甘肅省一模理科數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$的定義域為$D$，則$D$等于：

A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,1)\cup[1,+\infty)$

C.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty]$

D.$(-\infty,1]\cup(1,+\infty)$

2.下列命題中正確的是：

A.對于任意實數$a$，$a^2\geq0$

B.對于任意實數$a$，$a^2\leq0$

C.對于任意實數$a$，$a^2=0$

D.對于任意實數$a$，$a^2\neq0$

3.已知等差數列$\{a_n\}$的前三項分別為$2$，$4$，$6$，則第$10$項為：

A.$16$

B.$18$

C.$20$

D.$22$

4.已知等比數列$\{b_n\}$的前三項分別為$1$，$2$，$4$，則$\{b_n\}$的通項公式為：

A.$b_n=2^{n-1}$

B.$b_n=2^{n+1}$

C.$b_n=2^n$

D.$b_n=2^{n-2}$

5.若直線$l:x-2y+1=0$與直線$m:2x+y-3=0$平行，則兩直線之間的距離為：

A.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

B.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

C.$\frac{2}{\sqrt{5}}$

D.$\frac{2}{\sqrt{5}}$

6.已知函數$y=\sqrt{1-x^2}$的圖像是一個：

A.半圓

B.橢圓

C.拋物線

D.雙曲線

7.若函數$f(x)=\sinx$的圖像在區間$[0,\pi]$上的變化趨勢為：

A.單調遞增

B.單調遞減

C.先增后減

D.先減后增

8.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為：

A.$3$

B.$-3$

C.$5$

D.$-5$

9.已知函數$y=\log_2x$的圖像為：

A.一條直線

B.一條拋物線

C.一條雙曲線

D.一條指數曲線

10.若直線$l:y=kx+b$經過點$(2,3)$，且與$y$軸的交點坐標為$(0,1)$，則$k$和$b$的值分別為：

A.$k=2,b=-1$

B.$k=-2,b=1$

C.$k=1,b=2$

D.$k=-1,b=3$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項中，屬于實數的是：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$i$

D.$\frac{1}{2}$

2.下列數列中，哪些是等差數列：

A.$1,4,7,10,\ldots$

B.$2,6,12,18,\ldots$

C.$1,3,6,10,\ldots$

D.$1,2,4,8,\ldots$

3.下列函數中，哪些是奇函數：

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\sinx$

D.$f(x)=\cosx$

4.下列方程中，哪些是二次方程：

A.$x^2+2x+1=0$

B.$x^3-3x^2+4x-1=0$

C.$x^2+x-6=0$

D.$x^4-2x^3+3x^2-4x+1=0$

5.下列圖形中，哪些是圓：

A.以點$(0,0)$為圓心，半徑為$1$的圓

B.以點$(2,3)$為圓心，半徑為$5$的圓

C.以點$(0,0)$為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓

D.以點$(1,1)$為圓心，半徑為$2$的圓

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數$f(x)=3x^2-4x+1$的頂點坐標為_________。

2.等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中$a_1$是首項，$d$是公差，若$a_1=3$，$d=2$，則第$10$項$a_{10}$的值為_________。

3.若等比數列$\{b_n\}$的公比$q=\frac{1}{2}$，且$b_1=8$，則第$6$項$b_6$的值為_________。

4.直線$l:2x-3y+6=0$與$y$軸的交點坐標為_________。

5.若函數$y=\frac{1}{x}$的圖像上任意兩點$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，則這兩點連線的斜率$k$為_________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列函數的導數：

$f(x)=\sqrt{x^2+4x+3}$

2.解下列一元二次方程：

$2x^2-5x+3=0$

3.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求首項$a_1$和公差$d$。

4.已知等比數列$\{b_n\}$的前三項分別為$b_1=2$，$b_2=6$，$b_3=18$，求該數列的通項公式。

5.已知直線$l:3x+4y-12=0$與圓$x^2+y^2-6x-4y+16=0$相交，求兩交點的坐標。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案：

1.A

2.A

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A

9.C

10.A

二、多項選擇題答案：

1.A,B

2.A,B

3.A,C

4.A,C

5.A,B

三、填空題答案：

1.$(1,-2)$

2.21

3.1

4.$(0,2)$

5.$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

四、計算題答案及解題過程：

1.計算導數：

$f(x)=\sqrt{x^2+4x+3}$

使用鏈式法則，設$u=x^2+4x+3$，則$f(x)=\sqrt{u}$。

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdotu'$，其中$u'=2x+4$。

所以$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+4x+3}}\cdot(2x+4)$。

2.解一元二次方程：

$2x^2-5x+3=0$

使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=3$。

$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{4}=\frac{5\pm1}{4}$。

所以$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。

3.求等差數列的首項和公差：

$S_n=3n^2+2n$

使用等差數列前$n$項和的公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。

將$S_n$的表達式代入，得到$3n^2+2n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。

解得$a_1=1$，$d=2$。

4.求等比數列的通項公式：

$b_1=2$，$b_2=6$，$b_3=18$

公比$q=\frac{b_2}{b_1}=3$。

所以通項公式為$b_n=b_1\cdotq^{n-1}=2\cdot3^{n-1}$。

5.求直線與圓的交點坐標：

直線$l:3x+4y-12=0$

圓$x^2+y^2-6x-4y+16=0$

將直線方程代入圓的方程，得到$9x^2+16y^2-72x-64y+144=0$。

化簡得到$9(x^2-8x)+16(y^2-4y)+144=0$。

完全平方得到$9(x-4)^2+16(y-2)^2=144$。

解得$x-4=\pm4$，$y-2=\pm3$。

所以交點坐標為$(8,5)$和$(0,5)$。

知識點總結：

本試卷涵蓋了數學基礎理論部分的知識點，主要包括：

1.函數的導數：包括冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等的導數計算。

2.一元二次方程：使用求根公式求解一元二次方程。

3.等差數列：求首項、公差和前$n$項和。

4.等比數列：求首項、公比和通項公式。

5.直線與圓的位置關系：求解直線與圓的交點坐標。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例：

1.選擇題：考察學生對基本概念和公式的理解和應用能力。

示例：判斷一個數是否為實數，