專題09字母表示數和代數式的概念預習目標……………………………..1新課輕松學…………………………..2新知速通……………………………..3題型探究……………………………..4TOC\o"13"\h\z\u題型1、用字母表示數 4題型2、代數式的概念 5題型3、代數式的書寫規范 6題型4、代數式的實際意義 7題型5、列代數式 8題型6、用代數式表示探究圖形規律 10題型7、代數式求值（已知字母和式子的數值） 13題型8、程序框圖與代數式求值 14題型9、代數式求值（整體思想） 16題型10、代數式求值（整體思想之賦值法） 17題型11、代數式求值（實際應用） 18基礎通關 21拓展提優 261.會利用字母表示數表示簡單的數量關系，體會字母表示數的優越性；2.掌握字母與數一起參與運算時的正確書寫；3.了解代數式的概念；會用代數式表示簡單的數量關系和數學規律、解決簡單的實際問題；4.理解代數式的值的概念；會求代數式的值；5.培養學生養成良好的習慣，適當地滲透特殊與一般的辯證關系的思想；初步體會對應思想和整體思想?！舅伎?】港珠澳大橋建成通車，極大縮短香港、珠海和澳門三地間的時空距離；作為中國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作，該橋被業界譽為橋梁界的“珠穆朗瑪峰”，被英國《衛報》稱為“現代世界七大奇跡”之一。（1）如果一輛汽車在港珠澳大橋上以90千米/小時（1.5千米/分鐘）的速度行駛，那么2分鐘行駛多少千米？3分鐘行駛多少千米？t分鐘行駛多少千米？（2）如果用字母t表示時間，用v表示速度，那么汽車行駛的路程是多少呢？【思考2】椐某報紙報道，父母身高預測子女成年后的身高公式是：兒子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女兒的身高是父親身高的0.923倍加上母親身高的和再除以2。（該公式是根據遺傳原理和歐洲人身高增長速度推算出來的）（1）已知父親身高是a米，母親身高是b米，請你用代數式表示兒子和女兒的身高；（2）女生索菲亞的父親身高是1.84米，母親身高是1.66米；男生喬治的父親身高是1.82米，母親身高是1.64米，試預測索菲亞和喬治成年后的身高。（結果保留兩位小數）【代數式的發展歷史】在古代，當算術里積累了大量的關于各種數量問題的解法后，為了尋求有系統的、更普遍的方法，古老的算術就必須進行改進和發展，未知數x等符號的引人，使算術學科變成了代數學科。有了符號體系，數學的書寫比在算術階段更緊湊、更有效、更抽象，也更能反映一般規律，于是，也就有了更廣泛的應用。從算術到代數，經歷了漫長的歷史時代，許多國家、許多民族都做出過貢獻。代數式概念的形式與發展經歷了一個漫長的歷史發展過程，13世紀，斐波那契（Fibonacci,L.）就開始采用字母表示運算對象，但尚未使用運算符號，韋達（Viete,F.）于15841589年間，引入數學符號系統，使代數成為關于方程的理論，因而人們普遍認為他是代數式的創始人，笛卡兒（Descartes,R.）對韋達的字母用法作了改進，用拉丁字母表中前面的字母a,b,c表示已知數，用末尾的一些字母x，y，z...表示未知數，萊布尼茨（Leibniz,G,W.）對各種符號記法進行了系統研究，發展并完善了代數式的表示方法?！敬鷶凳角笾档闹袊亍壳鼐派厥俏覈糯鷶祵W家的杰出代表之一，他的《數學九章》概括了宋元時期中國傳統數學的主要成就。由他提出的一種多項式求值的簡化算法稱為秦九韶算法：它是一種將n次多項式的求值問題轉化為n個一次式的算法．即使在現代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優的算法。用字母表示數，字母可以像數一樣參與運算，使問題中的數量關系和運算表示得更簡明，更具有一般性。例：加法交換律可用字母表示為：a＋b＝b＋a．乘法交換律可以用字母表示為：ab＝ba．代數式：用運算符號把數和字母連接而成的式子就叫代數式。單獨一個數或一個字母也是代數式。列代數式：在解決實際問題時，常常先把問題中與數量有關的詞語用代數式表示出來，即列出代數式，使問題變得簡潔，更具一般性。代數式的書寫規范：（1）字母與數字或字母與字母相乘時，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；（2）除法運算一般以分數的形式表示；（3）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；（4）字母前面的數字是分數的，如果既能寫成帶分數又能寫成假分數，一般寫成假分數的形式；（5）如果字母前面的數字是1，通常省略不寫。代數式的值：用具體數值代替代數式中的字母，計算所得的結果叫作代數式的值。整體思想是一種重要的數學思想，它抓住了數學問題的本質，是直接思維和邏輯思維的和諧統一。有些數學問題在解題過程中，如果按照常規解法運算較繁，而且容易出錯；如果我們從整體的高度觀察、分析問題的整體形式、整體結構、整體與局部之間的關系、聯想相關的知識，就能尋求捷徑，從而準確、合理地解題。題型1、用字母表示數【解題技巧】用字母表示數，可以使問題中的數量關系表示得更簡明，更具有一般性。核心作用?：簡化復雜數量關系，為實際問題建立數學模型。例1．（2024七年級上·山東青島·專題練習）用字母表示：(1)加法結合律：；(2)乘法結合律：；(3)乘法對加法的分配律：；(4)一個長方形的長為，寬是長的一半，它的周長是，面積是；(5)若，，分別表示梯形的上底、下底和高，則這個梯形的面積為；(6)一個平行四邊形的一邊長為，該邊上的高是其長的，這個平行四邊形的面積是．例2．（2425七年級上·河北唐山·開學考試）如果用表示自然數，那么偶數可以表示為（

）【答案】B【詳解】解：表示自然數，則偶數可以表示為，故選B變式1．（2425七年級上·遼寧葫蘆島·期中）一支鉛筆的價格是a元，一塊橡皮的價格是b元，買2支鉛筆和7塊橡皮應付元．【詳解】解：一支鉛筆的價錢是元，一塊橡皮的價錢是元，變式3．（2425七年級上·安徽蕪湖·期中）某文具店三月份銷售鉛筆100支，四、五兩個月銷售量連續增長．若四月份增長率為，五月份增長率為，則該文具店五月份銷售鉛筆的支數是（

）【答案】B題型2、代數式的概念【解題技巧】代數式：由數、表示數的字母和運算符號組成的數學表達式稱為代數式。這里的運算是指加、減、乘、除、乘方和開方。單獨的一個數或一個字母也是代數式。A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B變式1．（2425七年級上·江蘇宿遷·期中）下列各式中，是代數式的是．（填序號）【答案】①④⑤A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】B是由數與字母通過除法運算得到的式子，是代數式．∴代數式共5個，故選：B．題型3、代數式的書寫規范【解題技巧】代數式的書寫要求：（1）在代數式中出現的乘號，通常簡寫成“?”或者省略不寫；（2）數字與字母相乘時，數字要寫在字母的前面；（3）在代數式中出現的除法運算，一般按照分數的寫法來寫．帶分數要寫成假分數的形式；（4）在代數式前系數為1時，系數可省略不寫，當“1”乘以字母時，只要在那個字母前加上“－”；（5）后面帶單位的相加或相減的式子要用括號括起來。例1．（2425七年級上·江蘇揚州·階段練習）下列式子，符合書寫規范的是（）【答案】A【詳解】解：A.，符合代數式書寫格式，故選項符合題意；變式1．（2425七年級上·江蘇無錫·階段練習）下列各式符合代數式書寫規范的是（

）【答案】A【詳解】解：．符合代數式書寫規范，故該選項符合題意；．中沒有省略，應寫為，故該選項不符合題意；變式2．（2425七年級上·河南商丘·期中）下列各式符合代數式書寫規范的是（

）【答案】C【詳解】解：A.正確的書寫格式為，故此選項不符合題意；

B.正確的書寫格式為，故此選項不符合題意；

C.書寫正確，故此選項符合題意；

題型4、代數式的實際意義【解題技巧】代數式的實際意義需通過語言表述，將字母和運算符號轉化為具體情境中的對象與邏輯。用字母表示數后，同一個代數式可以表示不同實際問題的數量或數量關系。A．與的差的平方B．與的2倍的差C．的平方與的差 D．與的平方的差【答案】DA．第一天比第二天多的游客人數 B．第二天比第一天多的游客人數C．這兩天所有游客人數 D．第二天游客人數【答案】B變式1．（2425七年級上·福建福州·期末）用字母表示的代數式是具有一定意義的，下列賦予實際意義的例子中錯誤的是（

）A．若a表示一個正方形的邊長，則表示這個正方形的周長B．若工程隊平均每天鋪設管道長度a千米，則表示這工程隊4天完成的工作量C．若一個兩位數的十位數字是4，個位數字a，則表示這個兩位數D．若汽車行駛速度是a千米/小時，則表示這輛汽車行駛4小時的路程【答案】C【詳解】解：A、若a表示一個正方形的邊長，則表示這個正方形的周長，正確，故此選項不符合題意；B、若工程隊平均每天鋪設管道長度a千米，則表示這工程隊4天完成的工作量，正確，故此選項不符合題意；D、若汽車行駛速度是a千米/小時，則表示這輛汽車行駛4小時的路程，故此選項不符合題意．故選：C．變式2．（2425七年級上·江蘇南通·期末）下列代數式的意義敘述錯誤的是（

）【答案】CB．的意義是a與b的積的5倍，故本選項說法正確，不符合題意；題型5、列代數式【解題技巧】列代數式：在解決實際問題時，常常先把問題中與數量有關的詞語用代數式表示出來，即列出代數式。代數式可以簡明地、具有普遍意義地表示實際問題中的量，給數量關系的研究帶來方便。特別注意代數式的書寫要規范。例1．（2425七年級上·江蘇南京·期中）某電廠有煤噸，計劃每天用煤噸，實際每天用煤節約了噸，節約后可多用（

）【答案】C【詳解】解：某電廠有煤噸，計劃每天用煤噸，節約前可用天，【答案】B變式2．（2425七年級上·江蘇南京·期末）從1～9這九個數字中選擇三個不同的數字，由這三個數字可以組成六個兩位數．先把這六個兩位數相加，然后再用所得的和除以所選三個數字之和．【答案】(1)見解析(2)見解析（2）解：若選擇的三個數字分別為a，b，c三個不同的數字，∴從1～9這九個數字中選擇三個不同的數字，由這三個數字可以組成六個兩位數．先把這六個兩位數相加，然后再用所得的和除以所選三個數字之和．最后得到的結果都是．題型6、用代數式表示探究圖形規律【解題技巧】規探索律型問題是指在一定條件下，探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規律。它體現了“特殊到一般”的數學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯想、歸納能力，以及探究能力和創新能力。例1．（2425七年級上·江蘇徐州·期中）下列圖形都是有幾個黑色和白色的正方形按一定規律組成，圖①中有1個白色正方形，圖②中有4個白色正方形，圖③中有7個白色正方形，圖④中有10個白色正方形，…，按此規律，圖⑩中白色正方形的個數是（

）A．32 B．29 C．28 D．26【答案】C例2．（2425七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，用形狀和大小一樣的四邊形圖案擺出下列一組圖形：

(1)擺出第1個圖形要用4個四邊形圖案，擺出第2個圖形要用______個四邊形圖案，擺出第3個圖形要用________個四邊形圖案．(2)按照這種方式擺下去，第n個圖形要用_____________（用含n的代數式表示）個四邊形圖案組成．(3)擺出第2024個圖形要用多少個四邊形圖案？【詳解】（1）解：根據圖形可得：第1個圖形要用個四邊形圖案，第2個圖形要用個四邊形圖案，第3個圖形要用個四邊形圖案；變式1．（2425七年級上·江蘇鹽城·期中）觀察下列一組圖形中點的個數，其中第①個圖形中共有4個點，第②個圖形中共有12個點，第③個圖形中共有24個點，按此規律，第⑩個圖形有個點．【答案】∵第n個圖形中白色正方形的個數記為，題型7、代數式求值（已知字母和式子的數值）【解題技巧】代數式的值：一般地，用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果叫作代數式的值。例如：當x=20時，代數式x7的值是13。注意：求代數式的值的步驟：（1）代入數值；

（2）計算結果。A． B．3 C．10 D．11【答案】D【答案】【答案】0…012……135…【答案】【答案】題型8、程序框圖與代數式求值【解題技巧】解題思路:?1）?確定運算順序與規則?：根據程序框圖的符號（如處理框、判斷框）明確運算優先級和條件分支；2）?周期性規律的快速定位?：若輸出值出現重復序列，可直接通過余數確定第

n

次結果。通過結合程序框圖的邏輯分析與代數式化簡技巧，可高效解決動態運算問題，提升計算準確性與速度。例1．（2425七年級上·江蘇揚州·期末）如圖，按照程序圖計算，當輸入正整數x時，輸出的結果為215，則輸入的x值可能是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B如果輸入的數字經過五次運算才能輸出結果，則第1次計算后的結果是1，此時不是正整數，綜上所述，輸入的的值可能是7，23，71，故選：B．【答案】B【答案】19題型9、代數式求值（整體思想）【解題技巧】整體思想是一種重要的數學思想，它抓住了數學問題的本質，是直接思維和邏輯思維的和諧統一。有些數學問題在解題過程中，如果按照常規解法運算較繁，而且容易出錯；如果我們從整體的高度觀察、分析問題的整體形式、整體結構、整體與局部之間的關系、聯想相關的知識，就能尋求捷徑，從而準確、合理地解題。將已知代數式或所求代數式變形，整體替換成已知值。當代數式中?奇次項的系數互為相反數?時（如

x與

?x、x3

與

?x3），可利用變量替換或配對法簡化求值，步驟如下：?識別對稱性?：觀察代數式中奇次項是否成對出現且符號相反；?整體代入?：將已知條件轉化后整體代入求值即可。通過靈活運用奇次項特性，可大幅簡化復雜代數式的求值過程?！敬鸢浮俊敬鸢浮?0【答案】22【答案】A．0 B． C．1 D．【答案】A題型10、代數式求值（整體思想之賦值法）【解題技巧】賦值法與整體思想結合，可高效解決復雜代數式求值問題，關鍵在于靈活選擇賦值點并合理簡化表達式?！敬鸢浮浚?）4；（2）8；（3）0．【答案】392變式1．（2425邗江區期中）若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，則a+c+e=．【答案】528【解析】∵（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，令x=﹣1，有﹣32=﹣a+b﹣c+d﹣e+f①令x=1，有1024=a+b+c+d+e+f②由②﹣①有：1056=2a+2c+2e，即：528=a+c+e．【答案】1題型11、代數式求值（實際應用）【解題技巧】賦值法與整體思想結合，可高效解決復雜代數式求值問題，關鍵在于靈活選擇賦值點并合理簡化表達式。A．上海高 B．紐約高 C．一樣高 D．無法比較【答案】C又上海的最高氣溫是，兩地的氣溫一樣高，故選：C．例2．（2425七年級上·江蘇南通·期中）魯班鎖是我國古代傳統建筑的固定接合器，也是一種廣泛流傳的益智玩具（圖1），其中六根魯班鎖中一個構件的一個面的尺寸如圖2所示．(1)用含字母的式子表示圖2所示的面積（用含有a，b，c，d的式子表示）；【答案】220變式2．（2425七年級上·陜西渭南·期中）冰糖葫蘆是我國傳統小吃，起源于宋代，一般是用竹簽穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．(1)若用200個山楂穿冰糖葫蘆，且每串的山楂個數相等，每串冰糖葫蘆的山楂個數與冰糖葫蘆的總串數成______比例關系；（填“正”或“反”）【詳解】（1）解：∵每串冰糖葫蘆的山楂個數與冰糖葫蘆的總串數的乘積為，是定值，∴每串冰糖葫蘆的山楂個數與冰糖葫蘆的總串數成反比例關系．1．（2324七年級上·河北秦皇島·開學考試）小明比小強大2歲，比小華小4歲．如果小強y歲．則小華（

）【答案】D2．（2425七年級上·江蘇宿遷·期中）下列式子，符合代數式書寫規范的是（

）【答案】B3．（2425七年級上·江蘇·期末）下列式子是代數式的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B②是數5與字母t的乘積，符合代數式的定義，是代數式；綜上可知，是代數式的有②，故選：B．4．（2425七年級上·山東濟寧·期中）下列說法中，正確的是（

）【答案】DB、是代數式，1是代數式，故選項錯誤，不符合題意；A．1 B．2 C． D．【答案】C【答案】的倍與的差9．（2425七年級上·江蘇揚州·期末）某商品原價每件a元，實際銷售時先打8.5折，然后每件再降價10元，此時該商品的售價為每件元．（用含a的代數式表示）10．（2425七年級上·江蘇揚州·期末）如圖，在求兩位數乘兩位數時，可以用“列豎式”的方法進行速算，根據前3個“列豎式”的速算方法，則第4個的兩位數的個位數字y用十位數字x可表示為．【答案】9【答案】1213．（2425七年級下·廣東肇慶·期末）如圖是用大小相等的五角星按一定規律拼成的一組圖案，請根據你的觀察，寫出第10個圖案中小五角星有顆．【答案】3114．（2425七年級上·江蘇徐州·期中）為鼓勵節約用水，某地推行階梯式水價計費制，標準如下：若每戶每月用水不超過15立方米，按每立方米a元計費；若超過15立方米，則超過部分按每立方米b元計費．(3)在（2）的條件下，小華家上月用水x立方米，求應交水費．【詳解】（1）解：因為10立方米立方米，所以應交水費為元；【答案】(1)1(2)9(1)設動力為，動力臂為，用式子表示與的關系，并說明與的比例關系：(2)當動力臂為時，則撬動這塊石頭至少需要的動力是多少N？A． B． C． D．【答案】B2．（2425七年級上·廣東陽江·期中）“中國結”寓意美滿團圓，中間的圖案是由小正方形按一定規律組成的，其中第1個圖形共有14個小正方形，第2個圖形共有19個小正方形，第3個圖形共有24個小正方形，……，依此規律，第7個圖形中小正方形的總個數為（

）A．39 B．44 C．64 D．69【答案】B【答案】②③/③②∴是完全對稱式的有②③，故答案為：②③．5．（2023春·遼寧沈陽·七年級統考期中）用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數之和為x．(1)圖中①﹣④的格點多邊形，其內部都只有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數之和的對應關系如表：多邊形的序號①②③④…多邊形的面積S234…各邊上格點的個數和x456…請完成表格并直接寫出S與x之間的關系式；(2)如圖⑤，圖⑥的格點多邊形內部都只有2個格點．①請你仿照圖⑤，圖⑥，在圖⑦，圖⑧的位置再畫出兩個不同的格點多邊形，使這兩個多邊形內部都有且只有2個格點；②結合圖⑤﹣⑧的格點多邊形，直接猜想此時所畫的各多邊形的面積S與它各邊上格點的個數之和x之間的關系式為：．（2）①如圖，分別畫出兩個格點多邊形⑦⑧，其內部都只有兩個格點．6．（2425七年級上·江蘇鹽城·期中）【閱讀理解】蘇教版數學新教材七年級上冊93頁論述了一元多項式的恒等關系：如果一個多項式中只含一個字母，那么就稱它為一元多項式．對于兩個含字母x的一元多項式，當x任取一個數時，如果這兩個多項式的值都是相等的，那么就稱這兩個一元多項式是恒等的．【答案】(1)243(2)1227．（2425七年級上·江蘇泰州·階段練習）（1）【回歸課本】下面圖1中的（1）~（3）是課本中的一道習題：請根據下面的圖示，用a的代數式分別表示圖1中的①（1）~（3）中陰影部分的面積．圖（1）中陰影部