2/2提分練習：特殊四邊形的性質在動點問題中的巧用典例剖析例如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACH的平分線于點F，連接AE，AF.（1）證明：EO=FO.（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？簡要說明理由.解題秘方：求點O運動到何處時四邊形AECF是矩形，可以先把矩形當作已知條件，求出O點與AC的位置關系，然后添加條件，經過說理，證明四邊形AECF是矩形.這是條件探索題的一般思路.（1）證明：∵MN∥BC，∴∠CEO=∠ECB，∠CFO=∠FCH.∵CE，CF分別是∠BCA，∠ACH的平分線，∴∠ECO=∠ECB，∠FCO=∠FCH.∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠FCO.∴EO=OC，FO=OC.∴EO=FO.（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.理由如下：由（1）知OE=OF.∵點O是AC的中點，∴AO=CO.∴四邊形AECF是平行四邊形.∵OE=OC，∴AC=EF.∴四邊形AECF是矩形.分類訓練技巧一巧用平行四邊形的性質解動點問題1.如圖，在ABCD中，E，F兩點在對角線BD上運動（E，F不重合），且保持BE=DF，連接AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由.技巧二巧用菱形的性質解動點問題2.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上.（1）如圖①，若E是BC的中點，∠AEF=60°，求證：BE=DF；（2）如圖②，若∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形.技巧三巧用矩形的性質解動點問題3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F，垂足為O，連接AF，CE.（1）試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長.（2）動點P，Q分別從A，C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P運動路線為A→F→B→A，點Q運動路線為C→D→E→C.在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為ts，當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值.技巧四巧用正方形的性質解動點問題4.如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經過一個定點，并說明理由.

參考答案1.解AE=CF，AE∥CF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF，∠AEB=∠CFD.∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB=180°，∴∠AED=∠CFB.∴AE∥CF.點撥：由△ABE≌△CDF得到AE=CF，即得到數量關系，由∠AED=∠CFB得到AE∥CF，即得到位置關系.2.證明：（1）連接AC.∵在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=BC，∴∠BCD=180°-∠B=120°，△ABC是等邊三角形.又∵E是BC的中點，∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD=180°-30°-120°=30°.∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.又∵BC=CD，∴BC-EC=CD-CF.∴BE=DF.（2）連接AC.由（1）知△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=∠EAF=60°.∴∠BAE=∠CAF.∵∠BCD=120°，∠ACB=60°，∴∠ACF=60°=∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE=AF.∴△AEF是等邊三角形.3.解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA=OC.∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∴四邊形AFCE為平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形.∴AF=CF.設AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得，解得x=5，∴AF=5cm.（2）顯然當P點在AF上，Q點在CD上時，不可能構成以A，C，P，Q四點為頂點的平行四邊形；同理當P點在AB上，Q點在DE或CE上時，也不可能構成平行四邊形.因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形.若以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則PC=QA.∵四邊形AFCE是菱形，點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為ts，∴PC=PF+FC=PF+FA=5tcm，QA=（AD+CD）-（QD+CD）=（12-4t）cm.∴5t=12-4t，解得.∴當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，.點撥：本題考查了矩形的性質、菱形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定與性質，是一道綜合性較強的題目.注意建立方程求解.4.（1）證明：如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD.又∵AE=BF=CG=DH，∴BE=CF=DG=AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH=EF=FG=GH，∠1=∠2.∴四邊形EFGH為菱形.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠HEF=90°.∴四邊形EFGH是正方形.（2）解：直線EG經過一個定點.理由如下：如圖，連接BD，DE，BG.設EG與BD交于O點.易知BEDG，∴四邊形BGDE為平行四邊形.∴BD，EG互相平分.∴BO=OD.∴點