廣東省珠海市2009屆高三第二次調(diào)研考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題要求：從每題的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)最符合題意的答案。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在x=1處取得極值，則該極值為（）。A.1B.-1C.0D.22.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S_n為（）。A.n^2B.n^2-nC.n^2+nD.n^2+2n二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極值，則a+b+c=（）。4.已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1-2an-2，且a1=1，a2=2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求f(x)的極值點(diǎn)及極值。（2）已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+3an-2，且a1=1，a2=3，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。6.（1）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1-2an-2，且a1=1，a2=2，求證：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S_n=2^n-1。四、解答題要求：解答下列各題。7.（1）已知函數(shù)f(x)=(x-1)^2(x-3)，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并判斷f(x)在區(qū)間[0,4]上的單調(diào)性。（2）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3^n-2^n，求證：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S_n=(3^(n+1)-2^(n+1))/2。五、解答題要求：解答下列各題。8.（1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S_n=2n^2+3n，求該數(shù)列的首項(xiàng)a_1和公差d。（2）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S_n=3^n-1，求該數(shù)列的首項(xiàng)a_1和公比q。六、解答題要求：解答下列各題。9.（1）已知函數(shù)f(x)=x^4-8x^3+18x^2-8x+1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并求f(x)的極值點(diǎn)及極值。（2）已知數(shù)列{an}滿足an=an-1+an-2+1，且a1=1，a2=2，求證：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析思路：首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=1。計(jì)算f''(1)=6，因?yàn)閒''(1)>0，所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn)，極小值為f(1)=1-3+1=0。2.答案：B解析思路：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=2n-1，前n項(xiàng)和S_n=a_1+a_2+...+a_n=(2*1-1)+(2*2-1)+...+(2*n-1)=n+2n+...+2n-n=n(n)=n^2-n。二、填空題3.答案：0解析思路：由極值條件知f'(1)=0，代入函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c得2a+b=0。又因?yàn)闃O值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為0，二階導(dǎo)數(shù)不為0，即f''(1)≠0，代入得2a≠0，因此a+b+c=0。4.答案：3^n-1解析思路：根據(jù)遞推公式an=3an-1-2an-2，可以列出an-2an-1=an-1-2an-2，即(an-an-1)-(an-1-an-2)=0。這表明{an-an-1}是一個(gè)常數(shù)列，設(shè)這個(gè)常數(shù)為k，則有an-an-1=k。由a1=1，a2=2，可以求出k=1，因此an=an-1+1。根據(jù)an=3an-1-2an-2，得到an-1=3(an-2-1)+1，即an-1=3^n-3^n+1，從而得到an=3^n-1。三、解答題5.（1）答案：極值點(diǎn)x=2，極值f(2)=-1。解析思路：首先求出f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=2。計(jì)算f''(2)=6，因?yàn)閒''(2)>0，所以x=2是f(x)的極小值點(diǎn)，極小值為f(2)=2^3-6*2^2+9*2-1=-1。6.（1）答案：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2)和(3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,3)。解析思路：首先求出f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=2和x=3。在x=2處，f''(2)=6，f''(3)=6，因此x=2和x=3都是f(x)的極值點(diǎn)。通過測(cè)試這些點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，可以確定單調(diào)區(qū)間。四、解答題7.（1）答案：f'(x)=3x^2-6x+2，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)和(2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)。解析思路：對(duì)f(x)=(x-1)^2(x-3)求導(dǎo)得f'(x)=3(x-1)(x-2)。令f'(x)=0，解得x=1和x=2。通過測(cè)試這些點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，可以確定單調(diào)區(qū)間。8.（2）答案：首項(xiàng)a_1=1，公比q=3。解析思路：由S_n=3^n-1，可以得出a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^(n-1)=3^n-1。將首項(xiàng)a_1代入，得a_1(1+q+q^2+...+q^(n-1))=3^n-1。由等比數(shù)列求和公式，得a_1*(q^n-1)/(q-1)=3^n-1。由于n=1時(shí)等式成立，因此a_1=1。解