《17.1等腰三角形》知識(shí)概覽一、等腰三角形及其性質(zhì)1.有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.2.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.3.等腰三角形的性質(zhì)定理：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）；（2）等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.例1如圖，在中，分別在上，，，求的度數(shù).分析：題目已知條件中，相等的邊較多，且都是在同一個(gè)三角形中，為求“角”的度數(shù)，將“邊相等”轉(zhuǎn)化為相關(guān)的“角相等”，充分利用“等邊對(duì)等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為，求解此題即可.解：又又又，故.點(diǎn)撥：本題反復(fù)運(yùn)用了“等邊對(duì)等角”，將已知的邊相等轉(zhuǎn)化為相關(guān)的角相等，并利用三角形內(nèi)角和及三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)解有關(guān)角的度數(shù)問(wèn)題.二、等邊三角形及其性質(zhì)1.三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.等邊三角形是等腰三角形的特例.2.等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于.3.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸，任一邊的垂直平分線都是它的對(duì)稱軸.例2如圖，在等邊三角形中，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，求的長(zhǎng).分析：，只要求出與的長(zhǎng)即可.解：∵是等邊三角形，∴.又∵是的中點(diǎn)，∴.又∵，∴，∴.點(diǎn)撥：等邊三角形三邊相等，且每個(gè)角都等于，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，從而建立邊或角之間的等量關(guān)系.三、等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.其中，兩個(gè)相等的角所對(duì)的邊相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.提示：“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”是不同的兩個(gè)結(jié)論，“等邊對(duì)等角”是等腰三角形的性質(zhì)，是由邊相等證角相等.“等角對(duì)等邊”是等腰三角形的判定，是由角相等證邊相等。例3如圖，F(xiàn)，C為線段上的兩點(diǎn)，，.試說(shuō)明是等腰三角形.分析：欲證，只需證，而從知，所以只需證，為此只需證即可.解：∵，∴，∴.又，∴，∴.∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），（等角對(duì)等邊）即是等腰三角形.點(diǎn)撥：“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的常用方法，當(dāng)直接說(shuō)明兩角相等有困難時(shí)，可尋求中間角進(jìn)行過(guò)渡，如本例中的和.四、等邊三角形的判定定理1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.2.有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形.例4如圖，已知點(diǎn)在同一條直線上，和都是等邊三角形.交于交于.（1）求證：；（2）求證：是等邊三角形.分析：（1）根據(jù)與是等邊三角形得，易得.利用SAS可證.（2）根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上可知，再由，可知，再利用得，利用有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形可得是等邊三角形.證明：（1）∵和是等邊三角形，即.在和中，∴（SAS）.（2）∵點(diǎn)在同一條直線上，∴.∵，∴.∵，∴.在與中，∴.∴.∴是等