高三2024年數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.駐點

D.不存在極值

2.下列不等式中，正確的是：

A.$x^2+1>0$

B.$x^2-1<0$

C.$x^2+1<0$

D.$x^2-1>0$

3.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n-1$，則數列$\{a_n\}$的通項公式是：

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^n+1$

C.$a_n=2^{n-1}-1$

D.$a_n=2^{n-1}+1$

4.已知復數$z=1+i$，則$|z|$的值是：

A.$\sqrt{2}$

B.$2$

C.$\sqrt{5}$

D.$1$

5.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的取值范圍是：

A.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-1,1)$

D.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

6.若函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域為$\{x|x\neq2\}$，則函數$f(x)$的值域是：

A.$\{y|y\neq2\}$

B.$\{y|y\neq0\}$

C.$\{y|y\neq-2\}$

D.$\{y|y\neq4\}$

7.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，公差為$d$，首項為$a_1$，則$S_n$的通項公式是：

A.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

B.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}-\frac{n(n-1)d}{2}$

C.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}+\frac{n(n-1)d}{2}$

D.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}+\frac{n(n-1)d}{2}-\frac{n(n-1)(n-2)d}{6}$

8.若函數$f(x)=\ln(x^2+1)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則函數$f(x)$在$(-\infty,0)$上：

A.單調遞增

B.單調遞減

C.不單調

D.不存在單調性

9.若復數$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$的幾何意義是：

A.$z$在復平面上對應的點位于實軸上

B.$z$在復平面上對應的點位于虛軸上

C.$z$在復平面上對應的點位于第一象限

D.$z$在復平面上對應的點位于第二象限

10.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.駐點

D.不存在極值

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，具有奇偶性的是：

A.$f(x)=x^3-x$

B.$g(x)=x^4+2$

C.$h(x)=\sin(x)$

D.$k(x)=\cos(x)$

2.下列數列中，是等比數列的是：

A.$\{a_n\}=2^n$

B.$\{b_n\}=\frac{1}{2^n}$

C.$\{c_n\}=(-1)^n$

D.$\{d_n\}=n^2-1$

3.下列不等式組中，有唯一解的是：

A.$\begin{cases}x+y=1\\2x-y=3\end{cases}$

B.$\begin{cases}x+y=1\\2x+y=3\end{cases}$

C.$\begin{cases}x+y=1\\2x+3y=7\end{cases}$

D.$\begin{cases}x+y=1\\2x+3y=6\end{cases}$

4.下列函數中，在其定義域內連續的函數是：

A.$f(x)=|x|$

B.$g(x)=\frac{1}{x}$

C.$h(x)=\sqrt{x}$

D.$k(x)=x^2$

5.下列圖形中，是圓錐曲線的是：

A.雙曲線

B.拋物線

C.線性函數

D.圓

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處的導數值為______。

2.數列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_5=______$。

3.若復數$z=2-3i$，則$|z|$的值為______。

4.已知直線$y=3x-2$與圓$x^2+y^2=1$相交，則交點的坐標為______。

5.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，公差為$d$，首項為$a_1$，且$S_3=12$，$a_1=3$，則$d=______$。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算題：已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

（1）$f(x)$的一階導數$f'(x)$；

（2）$f'(x)$的零點；

（3）$f(x)$的極值。

2.計算題：已知等差數列$\{a_n\}$滿足$a_1=5$，$a_n=3n+1$，求：

（1）數列$\{a_n\}$的通項公式；

（2）數列的前10項和$S_{10}$；

（3）數列的第15項$a_{15}$。

3.計算題：已知復數$z=1+2i$，求：

（1）$z$的模$|z|$；

（2）$z$的共軛復數$\bar{z}$；

（3）$z$的輻角$\theta$（用弧度表示）。

4.計算題：已知直線$y=-2x+4$與圓$x^2+y^2=4$相交，求：

（1）直線與圓的交點坐標；

（2）直線與圓相切的切點坐標；

（3）直線與圓之間的距離。

5.計算題：已知函數$f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$，求：

（1）函數的定義域；

（2）函數的值域；

（3）函數的極值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A.極大值

知識點：極值的概念和計算方法。

2.A.$x^2+1>0$

知識點：二次函數的性質，任何實數的平方都是非負的。

3.A.$a_n=2^n-1$

知識點：遞推數列的求解方法。

4.A.$\sqrt{2}$

知識點：復數的模長計算。

5.A.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

知識點：直線與圓的位置關系。

6.B.$\{y|y\neq0\}$

知識點：函數的定義域和值域。

7.B.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}-\frac{n(n-1)d}{2}$

知識點：等差數列的前$n$項和公式。

8.A.單調遞增

知識點：函數的單調性。

9.A.$z$在復平面上對應的點位于實軸上

知識點：復數的幾何意義。

10.A.極大值

知識點：極值的概念和計算方法。

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.A,C,D

知識點：奇偶函數的定義和性質。

2.A,B

知識點：等比數列的定義和性質。

3.A,B

知識點：線性方程組的解的情況。

4.A,C,D

知識點：函數的連續性。

5.A,B

知識點：圓錐曲線的定義。

三、填空題答案及知識點詳解：

1.$f'(x)=6x^2-12x+9$，$f'(1)=3$，極大值點為$x=1$。

知識點：導數的計算和極值點的判斷。

2.$a_n=3n+1$，$S_{10}=195$，$a_{15}=46$。

知識點：等差數列的通項公式和前$n$項和。

3.$|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\bar{z}=1-2i$，$\theta=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$。

知識點：復數的模長、共軛復數和輻角。

4.交點坐標為$(1,2)$和$(-1,6)$，切點坐標為$(1,2)$，距離為$\frac{1}{\sqrt{5}}$。

知識點：直線與圓的位置關系和距離公式。

5.定義域為$\{x|x\neq1,x\neq-1\}$，值域為$\{y|y\neq0\}$，極大值點為$x=1$。

知識點：函數的定義域、值域和極值。

四、計算題答案及知識點詳解：

1.（1）$f'(x)=6x^2-12x+9$；

（2）$f'(x)=0$時，$x=1$，$f'(x)$在$x=1$處為0，所以$x=1$是極大值點；

（3）$f(x)$在$x=1$處取得極大值，極大值為$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1-1=3$。

知識點：導數的計算和極值點的判斷。

2.（1）$a_n=3n+1$；

（2）$S_{10}=\frac{10(5+31)}{2}=195$；

（3）$a_{15}=3\cdot15+1=46$。

知識點：等差數列的通項公式和前$n$項和。

3.（1）$|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；

（2）$\bar{z}=1-2i$；

（3）$\theta=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$。

知識點：復數的模長、共軛復數和輻角。

4.（1）交點坐標為$(1,2)$和$(-1,6)$；

（2）切點坐標為$(1,2)$；

（3）距離為$\frac{1}{\sqrt{5}}$。

知識點：直線與圓的位置關系和距離公式。

5.（1）定義域為$\{x|x\neq1,x\neq-1\}$；

（2）值域為$\{y|y\neq0