專題02三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各大模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點，本專題就角平分線的非全等類模型作相應的總結，需學生反復掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現模型 2提煉模型 4模型運用 6模型1.平分平行（射影）構等腰模型 6模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型 9 131842年斯坦納雷米歐司定理的純幾何證明完成，該定理證明過程中大量涉及角平分線與平行線的構造技巧，?間接催生了"角平分線+平行線→等腰三角形"這一輔助線作法的明確化和模型化?。隨著幾何教育的發展，教育研究者?將實踐中高頻出現的解題模式進行總結歸類?。“平分平行構等腰”（或“角平分線+平行線→等腰”）因其簡潔性與普適性，被提煉為標準化模型，作為角平分線非全等類模型的核心之一，與“射影構等腰”（角平分線+垂直→等腰）并列，納入專題教學體系。這一模型并非由單一學者獨創，而是幾何學基本原理（尤其是角平分線和平行線性質）在解決經典問題（如斯坦納雷米歐司定理）中自然衍生的方法結晶。其現代形式的明確化與命名，是?19世紀定理證明方法與20世紀后教學經驗提煉?共同作用的結果。【答案】【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求：；（2024·上海浦東新·三模）愛動腦筋的小李同學在學習完角平分線的性質后意猶未盡，經過思考發現里面還有一個有趣的結論：1）角平分線加平行線必出等腰三角形．圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結論：△OPQ是等腰三角形。證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結論：△BDE是等腰三角形。證明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。證明：由題意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結論：三角形CEF是等腰三角形。證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。3）內角平分線定理4）外角平分線定理圖2圖35）奔馳模型（面積）模型1.平分平行（射影）構等腰模型【答案】BA．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【答案】5【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7【答案】D【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2（3）由（2）知，=BC=4，AB=6，AC=5，例4（2425九年級上·重慶九龍坡·期末）三角形角平分線性質定理：三角形的內角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．

(2)證明：結合以上探究可知：三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應的內角的兩邊______⑤．【詳解】（1）解：所作圖形，如圖所示，

∴三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應的內角的兩邊成比例．A． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】CA．9 B．18 C．4.5 D．以上都不對【答案】AA． B． C． D．【答案】A【答案】A【答案】B【詳解】解：∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；∴∠OBD=∠BOD，∠EOC=∠OCE；∴BD=OD，CE=OE；∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC【答案】B∴點到三角形三邊的距離相等，設點到三角形三邊的距離為x8.（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【詳解】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故選B.A． B． C． D．【答案】C【答案】【答案】4cm；【點睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．【答案】42【答案】①②④【答案】(1)2(2)(3)【答案】6【詳解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6．17．（2223九年級上·山西運城·期中）閱讀與思考請仔細閱讀下列材料，并完成相應的任務．下面是小宇同學運用面積的思想對“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例．”進行了證明．【答案】(1)見解析(2)見解析

18．（2025·山西臨汾·二模）閱讀與思考在學習完角平分線的相關輔助線后，老師讓學生探究角平分線分線段成比例定理，以下是小宇同學的探究過程：下面是小宇對這個定理的證明過程．任務：(1)填空：材料中的依據1是_______，依據2是_______；(2)你有不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程；【答案】(1)平行線分線段成比例定理，等