第01講空間向量及其線性運算本講義亮度：1構建知識體系明確學習目標，深入淺出，力求打扎實基礎；2例題經典力求熟練掌握各常考題型，提高分析能力；【題型一】空間向量的概念【題型二】空間向量的線性運算【題型三】共線向量【題型四】共面向量3課后分層練習進一步鞏固所學內容.1.掌握空間向量的概念；2.掌握空間向量的線性運算；3.理解空間共線向量和共面向量，并會證明空間四點共面.【題型一】空間向量的概念相關知識點講解在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，用字母a、bPS(1)空間中點的位移、物體運動的速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示；(2)向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作AB，其模記為|a(3)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量；(4)向量具有平移不變性.(5)在空間，零向量、單位向量、相等向量、反向量與在平面的對應向量一樣.【典題1】（2425高二上·山東·階段練習）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量a，b滿足a=b，則④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數為（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據零向量的定義判斷①，根據相等向量的定義判斷②③，根據單位向量定義判斷④.【詳解】零向量是大小為0的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；若空間向量a，b滿足a=b，但由于它們的方向不一定相同，故a,空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；所以正確的命題只有1個；故選：D.變式練習1（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在底面為正方形的平行六面體ABCD-A'B'C'A．0個 B．3個 C．7個 D．9個【答案】C【分析】根據模的定義，以及平行六面體的性質，即可求解.【詳解】由向量的模的定義，根據平行六面體的性質可知，與向量AAA'A,B故選：C．2（2024高三·全國·專題練習）下列關于空間向量的說法中正確的是（）A．單位向量都相等B．若|a|=|bC．若向量AB，CD滿足|AB|>|D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據向量的相關概念及向量的性質，即可判斷各項的正誤.【詳解】對于A中，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；對于B中，|a|=|b|只能說明對于C中，向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，故C錯誤；對于D中，相等向量其方向必相同，故D正確．故選：D.3（2425高二上·全國·課后作業）下列說法正確的是（

）A．向量AB與向量BA是相等向量B．與實數類似，對于兩個向量a，b，有a=b，a>C．向量的模是一個正實數D．若兩個非零向量是共線向量，則這兩個向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根據相等向量的概念判斷A；根據空間向量的概念判斷B；根據空間向量模的定義判斷C；根據共線向量的定義判斷D.【詳解】對于A，向量AB與向量BA是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；對于B，與實數不一樣，兩個實數可以比較大小，而兩個向量不能比較大小，因此B不正確；對于C，向量的模是一個非負實數，因此C不正確；對于D，若兩個非零向量是共線向量，則這兩個向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.故選：D.4（2425高二·全國·課后作業）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體ABCD-A1B③a=b是向量④若空間向量m,n,p滿足m∥其中正確的命題的個數是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據空間向量的相關概念逐項判斷.【詳解】有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯誤；AC和A1C1大小一樣、方向相同，則AC若a=b，則a和b的模相等，方向不一定相同，若a=b，則a和b的模相等，方向也相同，所以a=向量的平行不具有傳遞性，比如當n為零向量時，零向量與任何向量都平行，則m,p不一定平行，故④綜上所述，②③正確.故選：B．【題型二】空間向量的線性運算相關知識點講解(1)定義:與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下(如圖).OA=OB+OC=(2)運算律①加法交換律:a+②加法結合律:(a③數乘分配律:λ(a運算法則:三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則.PS平行六面體法則:在平行六面體ABCD－A1【典題1】（2425高二上·河南南陽·期末）如圖，在四面體OABC中，設OA=a,OB=b,OC=c，G為A．16a-C．16a-【答案】A【分析】根據空間向量的線性運算可得結果.【詳解】如圖，連接OH，連接OG并延長交AB于點D，則D為AB中點，且OG=∴OG=∵H為AC的中點，∴OH=∴GH=故選：A.變式練習1（2425高二下·江蘇鹽城·階段練習）已知空間四邊形ABCD中，連結AC,BD，設M,G分別是BC,CD的中點，則MG-AB+A．32DB B．3MG C．GM【答案】B【分析】根據空間向量的減法及線性關系計算即可.【詳解】因為M,G分別是BC,CD的中點，所以MG→則MG→故選：B.2（2425高二下·安徽六安·階段練習）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C①AB+BC+C③AB+BB1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據空間向量的加法法則判斷．【詳解】由正方體ACAB+BC+AB+BB故選：D．3（2024高三·全國·專題練習）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點．若A．a+b+12c B．a【答案】A【分析】利用空間向量的線性運算即可得到結果.【詳解】由題意得，AM=故選：A．4（2425高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點，AE→=4AFA．DF→=14C．DF→=-14【答案】B【分析】根據條件可得出AF→【詳解】AE→=4AF∵E是BC的中點，∴AE∴AF∴故選：B.5（2425高二上·遼寧丹東·期末）在四面體O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點D滿足BD=xBC，E為A．16 B．13 C．12【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.【詳解】由題意OE=1所以12a+故選：B【題型三】共線向量相關知識點講解(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b(2)共線向量定理：空間任意兩個向量a，b(b≠0)，(3)三點共線：A、B、(4)與a共線的單位向量為±a【典題1】（2425高二·甘肅武威·課后作業）下列條件中，能說明空間中不重合的三點A、B、C共線的是（

）A．AB+BC=C．|AB|=|BC【答案】D【分析】利用空間中不重合的三點共線的條件，逐一考查所給的選項是否正確即可.【詳解】對于空間中的任意向量，都有AB+BC=若AB-BC=AC，則AC+BC=AB，而|AB|=|BC|，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A、B、AB=BC，則A、B、C三點共線，選項故選：D.【典題2】（2324高一下·河北邢臺·期末）一個棱長為4的正四面體木塊如圖所示，點P在棱VA上，且VP=14VA，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】分別在BA，BC，VC上取點D，E，F，可得四邊形PFED即為所求截面，求出周長可得答案．【詳解】如圖所示，分別在BA，BC，VC上取點D，E，F，且滿足BDBA易得PD//VB//所以四邊形PFED為平行四邊形，可得PD=EF=3，PF=DE=1，因為VB?平面PFED，FE?平面PFED，所以VB//平面PFEDAC?平面PFED，PF?平面PFED，所以AC//平面PFED所以四邊形PFED即為截面，故截面圖形的周長為8．故選：B.變式練習1（2425高二上·河南許昌·階段練習）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為ABA．A1B B．DC1 C．【答案】B【分析】利用線線位置關系可得與向量EF平行的向量.【詳解】由長方體ABCD-A1B1C所以四邊形AB1C1D又E，F分別為AB，BB1的中點，所以AB所以向量EF平行于DC因為直線A1B與直線EF相交，又A1B∥D1C又直線AC1與AB1相交，所以向量故選：B.2（2425高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點A、B、C共線的是（

）A．AB+BC=ACC．AB=-2BC D【答案】C【分析】根據向量的加法運算可判斷A，根據向量的減法以及相反向量可判斷B，根據共線向量的定義可判斷C，向量的模長相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.【詳解】對于A，對于空間中的任意向量，都有AB+BC=對于B，若AB-BC=AC，則AC+BC=AB，而AC+對于C，AB=-2BC，則A、B、C三點共線，選項對于D，AB=BC，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項故選：C.3（2425高二上·天津河西·期中）設空間四點O,?A,?B,?P滿足A．點P一定在直線AB上 B．點P一定不在直線AB上C．點P不一定在直線AB上 D．以上答案都不對【答案】A【分析】利用空間向量的線性運算結合空間三點共線的向量表示法求解即可.【詳解】因為m+n=1，所以m=1-n，而OP=m故OP=(1-n)OA+n所以AP=nAB，則點P一定在直線AB上，故A故選：A4（2425高二上·上海·課后作業）設e1，e2是空間兩個不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-2 B．-4 C．-8 D．8【答案】C【分析】利用向量的線性運算表示AD，根據A、B、D三點共線可得AB=λAD，建立等量關系可得k【詳解】∵AB?=2e1?∴AD?∵A、B、D三點共線，∴?λ∈R，使得AB=λ即2e1?∴λ=2，λ(k+4)=k，解得k=-8．故選：C．5（2324高二上·貴州·開學考試）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，PA．當λ=0時，點P在棱BBB．當λ=μ時，點P在線段B1C．當μ=1時，點P在棱B1D．當λ+μ=1時，點P在線段B1【答案】B【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可.【詳解】對于A，當λ=0時，BP=μBB所以BP//BB1，則點P在棱對于B，當λ=μ時，BP=λBC+B即BP=λB所以點P在線段BC1上，故對于C，當μ=1時，BP=λBC+所以λBC=BP-B所以點P在棱B1C1對于D，當λ+μ=1時，所以BP=λBC+所以BP-即B1P=λ所以點P在線段B1C上，故故選：B．6（2324高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【答案】C【分析】根據共線定理及空間向量線性運算可得結果.【詳解】如圖：連接DG交BC于H，則H為BC中點，連接AH,EH,AG,因為AG?平面AHD，EH?平面AHD，設AG∩EH=K，則K∈EH,K∈AG，又EH?平面BCE，所以K∈平面BCE，故K為AG與平面BCE的交點，又因為AG與平面BCE交于點F，所以F與K重合，又E為AD的中點，G為平面BCD的重心，因為點A，F，G三點共線，則AF=m=又因為點E，F，H三點共線，則AF=xAF=x所以m3=x2x+y=1m3故選：C.【題型四】共面向量相關知識點講解(1)定義一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量.說明:空間任意的兩向量都是共面的.(2)共面向量定理如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,(3)四點共面方法1若要證明A、B、C、方法2若要證明A、B、C、P證明若x+y+z=1，則OP=x=OC∴OP-OC即CP,CA,CB【典題1】（2223高二下·江蘇宿遷·階段練習）已知向量e1，e2不共線，AB=e1+eA．AB與AC共線 B．AB與CD共線C．A，B，C，D四點不共面 D．A，B，C，D四點共面【答案】D【分析】根據平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，∵12≠18，∴不存在實數λ，使得AB=λAC成立，∴對于B，∵AC=2e1+8e2，又11≠1-13，∴不存在實數λ，使得AB=λCD成立，∴對于C、D，若A，B，C，D四點共面，則有AD=x∴x+2y=3x+8y=-5，即x=17故A，B，C，D四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.【典題2】（2025·山西臨汾·一模）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，H為CC1的中點，AF=λAH，λ∈0,1A．12 B．25 C．13【答案】D【分析】由四點B，D，C1，F共面可得存在實數x,y，使BF=xBC【詳解】由平行六面體的特征可得AH=則AF=λ所以BF=又BD=AD-又由B，D，C1，F四點共面，可得存在實數x,y，使BF所以λ-1=-yλ=x+yλ2故選：D.變式練習1（2324高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【答案】C【分析】利用空間向量的共線定理與共面定理.【詳解】若MA,MC共線，則又MC=5MA-3與條件矛盾，故A錯誤；同理若MB,MC共線，則又MC=5MA-3與條件矛盾，故B錯誤；根據空間向量的共面定理可知MA,MB,MC共面，即C故選：C2（2425高二上·安徽銅陵·階段練習）已知A，B，C，D是空間不共面的四點，點P滿足：5PA=PBA．P，A，B，C四點共面 B．P，A，B，D四點共面C．P，B，C，D四點共面 D．P，A，C，D四點共面【答案】C【分析】由空間向量共面定理的推論求解即可；【詳解】因為5PA=PB即5AP=AB因為16+13+另解：由已知得PB=5所以PB?,PC?,PD?故選：C．3（2425高二上·浙江金華·期末）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E是棱AB的中點，PF=2FB,PG=λGC，D，E，F，GA．1 B．12 C．23 D【答案】A【分析】結合圖形，表示出相關向量，再利用四點共面時空間向量的基本定理列方程組求解即可.【詳解】由題意可得DE=因為PF=2FB,所以DF=DP+PF所以DF=因為PG=λGC，所以PG=所以DG=因為D，E，F，G四點共面，根據空間向量四點共面的性質，有DG=x所以1λ+1所以y3=1所以λ=1.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能利用空間向量的基本定理得到下列方程1λ+1【A組基礎題】1（2425高二下·全國·課堂例題）下列關于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若a=b，則a，C．若向量AB，CD滿足AB>CDD．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據向量的相關概念及向量的性質，即可判斷各項的正誤.【詳解】對于A，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；對于B，a=b只能說明a，b的長度相等而方向不確定，故對于C，向量作為矢量不能比較大小，故C錯誤；對于D，相等向量方向相同大小相等，故D正確.故選：D.2（2025·新疆喀什·模擬預測）在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，若AB+DC=λEF，則A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據向量加法法則，將AB+DC,EF【詳解】如圖，AB+EF=∴AB+DC故選：C.3（2425高二上·廣東·期末）如圖，在四面體OABC中，D為BC的中點，3AG=2AD，且P為OG的中點，則OPA．16OA+1C．13OA+【答案】A【分析】根據空間向量的線性運算求解即可.【詳解】由題意，OP=1故選：A4（2425高二下·福建龍巖·期中）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+2e2A．-3 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由AB=mBC【詳解】因為A,B,C三點共線，所以AB=m即e1所以mλ=1mμ=2m=-1，解得所以λ+μ=-3，故選：A5（2425高二下·江蘇揚州·階段練習）下列條件中，使點M與點A?B?A．MA+MB+C．OM=3OA+2【答案】A【分析】利用空間共面向量定理以及其推論，看等式右邊系數和是否為1，可判斷A,B,C;根據空間向量共面定理即可判斷D,得出正確答案．【詳解】對于MA+MB+MC=0可得，MA=-MB-MC，由空間共面向量定理知，對于OM=2OA-OB-OC可知，系數和不為1，故M、A、對于OM=3OA+2OB-6OC，系數和3+2-6=-1≠1，故M、A、對于OM+OA+OB+OC=0，可得OM=-OA-OB-故選：A.6（2223高一下·全國·課后作業）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，E是棱PD上的點，且PE=3ED，若PF=λPC，且滿足BF//平面ACE，則λ=（A．23 B．32 C．33【答案】A【分析】連接BD，交AC于點O，連接OE，利用中位線性質和線面平行的判定證明BG//平面ACE，結合BF//平面ACE，則證明平面BGF//平面ACE，再利用利用面面平行的性質則有GF//【詳解】如圖，連接BD，交AC于點O，連接OE，則BO=OD，在線段PE取一點G，使得GE=ED，則G是PD的中點，PGPE連接BG，FG，則BG//因為OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG//平面ACE.因為BF//平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF?平面BGF，所以平面BGF//平面ACE因為平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，所以GF//所以PFPC=PG故選：A.7（多選）（2425高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且AB=AA1=4，∠BAD=60°，M為線段D1C1的中點，A．若μ=1，則三棱錐P-DBC的體積為定值B．若λ=12，則有且僅有一個點PC．若λ+μ=12，則PND．若λ=0，μ=12，則平面DPM【答案】ACD【分析】根據每個選項確定點P的位置，并通過數形結合進行求解.【詳解】對于選項A：當μ=1時，B1P=λBC而B1C1//平面DBC，故A正確；對于選項B：當λ=12時，取BC中點記為E，連接EN，易得點P當點P與點E重合時，因為底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，所以DB=DC，又因為E為BC中點，所以DE⊥BC，又AB=AA1=4，所以DE=23，又由已知此棱柱為直棱柱，所以則B1B2又B1B2+D所以ED⊥EB1，即當點P與點N重合時，因為B1又NE⊥DE，所以NE2+DE2所以ND⊥NB1，即故B錯誤；對于選項C：當λ+μ=12時，取BC中點記為E連接EF，則點P在線段EF上運動，易得點C關于直線EF的對稱點為C'連接NC'，此時點N、E、故點P與點E重合時，PN+PC取得最小值為故C正確；對于選項D：當λ=0，μ=12時，因為由直棱柱性質可知，面ABB1A1//面DC則平面DPM截該直棱柱交AB于E，交B1C1且由定理可得EP//DM,DE//MF，所以易得ΔDD1M與ΔPBE易知BE=1，B1所以DM=25，EP=FP=2DE=MF=2易得平面DPM截該直棱柱所得截面周長為95故D正確.故選：ACD8（2425高一下·浙江·期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，【答案】13【分析】根據向量的線性運算的意義可以判定P的位置，然后利用展開方法求得B1P+PD【詳解】取AB,CD的靠近A,D的四等分點M,N，連接MN，由題意得P為線段MN上的動點，將MNC1BAD=2,AM=1,MB1=MB所以B1P+PD的最小值為故答案為：13.9（2425高二上·安徽·階段練習）已知向量a,b,(1)若AB=mAC,m∈R(2)若O,A,B,C四點共面，求3p+5q的值.【答案】(1)2,-2(2)-4【分析】（1）根據向量的運算得到AB以及AC，再根據AB與AC的關系列得方程組，即可求得結果；（2）根據四點共面得到OB=λOA+μOC，可用λ和μ表示出p【詳解】（1）由題可得：AB=AC=因為AB=mAC，所以即p-1=m,3=3m,q-1=-3m,所以p,q的值分別為2,-2；（2）因為O,A,B,C四點共面，所以存在λ,μ∈R，使得OB=λ即pa+b+qc=λa-2b+c于是有p=λ+2μ,所以3p+5q=3λ+2μ即3p+5q的值為-4.【B組提高題】1（2025·江西·模擬預測）在四面體O-ABC中