確的是（

）A．是成立的充要條件 B．是成立的必要不充分條件C．是成立的充分不必要條件 D．是成立的必要不充分條件【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、判斷命題的必要不充分條件、探求命題為真的充要條件【分析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的概念逐個(gè)選項(xiàng)分析可得答案.因?yàn)椴灰欢芡瞥觯灰欢芡瞥觯訡不正確；故選：ACD【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、集合新定義【分析】根據(jù)集合新定義結(jié)合一元二次方程逐個(gè)分析即可.故選：ACD.三、填空題【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)【分析】由必要不充分條件得確定兩集合關(guān)系，再列出不等關(guān)系，從而可求解．【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、探求命題為真的充要條件【分析】首先寫成充要條件，再證明即可.（1）若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）若僅有一個(gè)整數(shù)使得“p不成立，且q成立”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)、根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)四、解答題【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算、根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)