試題試題2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)高三2月月考數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．若集合，，則（

）A．或 B．C．或D．或 2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限為（

）A．一 B．二 C．三 D．四3.已知為單位向量，且的夾角為，，則（）A.B.C.D.4.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．5.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）A.B.C.D.6．在中，，則（

）A． B． C． D．7．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，圓，若直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與圓存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件9.劉徽注《九章算術(shù)?商功》“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”如圖一解釋了由一個(gè)長方體得到“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”的過程.塹堵是底面為直角三角形的直棱柱；陽馬是一條側(cè)棱垂直于底面且底面為矩形的四棱錐；鱉臑是四個(gè)面都為直角三角形的四面體.在如圖二所示由正方體得到的塹堵中，當(dāng)點(diǎn)P在下列三個(gè)位置：中點(diǎn)、中點(diǎn)、中點(diǎn)時(shí)，分別形成的四面體P﹣ABC中，鱉臑有（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)10.對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時(shí),都有；③當(dāng)，且時(shí)，，則稱為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：；；；．則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1二、填空題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分）11.設(shè)一組數(shù)據(jù)，則數(shù)據(jù)的平均值為__________，30%分位數(shù)為________.ACBOACBOxy22213.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是__________.14.已知A，B是拋物線上兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5，則直線的方程可能是．（寫出一個(gè)符合題意的方程）15．定義平面向量的一種運(yùn)算，其中是與的夾角，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，，則．其中真命題的序號(hào)是.三、解答題（本題共6小題，滿分85分）16.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中點(diǎn)，平面，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.17.（本小題滿分13分）已知函數(shù)(，).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件=1\*GB3①：條件②：為偶函數(shù)條件③：的最大值為1條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為18.（本小題滿分14分）乒乓球運(yùn)動(dòng)在中國風(fēng)靡，成為了中國的國球體育項(xiàng)目.某校擬從5名優(yōu)秀乒乓球愛好者中抽選人員分批次參加社區(qū)活動(dòng).活動(dòng)共分3個(gè)批次進(jìn)行，每批次活動(dòng)需要同時(shí)派送2名選手，且每次派送選手均從5人中隨機(jī)抽選.已知這5名選手中，2人有比賽經(jīng)驗(yàn)，3人沒有比賽經(jīng)驗(yàn).（Ⅰ）求5名選手中的“1號(hào)選手”，在這3批次活動(dòng)中有且只有一次被抽選到的概率；（Ⅱ）第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有比賽經(jīng)驗(yàn)的選手的人數(shù)最有可能是幾人？說明理由；（Ⅲ）現(xiàn)在需要2名選手完成某項(xiàng)加賽，比賽方式為2名選手依次參賽，如果前一位選手不能獲勝，則再派另一位選手.若有A、兩位選手可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為、，且.假設(shè)各人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，則當(dāng)派出選手的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小時(shí)，直接寫出A、兩位選手的派遣順序.

19.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，.求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).20.（本小題滿分15分）已知直線與橢圓相切，定點(diǎn)和原點(diǎn)的中點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓方程及離心率；（Ⅱ）已知橢圓上第一象限內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與第三象限內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，若，求證：三點(diǎn)共線.

參考答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分）12345678910DBDABBACBC10.【答案】C【分析】根據(jù)“偏對稱函數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷四個(gè)函數(shù)是否滿足條件①②③，對于條件②可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間和上的單調(diào)性進(jìn)行求解，根據(jù)奇偶性可判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及基本初等函數(shù)的單調(diào)性可判斷的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)及函數(shù)是否滿足條件②即可，對于條件③，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可判斷是否滿足條件③.【詳解】解：由題可知，，故函數(shù)都滿足條件①，對于條件②等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，故是奇函數(shù)，則在區(qū)間和上單調(diào)性相同，故不滿足條件②，因?yàn)椋试趨^(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以滿足條件②，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以不滿足條件②，因?yàn)椋詽M足條件②，對于，不妨設(shè)，則，，令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以，所以滿足③，對于，，在上遞減，在上遞增，令，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，故，不妨設(shè)，則，所以，即，所以滿足③,所以是“偏對稱函數(shù)”.故選：C.二、填空題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分）11.11512.13.14.【答案】（答案不唯一）【分析】由題可得線段的中點(diǎn)為，結(jié)合條件分類討論可得.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線為：，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5，所以線段的中點(diǎn)為．當(dāng)斜率不存在時(shí)，符合題意；當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，整理得，所以，所以，所以直線的方程為，令，得直線的方程為，即．故答案為：（答案不唯一）．15．【答案】①③【解析】根據(jù)已知中的新定義，，，其中，是與的夾角，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量夾角公式，逐一判斷四個(gè)命題的真假可得答案．【詳解】，，其中，是與的夾角，若，，則，，則，故正確；②，則，夾角為，則，故錯(cuò)誤；③若，則，故正確；④若，，則，，，則，，故錯(cuò)誤；故真命題的序號(hào)為：①③故答案為：①③【點(diǎn)睛】本題以向量運(yùn)算的新定義為載體，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量夾角公式，難度為中檔．三、解答題（本題共6小題，滿分85分）16.解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，所以，又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?因?yàn)椋运倪呅问钦叫危瑒t,，所以，得到，所以. ……………1分因?yàn)槠矫妫裕? ……………2分因?yàn)椋云矫? ……………3分因?yàn)槠矫妫?……………4分平面平面. ……………5分（Ⅱ）因?yàn)槠矫妫裕瑒t兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.……………6分則，，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，所以所以即……………8分令，則，所以平面的法向量為，……………9分又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?0分所以，……………12分由已知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.……………13分17.解：（Ⅰ）.選擇條件=1\*GB3①④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即.所以.因?yàn)椋裕?所以.………7分選擇條件=3\*GB3③=4\*GB3④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即.所以.因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即.所以……7分（Ⅱ）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.所以.所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.………13分18.【答案】(1)(2)最有可能是1人，理由見解析(3)按照先A后的順序所需人數(shù)期望最小.【分析】（1）5名選手中的“1號(hào)選手”在每輪抽取中被抽取到的概率為，然后用獨(dú)立事件概率公式和事件和公式求解即可；（2）用期望或概率判斷即可；（3）分別求出按先A后的順序和先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望，比較即可得出答案.【詳解】（1）5名選手中的“1號(hào)選手”在每輪抽取中被抽取到的概率為，則三次抽取中，“1號(hào)選手”恰有一次被抽取到的概率為.【4分】（2）第二次抽取到的沒有比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)最有可能是1人.設(shè)表示第二次抽取到的無比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)，可能的取值有0，1，2，則有：，，，（法一）因?yàn)椋实诙纬槿〉降臒o比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)最有可能是1人.（法二）∵，∴第二次抽取到的無比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)最有可能是1人.【12分】（3）按照先A后的順序所需人數(shù)期望最小.由題意：，設(shè)表示先A后完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則12，設(shè)表示先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則12，∵，∴故按照先A后的順序所需人數(shù)期望最小.【14分】19【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上，有，在上，有,故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.【6分】（2）時(shí)，，則.令.i.時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.又，存在一個(gè)零點(diǎn)，使.ii.，恒成立，在上單調(diào)遞減.又，.存在零點(diǎn)，使.，.在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.又.，存在一個(gè)零點(diǎn)，使.iii.，恒成立.在單調(diào)遞減.恒成立.在沒有零點(diǎn).綜上所述，在只有兩個(gè)零點(diǎn).【15分】20.（Ⅰ）依題意，有：，，，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【5分】（Ⅱ）法一：傾斜角互補(bǔ)依題意，直線與軸不重合，設(shè)直線，故，【8分】因?yàn)椋裕础?分】則【10分】即【12分】則，解得或【13分】當(dāng)時(shí)，無法使分別位于一、三象限，不合題意，舍去；故，，過定點(diǎn)，則三點(diǎn)共線.【15分】法二：角度化坐標(biāo)依題意，直線與軸不垂直，設(shè)直線，故，【8分】直線，取，有【9分】因?yàn)椋约矗布础?1分】可化簡為則