莫比烏斯帶教學設計1,引導學生認識"莫比烏斯帶"的特點2,引導學生操作發現"莫比烏斯帶"的奇異性質3,培養學生勇于猜測,操作求證的精神4,培養學生合作精神教學過程:一,提出要求,導入新課師:剛才一進教室,同學們都對桌上花花綠綠的紙條感到好奇,它們就是這節課我們要研究的對象.你可別看它簡單,其中藏著不少數學奧秘呢!課前,老師有一個小小的要求:希望大家能夠大膽地猜想,帶著問題參與到課堂上來,做一個學習上的有心人,好嗎二,認識"莫比烏斯帶"特點1,師出示長方形紙條,讓學生說說其二個面四條邊的特點.2,你能將它變成二個面二條邊嗎生操作.3,你能再想想辦法將它變成一個面一條邊嗎生操作.這個同學做出來了,一個這樣子的紙圈,你們同意嗎有什么想問他的嗎(一個面,一條邊在哪,為什么會變成一個面一條邊的呢)4,讓我們一起來動動手研究一下吧!由做出來的同學介紹"莫比烏斯帶"的做法:將其中的一邊轉180度并粘貼起來.(學生動手操作,可小組合作完成)是不是只有一條邊呢用手沿著其中的一條邊能回到原點.如何驗證是不是只有一個面呢(用一筆能將整個紙條畫完,回到起點)為什么只有一條邊一個面呢(生小組討論,回答)5,這個看似簡單,普通的小圈原來如此神奇,有趣,你們能給它取個符合它特點又有個性的名字嗎(生答)你們知道它叫什么嗎(莫比烏斯帶)"莫比烏斯帶"(板書),為什么呀是19世紀的幾何學家莫比烏斯發現的.很久以前有一個叫莫比烏斯的人,在一個陽光美好的午后,靜靜的坐在桌前,手中拿著一個長長的紙條,不經意的把紙條擰了一個圈又把兩個頭對接了起來.也巧,這時正好有一只小螞蟻到他的桌面上旅游,他微笑著對小螞說:小朋友,到我這個新建筑上來看看吧.于是小心翼翼地把小螞蟻請到了手中的紙上,小螞蟻也許是感到新鮮而又陌生,也就不停的到處游蕩,莫比烏斯輕輕的注視著紙上的小螞蟻,你們猜,他發現了什么(小螞蟻雖沒翻越任任何一處的紙邊沿,卻爬過了紙表面的每一個地方.)這讓莫比烏斯非常驚訝,這個本來是兩個面的紙條經他剛才的一接怎么變成只有一個面了呢一個偉大的數學發現就這樣在不經意間產生了,并且以發現者莫比烏斯的名字命名.所以同學們平時在學好書本知識的同時,要留心觀察生活,更多偉大的發明,發現還等著用你們的名字命名呢!6,關于"莫比烏斯帶"還有一個很有趣的故事.據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西,并被當場捕獲,將小偷送到縣衙,縣官發現小偷正是自己的兒子.于是在一張紙條的正面寫上:小偷應當放掉,而在紙的反面寫了:農民應當關押.縣官將紙條交給執事官由他去辦理.執事官不想誤判此案,但是又不敢得罪縣官,你們猜他怎么做做成"莫比烏斯帶"狀能改變結果嗎(生猜)現在你們桌上都有縣官的這張判決書,請幫執事官想想辦法.(生二人小組合作動手操作請個別小組上臺演示),聰明的執事官將紙條扭了個彎,用手指將兩端捏在一起.然后向大家宣布:根據縣太爺的命令放掉農民,關押小偷.縣官聽了大怒,責問執事官.執事官將紙條捏在手上給縣官看,從"應當"二字讀起,確實沒錯.仔細觀看字跡,也沒有涂改,縣官不知其中奧秘,只好自認倒霉三,認識"莫比烏斯帶"的性質1,"莫比烏斯帶"好玩嗎它還可以變魔術呢!2,剛才我們在圈中畫了一條線,猜一猜用剪刀剪開會變成什么(生猜,動手操作.)3,這個大圈是"莫比烏斯帶"嗎怎么驗證(畫線)不是,因為有二個面.為什么會變成二個面呢旋轉了360度了.4,剛才我們是沿正中間減開變成了一個大圈,如果是沿著三分之一的地方剪開又會變成什么呢(生猜)驗證:一起再做個"莫比烏斯帶",沿著三分之一剪開,變成了二個套在一起的圈,一大一小.5,如果不是旋轉180度,而是360度,或是做成二層,三層的"莫比烏斯帶",剪開,又會有什么新的發現呢大家不妨課后猜猜,動手試試!四,認識"莫比烏斯帶"的應用1,一個看似簡單的小紙圈,竟是如此的神奇,它可不光好玩有趣,還被應用到生活的方方面面,大家想想,它有些什么用處呢也可以發揮你們的想象力!(生答:傳輸帶,電話錄音磁帶,打字機的色帶,迷宮,小說《星際旅游》中的"時間帶"……)2,老師也收集了一些,讓我們一起來看看吧!(課件演示)①艾舍爾《紅蟻》:讓我們一起來看看螞蟻在這個"莫比烏斯帶"上的運動軌跡吧,由一生上臺演示.②北京小區科技園"莫比烏斯圈"狀階梯:小朋友在上面玩會發現什么③中國科技館"三葉扭結":這是中國科技館的展品,叫"三葉扭結".它實際上是由"莫比烏斯帶"演變而成的,這藍白相間的燈不停地閃爍,乍看是個漂亮的燈飾,但細瞧,它的特點是什么呀(只有一面一邊)它表示著科學沒有國界,各種科學之間沒有邊界,科學是相互連通的,科學和藝術也是相互連通的意義呢!"莫比烏斯帶"聽起來確實挺神奇的,但許多事情,都或多或少如此,沒有清晰的界限,就如成敗,看似截然相反的二個方面,一組反義詞.但其實不過是一步之遙.只要你努力,失敗的教訓會成為成功的基石;如果你驕奢,勝利會轉瞬即逝,失敗接踵而來.呵呵,原來小小的紙圈上還藏著做人的大道理呢!五,課后小結今天,一個"莫比烏斯帶"給了我們無限的遐想,希望這節課能給同學們有所啟發,平時多留心觀察生活,多問為什么,相信更多偉大的發現會在四(3)的29個同學身上誕生!這學期有幸承擔學校人文講壇的任務，原來任四年級數學老師的時候，搜集了許多有關“莫比烏斯帶”的資料，趁著這個陰雨不斷的十一長假重新作了整理和修繕。不過很可惜很多圖片都沒有辦法上轉。

講稿：

神奇的莫比烏斯帶

同學們一定聽過這樣一個講不完的故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事，講的什么？……

我們在記錄這個故事的時候，可以像我這樣用“……”來表示故事講不完，再可愛一點兒，同學們認識了循環小數，在循環節的首尾各點一點兒表示無限循環下去，我們可以效仿這樣來表示：?從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事，講的什么?？但如果我把四句話分別寫在一張紙條的正反兩面，我們還有辦法讓這個故事講不完嗎？答案是可以！

我們只要將紙條做一個翻轉，然后再粘貼，就能夠實現故事無限循環下去。那么大家所看到的這個紙圈在數學的歷史上歷經多年終于被德國的天文學家莫比烏斯發現了，公元1858年，莫比烏斯把這條帶子介紹給大家，于是這個紙圈便被命名為——莫比烏斯帶。今天中午，我就跟大家一起來看看這條帶子的與眾不同。

一、莫比烏斯帶的發現

首先讓我們一起來重溫莫比烏斯帶的發現。

數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？

對于這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數學家莫比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。

有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。

一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。

莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。

圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。”麥比烏斯帶就這樣被發現了。

二、有關莫比烏斯帶的小故事

“莫比烏斯帶”有點神秘，一時又派不上用場，但是人們還是根據它的特性編出了一些故事，據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉。而在紙的反面寫了：農民應當關押。縣官將紙條交給執事官由他去辦理。聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。

縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計又落空了。

現實可能根本不會發生這樣的故事，但是這兩個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點。

三、奇妙的莫比烏斯帶

左圖所示的帶子是由一張紙條的兩端粘接而成。紙的一面稱為帶的內側，而紙的另一面則稱為帶的外側。我們把這樣的曲面叫做“雙側曲面”。如果一只蜘蛛想沿著紙帶從外側爬到內側，那么它非得設法跨越帶的邊緣不可．

右面這張圖所示的是莫比烏斯帶，它也是由一張紙條兩端粘接而成，不過，在粘接前一端扭轉了180°。現在，所得的紙帶已不再具有兩面，它只有一個面，一條邊，這樣的曲面我們就叫它“單側曲面”。設想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無須跨越帶的邊緣。要證實這一點，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續地畫線．那么，你將會經過整條的帶子，并返回你原先的起點．

莫比烏斯帶的另一個有趣的性質，只要你沿著如下圖所示的帶子中央的虛線剪開把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個大圈兒。

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。

同學們如果感興趣，可以將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，剪剪看會出現什么結果。

四、克萊因瓶

莫比烏代很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯?克萊茵（FelixKlein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”——“克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。

這是一個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面。

我們可以說一個球有兩個面——外面和內面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去——事實上克萊因瓶并無內外之分！

如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。

除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“８字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面——克萊因瓶。

五、麥比烏斯圈的應用：

數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，“麥比烏斯圈”變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

在科技館的展廳里有一個名叫“三葉紐結”的展品。它高12米，整體寬度10米，由三條寬1.65米的帶形成的一根三棱柱經過三次盤繞，將其一端旋轉120°后首尾相接構成。它實際上是由“莫比烏斯帶”演變而成的。它表示著科學沒有國界，各種科學之間沒有邊界，科學是相互連通的，科學和藝術也是相互連通的！

在世界特殊奧林匹克運動史上，莫比烏斯環有著特殊的意義，其象征著連接起全世界智障人士的友誼，彰顯出特奧會所崇尚的“轉換一種生命方式，您將獲得無限發展”理念。不久前落成的以20XX年世界夏季特奧會會標“眼神”為主題的紀念雕塑，其采用的就是象征著無限發展的莫比烏斯環。

瑞典《不可能的圖形》郵票：瑞典1982年發行的一枚郵票，圖案是一個古里古怪的圖形，如果你用指尖沿著這個古怪的圖形上任何一個面順著一個方向劃下去，結果會發現這是一個在現實中不可能造出來的東西。但如果你就這樣一直順著劃下去，又會回到原來的出發點，似乎這個物體又不荒謬。其實這是一個立體化的“莫比烏斯圈”。發行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導人們關注科學，探索宇宙不解之謎。

莫比烏斯帶為很多藝術家提供了靈感，比如美術家M.C.Escher就是一個利用這個結構在他木刻畫作品里面的人，最著名的就是莫比烏斯二代，圖畫中表現一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。

FOA建筑工作室的虛擬住宅方案，試圖達到數學上著名的“莫比烏斯帶”所展示的有趣的空間界面特點。

它也經常出現在科幻小說里面，比如亞瑟?克拉克的《黑暗之墻》。科幻小說常常想象我們的宇宙就是一個莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch創作的短篇小說《一個叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創造了一個新的行駛線路，整個線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個線路的火車都消失不見。另外一部小說《星際航行：下一代》中也用到了莫比烏斯帶空間的概念。

莫比烏斯帶也被用于工業制造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的針式打印機色帶能使用更長的時間，因為可以更好的利用整個帶子。

莫比烏斯帶常被認為是∞（無窮大符號）的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為∞的發明比莫比烏斯帶還要早。

六、不可能的事情

在這幅名叫“瀑布”的平版畫中存在的不可思議：瀑布是一個封閉系統,但它卻能使作坊車輪象一臺永動機一樣連續地轉動。

瑞士藝術家OscarReutersvard是“不可能圖形之父。他創作出了“不可能圖形”。1934年,他通過一系列立方體造出了第一個不可能三角形。1982年這幅畫作為瑞典郵票發行。

七、結語

莫比烏斯帶實際是拓撲學中的一個小部分。

拓撲學是19世紀發展起來的一個重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時代，就已有拓撲學的萌芽，那時候發現的個別問題，例如哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等，都是拓撲學發展史上的重要問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。

《神奇的莫比烏斯帶》教學設計教學目標：１.使學生了解，認識莫比烏斯帶．２．動手制作，自立探索莫比烏斯帶．３.感受教學知識的無窮奧妙，激發學習數學的濃厚興趣．教具：剪刀膠水水彩筆紙條若干個．教學流程：一、導入：同學們，你們會用紙條變魔術嗎？那你們想不想學？現在就請你們都準備好吧，老師要帶你們進入神奇的紙條世界了。二、講授新課：1、請同學們拿出一號紙條，觀察一下它有幾條邊，幾個面？怎樣才能把它變成有兩條邊兩個面的圖形？2、能不能想辦法把它變成有一條邊一個面的圖形？（同桌互相討論）3、和老師一起做，一只手捏住紙條的一端，另一只手捏住紙條的另一端把它旋轉成180°，變成一個紙環。4、新圖形到底是不是只有一條邊和一個面呢？我們來驗證一下。把剛才紙條的兩端粘住，沿著紙條的中線用筆一直畫下去，有什么發現？再沿著紙條的任一邊一直摸下去，有什么發現？5、這個神奇的紙圈就叫做莫比烏斯圈，它是德國數學家莫比烏斯在1858年發現的。可別小看了這個小小的紙圈，它的用途可大了，不信我們一起來剪剪看。6、如果我們沿著你們剛才畫過的中線剪下去會怎樣呢？（學生討論）學生試剪并匯報。7、如果我們要沿著三分之一線剪下去又會得到什么樣的圖形呢？先討論，猜想，再拿出3號紙條試剪并匯報。8、現實生活中有沒有用到莫比烏斯圈的呢？三、總結：同學們這節課的收獲一定不小吧，這回你可認識到這個小小紙圈的神奇之處了吧？希望同學們能在課下繼續探討有關莫比烏斯圈的問題，可能有一天你們會有新的創造發明呢！教學內容:人教版實驗教材四上數學P27

教學目標:1.使學生了解認識莫比烏斯帶,動手制作莫比烏斯帶。

2.通過有效性學習材料的創建,使學生能自主參與,自主探究,用數學知識的無窮奧秘去吸引學習,激發學生學習的興趣。

教學過程:

一.認識莫比烏斯帶

1.出示1張紙條,觀察:有幾條邊?幾個面?摸一摸,涂一涂：把一面涂成陰影。

2.師:你能把它變成兩條邊、兩個面嗎?

生動手操作:首尾相接圍成一個圈,再用手摸一摸。

3.師:還是這張紙條,你能把它變成一條邊、一個面嗎?

展示學生作品，驗證：是一條邊、一個面嗎？

4.指出:象這樣只有一條邊一個面的紙帶叫莫比烏斯帶,因為最早的發現者是德國數學家莫比烏斯而得名,莫比烏斯帶有許多神奇的地方。

揭示課題

5.指導每生制作一個莫比烏斯帶。

6.觀察,思考:為什么會變成一條邊,一個面了呢?

二.探究莫比烏斯帶

1.沿中線剪

(1)師:如果沿著紙帶的中間線剪下去,會變成怎么樣呢?

猜一猜

剪一剪

觀察:現在還是莫比烏斯帶嗎?

(2)再沿著剪出紙帶的中間剪,會變成怎樣呢?

猜一猜

剪一剪

2.沿著三分之一線剪

(1)讓生取出畫有三等分線的紙條,把中間部分用陰影表示,做成一個莫比烏斯帶。

(2)沿著三等分線,一直剪下去,結果會怎樣?

猜一猜

剪一剪

觀察:小圈是原來長方形紙條的哪一個部分?它是莫比烏斯帶嗎?大圈是莫比烏斯帶嗎?

三.應用

1.欣賞圖片

(1)克萊因瓶(2)中國科技館大廳“三葉紐結”(3)莫比烏斯爬梯

2.舉例:在生活中你在哪里看到過應用莫比烏斯帶的。

想一想:它還可以用到什么地方?

四.拓展

1.莫比烏斯帶還有許多玩法,剛才我們是沿著1/2,1/3線剪的,還可以……剛才我們將紙條的一端扭轉一個180,還可以……

2.簡介拓撲學

設計意圖：

1.選擇有效的學習材料

莫比烏斯帶屬于拓撲學內容,它是德國數學家莫比烏斯最早發現的,這部分內容是新教材新增加的內容,作為一個數學游戲的介紹來安排,共安排一節課。怎樣在有效的一節課里取得教學效果的有效化,離不開有效性學習材料的創設。本人注意去選擇有關莫比烏斯的材料,由普通的一張紙條,通過各種折法,得到不同個數的面,不同條邊的邊；通過沿著莫比烏斯帶的中線的兩次剪,三分之一線的一次剪,變幻出神奇的結果；通過欣賞回憶創造莫比烏斯帶的一些應用,讓學生感受莫比烏斯帶的作用。這些教學材料的選擇,有利于學生學習過程中的動態生成,較好地吸引學生的自主參與,充分開發學習材料的訓練功能,并突出學習材料的數學學科內涵。

2.努力構建理想的課堂

本節課力爭把握好以下幾個度:

參與度：創設有效的學習材料,讓學生自主參與學習活動中來。通過猜想--驗證--驚奇--猜想--驗證--驚奇,一次又一次感受數學的神奇魅力,讓學生在活動中參與。

親和度：在猜想活動中,無論孩子猜想活動是否到位、價值多大,都以尊重、溝通、寬容、欣賞來激勵,推進學生的思維。

延展度：通過了解應用，介紹拓展玩法及知識,讓學生能利用課外時間再去探索這類問題,使本節課的時空得到延展。

（校第二次“構建理想的有效課堂”教學周活動教案教學目標：１.使學生了解，認識莫比烏斯帶．

２．動手制作，自立探索莫比烏斯帶．

３.感受教學知識的無窮奧妙，激發學習數學的濃厚興趣．

教具：剪刀膠水水彩筆紙條若干個．

教學過程：一．揭示課題

師：同學們，知道我們這節課要研究什么嗎？

生：神奇的莫比烏斯帶

師：你們是怎么知道的？

生：屏幕上有課題

師：哦，原來電視帶給大家的信息，你們可真會觀察．那么看了這個課題，你們有什么想法嗎？

生１：莫比烏斯帶是什么樣子的？

生２：莫比烏斯帶有什么神奇的地方？

生３：莫比烏斯帶在生活中有哪些應用？

師：同學們想知道的還真不少，要想知道這些問題還得從這張小小的紙條說起．

變魔術

師：（出示一張白紙條）請拿出這樣的白紙條．這個紙條有幾條邊，幾個面？

生：（齊）四條邊，兩個面．

師：一個正面，一個反面（邊說邊比劃，學生也隨著說）我會變魔術，能把他變成只有兩條邊，兩個面．

師：（教師微笑著把紙條變成圈），是比是有兩條邊，兩個面（邊問邊比劃）．

生：是

師：你會嗎？

生：會（學生都做了紙圈）．

師：說到這，同學們可能會覺得，這也沒什么神奇的呀！是呀，這點小把戲，地球人都知道．奇妙的是我還能把它變成一個面，一條邊．（停頓，環視學生）．看，我變出來了是這樣的．

（做紙圈）師：這是怎么做出來的？你們能做嗎？同學之間可以互相幫助．這位同學做出來了，說說你是怎么做出來的？

師：好請看，先把它做成一個普通的紙圈，然后將一段翻轉180度，再把它粘好．（學生跟著一起做）．

師：剛才我說它只有一個面，（那么它是不是一個面呢？）我們一起來動手驗證以下，用筆在紙圈中間畫一條線，筆尖不離開紙面一直畫一圈，你會有什么發現？

生：又回來了

師：說明了什么？

生：它只有一個面．

師：我們用手指沿著紙圈的邊走一圈，你又發現了什么？（同學們真的很會觀察發現）

師：這樣一個怪怪的紙圈叫什么名字呢？

生：莫比烏斯帶

師：為什么？（德１８５８）你怎么知道的？那么莫比烏斯帶有什么特點呢？

12剪

師：莫誕生以后，引起了很多人的關注，有人就想，如果沿著紙圈的中線剪開，會是什么樣子的呢？同學們，讓我們來猜一猜．

生１：它會變成兩個圈．

生２：...........

師：要想知道它到底會變成什么樣子的，我們該怎樣做？

生：剪剪看．

師：為了不把它剪斷，先看老師是怎樣開始剪的？（強調怎樣剪）注意安全．

師：剪完的同學舉起來給大家看一看，太不可思議了！怎么會變成這個樣子呢？

生：（因為莫......是扭了１８０度才粘在一起的，所以剪開后好像伸開了一樣，是一個連著的大圈）．

師：分析得很合理，那么這個大圈是不是莫.......帶呢？我們來驗證一下吧．（沿著大圈的中線用筆一直畫，看看是每個面畫上了）

生：我發現一筆畫完后，并不是每一個面都畫上了，所以它不是莫......帶．

師：確實是這樣的，它有兩個面，不是..................．

?．猜

?．剪

?．匯報（真的是兩個圈，并且還套在一起）．

師：學到了這里，你對莫......帶有了怎樣的感覺呢？

生：太神奇了

沿13剪

師：莫......帶的神奇還遠遠不止這些，讓我們繼續體會．

請拿出２號紙條，把它做成莫..........帶．

師：這個莫.........帶的面被平均分成三等分，我們可以沿著任意一條直線剪下去，會有怎樣的結果呢？猜剪匯報

生：一個大圈套著一個小圈．

師：驗證一下，這兩個圈是不是莫．．．．．帶？怎么會變成這樣？

生：中間涂色的部分變成了這個小圈，兩邊沿涂色的部分，剪完后連在一起，變成了這個大圈．

師：你們贊成他的說法嗎？你們可真會探索、發現．

剛才我們研究了莫．．．．．．帶的?和13線剪開后的情況，感受到了莫.......的神奇．

欣賞資料（１）

師：莫.......還有很多神奇的地方，大家想對它有更多的了解嗎？（多媒體演示）．

師：這是莫.......的爬梯，一只小螞蟻在快速地往前走，這只小螞蟻會有怎樣的奇遇呢？

生：答小螞蟻從一個點出發，最后又回到一個點，它怎么也爬不出這個爬梯......

師：大家的想象力真豐富．

師：請看這是中國科技館的大廳里聳立著一個巨型的三葉紐結．這個三葉紐結就是莫.......帶的原理設計的．它每天不停地旋轉著美妙的曲線，帶給我們美的享受，讓我們享受著數學的神奇，帶給我們無限的遐想．

師：莫......帶不但很神奇，它在生活中還有許多用處呢？有些機器上的傳動帶就做成莫........帶形狀的，這樣就不會只磨損一個面，使傳動帶的壽命提高了一倍．

課外延伸：

總結：通過這節課的學習，你知道了什么？

師：其實，莫.......帶還有許多的玩法，比如：剛才我們將紙條的一端扭轉一個１８０°，還可以.........

生：還可以扭轉成兩個１８０°，也就是３６０°等

師：剛才我們沿著12線﹑13線剪，其實還可以........，那樣會是什么樣子呢？

師：有興趣的同學可以愛課下繼續探索，研究．將研究的結果寫成數學日記，在全班交流，我期待著同學們會有更神奇的發現．課后反思

我執教的這節課是數學人教版第七冊第四單元后面的一節活動課。莫比烏斯帶這節活動課對老師來說是很新奇的。我們以前從沒接觸過，對學生來說更是陌生，從沒見過。參考書上對這個內容也沒有任何介紹，只是在教學建議中有一句話，是讓學生了解莫比烏斯帶。沒有現成的參考資料，網上也只是對莫比烏斯帶的用途作了簡單的介紹。但我把這看成了一次自我鍛煉和自我挑戰的機會。我們年組教師在一起商議，探討、動手實踐，根據教科書上提供的有限的內容，及親自動手實踐的經過，確定本節課的教學目標；使學生了解認識莫比烏斯帶；動手制作，自主探索莫比烏斯帶，感受數學知識的無窮奧秘，激發學習數學的濃厚興趣。為完成教學目標，設計了2個活動，一個是沿12線剪，另一個是沿13線剪。

從整節課來看，較好地完成了教學目標，學生在“動手做”中深切地感受到了莫比烏斯帶的無窮魅力，激發了強烈的好奇心和創造欲望。以一張紙條變魔術導入，更讓學生真切地感受到莫比烏斯帶像魔術般神奇的變化，并為學生琢磨其中的奧妙做了鋪墊。在這個變化過程中，我并不是將莫比烏斯帶和盤托出，而是給學生創造和想象的時空。教學生實踐證明：不單是莫比烏斯能發現這個圈，我們也能夠創造的。

在動手探尋莫比烏斯帶的奇妙特點時，我堅持讓學生先想一想，猜一猜，剪完以后再想一想：為什么會是這樣的？這樣，就不只是讓學生動手做，還要學生動腦想，不效地培養了學生的空間想象能力，“大膽猜測，小心求證”的意識以及勤于反思的習慣。

一般的課上，學生的動手操作多是遵師命而為，學生是操作，不是探究者，我適時地放手，給了學生充分的自主創造的時間和空間，學生開動腦筋提出猜想，動手驗證，愉快體驗，它十分有效地激發了學生的創造熱情和發現欲望。

最后的教學環節不是定位于“介紹應用”，而是立意在“創造和欣賞”。激發學生學習數學的興趣。

教學，同樣是一門遺憾的藝術。課下我在品味著那幾處不足。

在設計這節課的過程中，我遇到了這樣的問題：在教學過程中，一部分學生不能按老師的要求完成學習任務，做不出作品；但是如果我給學生充分的時間讓每個學生都做完，就會嚴重超時。對于這樣一節動手操作要求高的課，由于學生存在個體差異，讓全體學生在一節課內完成４次操作，并且不斷猜想、驗證，難度很大。因此，本節課中，我采取互相幫助、啟發、交流來完成教學任務，不知道這樣處理是否恰當，懇請提出寶貴意見。教學內容：人教版小學數學第七冊P77數學游戲“神奇的莫比烏斯帶”教學目標：在動手做中學會將長方形紙條制成一個神奇的莫比烏斯紙圈，在其“魔術般的變化”中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學習數學的熱情。教學準備：長方形紙（4條）、剪刀、水彩筆、直尺、雙面膠教學過程：一、故事激趣1．《縣官與執行官的故事》2．今天我們要研究的內容就是執行官的秘密手法。有興趣嗎？二、認識莫比烏斯帶1．普通長方形紙帶有幾個面？（指一指）2．普通紙圈有幾個面？幾條邊？3．你有辦法讓它變成一個面嗎？4．你有什么辦法說明它就是一個單側曲面？5．這個看似簡單、普通的小圈原來如此神奇、有趣，在數學上我們叫“單側曲面”6．介紹莫比烏斯帶的來歷。也有人管它叫“怪圈”。7．現在你能揭開執行官神秘手法的神秘之處了嗎？三、莫比烏斯帶的應用大膽猜測：1．由此，你還可以有哪些大膽的猜測？2．怎么證明這個猜測是對的？四、認識莫比烏斯帶的性質一）1/2剪1．猜一猜2．動手操作驗證。交流。3．還是一個莫比烏斯圈嗎？二）1/3剪方法基本同上五、課堂小結1．課上到現在，對于今天的學習，你有什么特別的感受嗎？2．簡單了解拓撲學。神奇的“莫比烏斯帶”活動目標：在動手做中學會將長方形紙條制成一個神奇的莫比烏斯紙圈，在其“魔術般的變化”中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學生學習數學的熱情。

活動準備：每生3張長方形紙條，剪刀，固體膠，水彩筆，直尺。

活動過程：

一、變魔術

師：喜歡看魔術表演嗎？今天陳老師就來給大家表演一個，歡迎嗎？這是一個紙圈，現在老師把它剪一刀，會變成什么樣子呢？大家拭目以待吧。

（師1/3剪，做完展示，學生發出驚訝贊嘆聲。）

師：你們想知道其中的奧秘，想自己做嗎？那同學們可要發揮自己的聰明才智，大膽猜想（板書），在自己動手實踐中就會有許多驚奇的發現。

師：這是一張長方形的紙條，有幾個面，幾條邊？（生：2個面，4條邊）

師：想一想，有什么辦法把這張紙條變成兩個面，兩條邊？（生動手嘗試）

二、做紙圈

〈1．〉生：把紙條的兩端粘在一起，形成一個圈，就是兩個面，兩條邊。

〈2．〉師：再想想辦法把這張紙條變成一個面，一條邊？（生動手嘗試）有做成的嗎？你是怎么做的？

師：把紙條先捏著一端不動，將另一端扭轉180度，再粘貼起來，就變成只有一個面，一條邊的紙圈了。想跟老師學嗎？

請同學們跟老師這樣做。（師示范，生跟著做，師個別指導。）

也可以同學之間互相幫助，互相學習。

師：做成了嗎？做成的請舉起來。

〈3〉提問題

師：大家會做這個紙圈，你還想提什么問題？

生1：這個紙圈有什么特別的嗎？

生2：這個紙圈叫什么？有什么用？

生3：這個紙圈為什么只有一個面，一條邊？

〈4〉驗證

師：這個紙圈是不是只有一條邊呢？有什么辦法驗證嗎？

（讓學生自己想辦法，說一說）

生：把兩只手放在紙圈邊上的某一點，一只手不動，另一只手沿著邊移動，最后又回到起點的地方，說明這個圈只有一條邊。

師：為什么變一條邊呢？（師再示范講解下面這條邊旋轉180度又接著上面那條邊了）

師：是不是只有一個面呢？現在請同學們拿出水彩筆沿紙圈的中間畫一條線，畫好的有什么發現？（師生齊畫）

生：畫了一圈又回到原來起點的地方。

生：這條線一次性經過紙條的正面和背面，又回到了起點。就說明這個紙圈只有一個面。

師：為什么變一個面了？師再示范講解里面旋轉180度和外面接在一起了。（電腦出示）

〈5〉揭示課題

師：這個紙圈叫莫比烏斯圈也叫莫比烏斯帶。（板書課題：莫比烏斯帶）

它是德國數學家莫比烏斯在1858年發現的因此叫莫比烏斯帶。明白了嗎？

三、剪紙圈

〈1．〉1/2剪

師：還想再動手做嗎？

師：現在大家用剪刀沿剛才畫的中線剪開紙圈，慢著，先猜一猜紙圈將變成什么樣？生：……

師：究竟會是什么樣子呢？實踐是檢驗真理的唯一標準，就讓我們一起動手來驗證一下吧！（師生齊做，剪一剪，試一試，結果變成一個大圈，你猜對了嗎？）

師：請大家繼續用筆在大圈中間畫線，再沿中線剪一圈，猜一猜這時紙圈又會變成什么樣子？（動手驗證，師生齊做，剪一剪，試一試，結果變成兩個大小一樣的套在一起的大圈）

師：通過這兩個實驗你們有什么感覺？

生１：我覺得莫比烏斯圈實在是很神奇！（師板書：神奇）

生２：我覺得莫比烏斯圈挺好玩的！

師：這還不夠神奇，莫比烏斯圈還有更神奇的呢！（學生發出感嘆，都很感興趣）

師：另取一張紙條，橫著畫出它的三等分線，把中間一分涂上自己喜歡的顏色再它做成莫比烏斯圈，如果沿著三等分線剪開，結果會怎樣？先在小組內猜一猜，再動手驗證你的猜想。

生１：我沿一條線剪，剪著剪著就跑到另一條線上去了。

生２：結果是一個大圈套一個小圈。真的很神奇。

師：我們在做之前大膽猜想，做過程中是小心求證（板書）。

四、自主玩

小結這個莫比烏斯圈是怎么做的？

師：普通的紙條經過擰、粘、剪（板書：擰、粘、剪）變出了這么多神奇的紙圈，真像變魔術一樣！你能想出其他的玩法嗎？以小組為單位，看看你們小組在規定時間內能把紙圈剪出多少種不同的情況。

（播放音樂，生動手做，紙條不夠自己到講臺處領取）

請小組匯報，展示。

五、說用處

師：莫比烏斯圈在生活中哪些地方可能會用上？

（電腦出示莫比烏斯爬梯圖片）

師：這是北京某居民小區中利用莫比烏斯圈原理制成的莫比烏斯爬梯。有同學玩過嗎？這個爬梯只有一個面，可以一次不知不覺爬到底。

生：兒童游樂場的過山車。

下次去游樂場玩時，可以去觀察一下，過山車的輪套是不是莫比烏斯圈的樣子。

莫比烏斯圈不僅好玩，還好用。它在生活和生產中都有應用。想想，哪些地方可能用上？

師：打印機的色帶和工產機器上的傳送帶就可以做成“莫比烏斯帶”的樣子，這樣就能充分利用，減少磨損，延長使用時間。

師：在中國科技館的大廳中央，聳立著的巨型“三葉扭結”模型，它就是根據莫比烏斯圈的原理制作的，大家有機會到北京可以親自去看看。

六、談感受

師：上完這節課，你們有什么感受？

師：我和大家感覺一樣，優美的曲線能帶給我們美的享受，帶給我們無限的猜想。數學充滿了無窮的魅力，有待同學們以后進一步去探索。課后反思：

這是一節數學活動課，但在數學課上有手工，手工中有數學，這就是新課程理念指導下數學研究的快樂，更強調學科整合。

新課程實施以來，非常可喜的是學生在數學課上的動手操作多了起來，學生是學習的主人，學生是自己學習的主人。老師適時放手，給學生充分的動手時間和空間。老師適時展示學生創作的莫比烏斯圈，它十分有效地激發了學生的探究熱情。學生動腦筋提出猜想，動手驗證，愉快體驗。在這樣的課上，在這樣的學習中，學生會有豐富多彩的創造，會有多種多樣的體驗。

數學來源于生活，又高于生活，數學是對生活的提煉和對生活的超越。如果我們能在生活中找到所學習數學的原型，那更有教育性。如果找不到呢？也不要硬找？莫比烏斯圈在生活中的應用不太容易找到。學生能說到“游樂園中的過山車”已經說明他能聯系生活了，有留心觀察生活。

但我在上課過程中，“大膽猜想，小心求證”還沒能很好做到。學生在動手做之前，應該給他們更多的猜想時間，讓他們多說自己的猜想，然后進行求證，這樣更有“過程性”的教育價值，讓學生的空間觀念、空間想象力得到真正有效發展。

華羅庚先生在《和同學生們談數學》一文中說：“其實，數學本身，也有無窮的美妙。只要你們踏進了大門，你們隨時隨地都會發現數學上也有許許多多有趣味的東西。”通過這節課的學習，學生走進莫比烏斯圈，更多的是感受數學的神奇，領略數學的美妙，激發學習數學的興趣！年

級：四年級

活動目標：

1、

讓學生認識“莫比烏斯帶”，學會將長方形紙條制成莫比烏斯帶。

2、

引導學生通過思考操作發現并驗證“莫比烏斯帶”的特征，培養學生大膽猜測、勇于探究的求索精神。

3、在莫比烏斯帶魔術般的變化中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學生學習數學的興趣，培養學生良好的數學情感。

活動準備：學生：準備剪刀，膠帶、彩筆

教師：為學生準備三張長方形彩紙

活動過程：

一、引入：

課前老師給同學們發了三張長方形的紙條，今天我們就用這些紙條來學習新知識。

二、認識莫比烏斯帶

1、請同學們取出1號紙條，認真觀察：這是一張普通的長方形紙條，它有幾條邊幾個面？（引導學生觀察）

2、你能把它變成兩條邊兩個面嗎？

學生動手操作：可以首尾相接圍成一個圈。

請學生上前演示，用手摸摸看兩個面、兩條邊。

3、請同學們取出2號紙條，你能把它變成一條邊一個面嗎？請同學們試一試。（引導學生動手實踐）

看來老師的問題把同學們難倒了，看看老師是怎樣做的（邊演示邊口述)：先做成一個普通的紙圈，然后將一端翻轉180°，再用膠帶粘牢。這樣就完成了只有一個面一條邊的紙圈。

請同學們按照老師演示的方法做一個這樣的紙圈。（小組合作，互相幫助）

4、那這樣一個紙圈真的是一條邊、一個面嗎？你想怎樣來檢驗？（啟發學生采用多種方法來證明，教師引導學生把證明的過程展示給大家。）

5、你們知道這樣的一個紙圈叫什么名字嗎？（板書課題：神奇的莫比烏斯帶）它是德國數學家莫比烏斯在1858年在偶然間發現的，所以就以他的名字命名叫“莫比烏斯帶”，也有人叫它“莫比烏斯圈”，還有人管他叫“怪圈”。

三、研究莫比烏斯帶

莫比烏斯帶到底有多神奇呢？下面我們就用“剪”的辦法來研究。

老師先拿出平常的紙圈，問：如果沿著紙帶的中間剪下去，會變成什么樣呢？（老師動手剪，學生觀察驗證。）請同學們認真觀察老師是怎么剪的？（變成2個分開的紙圈）

（一）1/2剪莫比烏斯帶

1、現在，老師拿出莫比烏斯帶，我們也用剪刀沿中線剪開這個莫比烏斯紙圈，同學們猜一猜會變成什么樣子？（啟發學生想象力）

2、請同學們自己動手驗證一下

3、驗證結果：變成了一個更大的圈。

你們說神奇嗎？大家還想不想繼續研究？

（二）1/3剪莫比烏斯帶

1、請同學們拿出3號紙條，再做成一個莫比烏斯帶。

2、如果我們要沿著三等分線剪，猜一猜：要剪幾次？剪的結果會是怎樣呢？小組輕聲交流一下。

3、學生動手操作，同桌合作幫助。

4、驗證結果：一個大圈套著一個小圈。

5、問題：這個小圈和大圈是莫比烏斯帶嗎？請用剛才的方法證明一下。

（三）其它剪法

從中間或是從三等分線剪莫比烏斯帶得到的結果是不一樣的，那你們還想怎樣剪？結果會怎樣呢？在小組內說說看。

（教師引導學生說出自己的想法）同學們的想法真好，課后同學們去實踐一下，看看是不是你們猜想的結果。

四、生活中應用

莫比烏斯帶不僅好玩有趣，而且還被應用到生活的方方面面。請欣賞圖片（課件展示）

1、過山車：有些過山車的跑道采用的就是莫比烏斯原理。

2、莫比烏斯爬梯3、三葉扭結：中國科技館的標志性的物體，是由莫比烏斯帶演變而成的。

五、課堂拓展

同學們通過今天這節課的學習，是不是覺得莫比烏斯帶充滿了奧秘呢?有的問題老師也不怎么清楚。我告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯帶的書叫《拓撲學》（板書）。課后，有興趣的同學可以和老師一起去研究研究，好嗎?你們要出來說下，我想多打幾次我講的是義務教育課程標準教科書四年級上冊的數學游戲課《神奇的莫比烏斯帶》，課后我有幸聆聽了進修學校的數學教研組的閆主任及羅老師兩位專家的指導，在這里我要對她們表達我最真誠的謝意：謝謝你們。

下面是我對本節數學課的一些反思

我認為在本節數學課的精彩之處在于：

（1）互動的課堂學生才會個性飛揚

在本節課中我為學生提供機會，引導學生深度參與數學活動。學生在猜想驗證的互動實踐過程中有困惑、有遺憾、有驚喜、有自豪。他們有充分從事數學活動的機會，能夠自由地表達自己想法，分享他人的喜悅。課后閑聊，孩子們說喜歡這樣的數學學習活動，有的同學認為這樣的課夠味，有的同學扼腕嘆息，“我怎么就不小心剪斷了呢？”有的同學說：“還沒上夠呢就下課了。”很明顯，同學們都深入地參與了這次學習活動。

（2）學生在莫比烏斯帶魔術般的變化中感受到數學的無窮魅力，拓展了數學視野。“學生愛上了數學”成了我這節課中最大的收獲。

在這節課中，學生自由談感受時，學生除感受到莫比烏斯帶神奇好玩外，還有的學生說：“我今后把莫比烏斯帶用在生活當中讓它發揮更大的作用。”還有的說：“我對他特別感興趣，我還要繼續研究它.”……更令我感到怦然心動的是一個靦腆的小姑娘站起來怯怯地說：“我以前討厭學數學，但今天我發現數學挺有趣的，我現在喜歡數學了。”還用說別的嗎？這就是她給我最好的鼓勵。一個不愛數學的學生因為這一次數學游戲課可使她對數學課感興趣，一個數學教師能聽到孩子這樣的心聲，夫復何求？

同時我也發現了本節課中存在的問題，并進行了反思：

（1）要正確處理好預設與生成之間的關系

在這節課中出現了這樣一個情況，當我要求學生把一張有四條邊兩個面的長方形紙條變成只有一條邊一個面時，學生操作了半天也沒做出來，，我把自己事先做好的莫比烏斯帶拿出來請同學們感受它是一條邊一個面時，有幾個同學也跟著像模像樣的把紙條扭轉成莫比烏斯帶了，可這時我完全忽視了這一部分“先知先覺”的孩子此時迫切需要給予肯定給予表揚的感受，而是繼續按照預先設計的由我教所有學生制作莫比烏斯帶。其實這是一個多么好的生成資源，我卻白白浪費了。現在反思一下，正如閆主任和羅老師說的那樣：如果我放手請已經學會的同學教那些沒會的同學，既給這一小部分同學大顯身手的機會，又不至于使這一小部分同學在老師指指點點的時候無事可做。

在實際教學中，這種在課堂中生成的教學資源最具有教學價值。這種教學資源來自于課堂本身，具有鮮活性，是學生參與的結果，。這種教學資源對于學生來說，參與性強，感受深，比一般的教材資源資源更容易被學生接受和理解。因此課堂教學不應拘泥于預先設定的固定不變的程式，而是要隨學生的知、情、意、行的變化不斷調整自己的設計方案，想方設法的利用這種意外生成的教學資源，睿智的進行處理。如果我們老師能及時捕捉住他們的思維火花，順著學生的思路展開教學，從容的處理這個環節，課堂中的碰撞往往會變成充分展示學生思考探索交流過程中精彩的一幕。

（2）備課時一定要備細，對于每一個環節都要達到細致入微。

在這節課中，當我和學生一起做出一個單側面紙圈請學生為這個單側面紙圈取一個富有個性的名字時，一個學生站起來一下子就說出它就是“莫比烏斯圈”時，讓我既喜又驚，喜的是我以為這個學生在他以前的生活中或是接觸過或是了解了這個對于他這個年齡段孩子來說比較陌生的東西，可是當我追問他：“你是怎么知道這個名字時?”他驕傲地說：“大屏幕上寫著呢！”原來如此！瞧瞧這是一個多明顯的敗筆。本來我預想這個問題學生的答案應該是“單側面紙圈”或者是“單側面紙帶”，當學生說出這樣的答案時，既加深了學生對莫比烏斯帶是單側面的特征的印象，又為我接下來和學生一起了解莫比烏斯帶名字由來設下一個懸念，。驚的是如今孩子一下就把“莫比烏斯帶名字”說了出來,卻是因為我的疏忽：大屏幕上一直顯示我這節課所要教學的內容“《神奇的莫比烏斯帶》”。所以，我想對自己說：“在以后的備課過程中一定要細，不能再出現這樣類似的情況。”

（3）操作要有目的

在教學過程中，學生在經歷沿莫比烏斯帶中線剪開、又把剪成的雙側面紙圈沿中線剪開后，在進行沿莫比烏斯帶三等分線剪開的時候，因我問題問的不是十分清楚，有幾個學生按照思維定勢把已經畫好三等分線的莫比烏斯帶又沿中線剪開，導致個別學生操作的失敗。其實學生的失敗恰恰是我的失敗：操作要有目的，也就是說學生必須清楚地知道他們要做什么，為什么這樣做？只有明確了目的學生才會主動地去做。在組織學生動手操作前，教師必須使學生明確所要解決的問題，對探究方向進行思考。否則操作只是盲目的低效的甚至是無效的。

以上僅是我對這節課的自我反思，在今后的教學中我會不斷總結經驗和不足以利自己的教學

。

《神奇的莫比烏斯帶》的教學反思來自費爾教育。點這里回到頂部奇的莫比烏斯帶（數學活動課）執教者：楊文娟活動內容：新課標第七冊數學書77頁內容。活動目標：

1、

讓學生認識“莫比烏斯帶”，學會將長方形紙條制成莫比烏斯帶。2、

引導學生通過思考、操作、發現并驗證“莫比烏斯帶”的神奇，培養學生大膽猜測、勇于探究的求索精神。3、在莫比烏斯帶魔術般的變化中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學生學習數學的興趣，培養學生良好的數學情感。活動準備：學生準備剪刀、膠水、兩張長方形紙條。活動過程：一、問題激趣導入。1、認識長方形紙條的邊和面。觀察:有幾條邊?幾個面?2、課件出示問題，老師引導大家去解決問題。先用一種長方形紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙上的一面涂抹，最后要把整個紙圈全部抹成這種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣做？學生思考。教師和學生一起驗證用紙條的首尾相粘做成的紙圈是否符合題目要求。師：首尾相粘的紙圈有兩個面，必須要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合題目只涂抹一面的要求。師：我想到一種做法，也不知道老師的這種做法是否符合要求，我想請同學們一起來驗證一下。老師做一個莫比烏斯帶，并用紅色粉筆涂抹顏色。師：我就把紅色粉筆放在一個面上不動，不斷地拉動這個圈。同學們看看這個圈有什么變化？師：成功了嗎？生：成功了。師：同學們現在心中有疑惑嗎？說說你心里的疑惑。生：“老師做的這個圈為什么只涂一個面就可以將整張紙全部涂滿顏色？”生：“老師的這個圈叫什么名字？”生：“老師的這個圈怎么做的？”生：“這個圈好神奇哦”師：下面老師就來幫大家解決心中的疑惑。這個神奇的圈它不是楊老師發現的，是1858年德國的數學家莫比烏斯發現的，后來這個圈就被人們命名為——莫比烏斯帶，也叫莫比烏斯圈。師：這節課我就和大家一起去領略莫比烏斯帶的神奇。并板書課題：神奇的莫比烏斯帶。二、認識莫比烏斯帶1、做莫比烏斯帶。師：這么神奇的圈大家想做一個嗎？教師指導學生做莫比烏斯帶。生：想。師：下面老師就教大家來做莫比烏斯帶。看哪些同學能做出了正確的莫比烏斯帶。師：先把紙條做成一個普通的圈，再把期中的一個借口扭180°，最后用膠水把兩端粘起來就做成了一個莫比烏斯圈。師：請同學們用剛才的方法將另一張長方形紙條也做成一個莫比烏斯帶。2、了解莫比烏斯帶。師：那現在的莫比烏斯帶變成了幾個面了，幾條邊了。下面我們一起用畫一畫的方法來驗證一下。師：請同學們在黏貼處做上一個記號，從記號開始，沿著在紙條上畫的線條輕輕的一直描下去你發現了什么？生：轉了一圈又回到起點。生：兩種顏色的線條連在一起了。師：原來這兩種顏色的線條分布在紙條的兩邊，現在連在一起了，也就是原來的兩個面合成了一個面。師：真是個觀察力強的孩子，剛才你們的發現就驗證了莫比烏斯帶只有一個面。同學們還可以用畫一畫的方法去驗證一下它的邊。過渡：這只是莫比烏斯神奇的一部分，更神奇的是我們下面要探索的環節。三、研究莫比烏斯帶的神奇。師：莫比烏斯帶到底有多神奇呢？下面我們就用“剪”的辦法來研究。請看第一種剪法。出示課件剪法驗證的結果沿著紙帶的中間線剪下去變成了一個大圈沿離紙帶邊線三分之一處剪下去變成了一個大圈套著一個小圈出示第一種剪法。師：同學們先想一想這樣去剪，莫比烏斯圈會變成什么？生：會變成更大的莫比烏斯圈。生：會變成兩個普通圈。生：圈會剪斷。師：實踐出真知，請大家拿起桌上的剪刀動手剪一剪。學生動手驗證結果。師：我請一個同學告訴我變成了什么了？生：變成了一個大圈。師：其他同學的是不是也和她的一樣啊？生：是的。老師出示課件中的驗證結果。師：請同學們拿起另一個莫比烏斯圈。請大家猜猜第二種剪法，莫比烏斯圈可以變成什么？生：變成一個大圈。生：變成一個邊寬的圈和一個邊窄的圈。生：變成兩個圈。師：大家有很多猜測，到底能變成什么，是不是很期待。就請用行動去驗證大家的猜測吧。學生動手剪。老師指導，老師指導學生先將圈的一部分對折起來，用剪刀沿著中線剪一點突破口，再把剪刀從突破口放進去一直沿著線條剪。師：剛才我們將一張普通的紙條擰、粘、剪，感受到了莫比烏斯圈的變幻莫測、神奇無比。剛才我們是沿1/2、1/3線剪的，現在想一想你還想怎樣玩？哪位同學有特別好的創意給大家說說。生：我想沿著紙帶的四分之一處剪。生：我想沿著五分之一處剪。師；課后有時間同學們可以將自己設計的玩法，剪出來看看出現了哪些奇妙的結果。和同學們分享一下你的發現。師：莫比烏斯帶不僅好玩有趣，而且還被應用到生活的方方面面。四、莫比烏斯帶在生活中的應用。出示課件圖片。1、過山車：有些過山車的跑道采用的就是莫比烏斯原理。2、莫比烏斯爬梯。3、三葉扭結：中國科技館的標志性的物體，是由莫比烏斯帶演變而成的。4、克萊茵瓶的設計。5、莫比烏斯環餐桌。五、課堂總結師：同學們通過今天這節課的學習，是不是對莫比烏斯圈還有很多疑問？是不是覺得莫比烏斯帶充滿了奧秘?有的問題老師也不怎么清楚。我告訴大家，有本叫《拓撲學》（板書）的書里面對莫比烏斯帶研究的很具體。課后，有興趣的同學可以在網上查查看，好嗎?今天,一個"莫比烏斯帶"給了我們無限的遐想,希望這節課能給同學們有所啟發,平時多留心觀察生活,對事物多問為什么,做一個生活的有心人，相信更多偉大的發現會從你們身《神奇的莫比烏斯帶》

教學目標：

1、認識莫比烏斯帶這一奇特的現象，了解它的邊和面的特點。

2、結合生活中的實際運用，自創不同的莫比烏斯帶。

教學準備：

數條長紙帶、膠棒、剪刀、課件。

教學過程：

一、變魔術

師：（出示一張白紙條）請拿出這樣的白紙條，這張紙條有幾條邊？幾個面

生：（齊）四條邊、兩個面。

師：一個正面、一個反面。現在我會變魔術，我能把它變成只有兩條邊、兩個面。

(師微笑著把紙條變成紙圈。)

師：是不是兩條邊、兩個面?

師：是啊，地球人都知道。奇妙的是我還能把它變成一條邊、一個面。

(生瞪大眼睛，興趣一下子被激發起來了。有同學在想，有同學在試。)

(師把紙條放在背后操作，做成莫比烏斯圈。)

師：不想讓你們看到!(師出示莫比烏斯圈)想想吧，是怎么做的?

二、做紙圈

師：(看到大多數同學都做成了)同學們可以互相幫助。看到同學們快樂的笑臉，我真高興！我們可以這樣做：(師演示)先做成一個普通的紙圈，然后將一端剪開翻180°，再用膠水粘牢。是不是一條邊、一個面?怎樣檢驗呢?

(生用手指沿著紙條的邊和面各畫了一圈。)

生：是一條邊、一個面!

師：我們一起動手，都來檢驗一下吧。拿出一支水彩筆，在紙圈的中間畫一條線，看看它是不是一個面。

生：真是一個面，怎么回事?

師：像這樣沒有里面和外面之分，只有一個面的，數學上叫單側曲面。那么普通的紙圈有里外之分就叫——

生：雙側曲面。

師：這樣一個怪怪的紙圈叫什么名字呢?有人知道嗎?

莫比烏斯圈。

為什么叫莫比烏斯圈呢?我來告訴同學們，德國有一位數學家叫莫比烏斯，1858年，一次偶然的機會，他發現了這樣一個奇妙的紙圈。所以，人們就把這樣的紙圈叫莫比烏斯圈。

三、沿1/2線剪

師：我們的魔術還可以往下做，怎么做呢?剛才你不是在這個紙圈中間畫了一條線嗎?想一想，如果我們沿著中間這條線把這個紙圈剪開的話，會怎樣呢

生：我覺得這個圈會變成兩個圈。

生：我覺得會變成兩個莫比烏斯圈。

生：會不會變成三個圈?

師：(看到有學生想剪了)要知道究竟，怎樣辦呢?

生：剪剪看。

師：是啊，實踐出真知!

生：在我剪完之后，不像剛才同學們說的那樣是兩個圈，是連在一起的。

生：我這個也是連在一起的。

師：那是一個圈還是兩個圈?

生：(齊)一個圈。

師：不過，這個圈中間有點扭起來了。我們都認為從中間剪開應該是兩個圈呀，怎么會變成一個圈呢?奇怪!哪位同學能說說你的猜想?現在在間又畫了一線條，如果再沿著這條線剪開，想一想，又會是什么結果呢?

生：還是一個圈。

生：我覺得是兩個圈。

師：大家做做看。

(生動手操作，師也動手操作。)

生：是兩個套著的圈，真奇怪!

四、沿1/3線剪

師：我們繼續來感受這個紙圈的神奇，好嗎?請同學們拿出那張黃紙條，在黃紙條上畫三等分線。請把中間的部分涂上你喜歡的顏色，兩面都涂。

師：好，現在你們有什么想法?

生：能沿著線把這個莫比烏斯圈剪開嗎?

師：可以的。如果我們沿著三等分線把這個莫比烏斯圈剪開的話，需要剪幾次呢?

生：(齊)兩次。

師：剪完以后會是什么樣子呢?

生：我覺得剪完后可能會是三個圈套在一起。

生：我覺得會變成一個大圈。

師：真佩服你的想象力。那究竟會怎么樣，還是動手去做一做。（回家做）

五、自主玩

師：剛才我們將一張普通的紙條擰、粘、剪，感受到了莫比烏斯圈的變幻莫測、神奇無比。我想接下來的時間就完全交給同學們了，現在發揮你們的聰明才智，自己去想象、設計、制作。請拿出另一張白色紙條。剛才我們是擰了180°，想一想還可以怎么擰。剛才我們是沿1/2、1/3線剪的，現在想一想怎么剪。哪位同學有特別好的創意，老師將獎給他紅色紙條繼續設計。

(屏幕上出示經典的莫比烏斯圈圖案，生創作，師巡視，詢問夸獎，)

師：剛才是我們各自在創造，現在小組內的同學相互交流欣賞。說說你是怎么做的，怎么旋轉的，怎么剪開的。是兩個套在一起的圈。

師：剛才我們已經創造和分享了莫比烏斯圈的神奇。我想肯定還有很多同學想繼續去探究，咱們現在暫停。

六、發明應用

師：在咱們西城區有一個莫比烏斯爬梯，有人玩過嗎?

生：我玩的時候上上下下有十圈，累得我滿頭大汗，最后還是回到原地。

師：哈哈哈!原來你們只是覺得好玩，現在你們知道是怎么回事了嗎?

生：知道了!

師：莫比烏斯圈不但好玩還好用呢。想想看，莫比烏斯圈可以在哪些地方用上呢?

生：家里有胖孩子的，媽媽就可以設計一個莫比烏斯跑道，讓她的兒子減肥。

生：有的過山車就是這樣的。

生：我覺得可以把樓梯建成莫比烏斯圈的形狀。

師：很大膽的一個猜想，說不定有朝一日，我們的樓梯就像他講的那樣，我上去一會兒又下來了。

生：我覺得環線地鐵也可以是莫比烏斯圈樣的。

師：多好的想法!問題是當地鐵沿著莫比烏斯軌道轉著轉著的時候，會轉到哪兒去呢?

生：可以做一個莫比烏斯圈的能循環的磁帶，聽時，不用拿出磁帶，A、B兩面都能聽。

師：多有價值的創意，應該申請專利。唉，只可惜這個創意我們稍微遲了一點，已經被一個日本人申請了。

生：水流可以用莫比烏斯圈讓它循環。

師：哈哈……把水重新利用一下，好想法，謝謝這位女同學!她的想法，讓我想到針式打印機的色帶，它就是讓墨水流到用莫比烏斯圈原理做成的色帶上，充分利用了色帶的表面。

七、說收獲與遺憾

師：很可惜我們的時間到了，上了今天這節課你有什么收獲或遺憾?

生：通過這節課我知道了什么是莫比烏斯圈。

生：我的遺憾是沒有想出日常生活中可以用上莫比烏斯圈只有一條邊、一個面。

生：我知道莫比烏斯圈了，遺憾的是我不能多剪幾次。

師：那是怪胡老師沒有給大家更多的時間，這樣，課下再試試好不好?

師：好了，同學們，大家通過今天這節課的學習，是不是對莫比烏斯圈還有很多疑問呢?還有很多為什么沒能解答，有的問題胡老師也不怎么清楚。我告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯圈的學問叫拓撲學。(師板書：拓撲學)課下，有興趣的同學可以繼續去研究，好不好?中國科技館的大廳里就聳立著一巨型的三葉扭結，這個三葉扭結就是根據莫比烏斯圈的原理設計的。它每天不停地旋轉著，美妙的曲線，讓我們享受著數學的神奇和無限的遐想……

師：現在，這一成果已經在科技上得到了應用。例如有一種電腦打印機，用來打印文稿的色帶就是根據這一原理做成的，這種色帶是經過180°旋轉后進行對接，這樣可以使色帶在打印中兩面都得到充分利用，從而成倍地延長其使用壽命，大大節省了材料。你看它的設計多么巧妙啊！

神奇的莫比烏斯帶教學內容：人教版小學四年級上冊《神奇的莫比烏斯帶》教學目標：1、讓學生認識“莫比烏斯帶”，學會將長方形紙條制成莫比烏斯帶。2、引導學生通過思考操作發現并驗證“莫比烏斯帶”的特征，培養學生大膽猜測、勇于探究的求索精神。3、在莫比烏斯帶魔術般的變化中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學生學習數學的興趣，培養學生良好的數學情感。活動準備：剪刀，膠水、彩筆、彩色長方形紙教學過程：一、創設情境，質疑自探同學們，知道我們今天要研究什么內容嗎？（通過觀察大屏幕，學生知道今天要學習神奇的莫比烏斯帶）看過這個題目，你想到了什么？（什么是莫比烏斯帶？它神奇在哪兒了？怎么制作莫比烏斯帶？）讓我們帶著這些問題，一起走進今天的課堂學習《神奇的莫比烏斯帶》。（板書課題：神奇的莫比烏斯帶）二、分組學習，合作交流1、請同學們取出紙條，你發現了什么？(長方形、有4條邊、4個直角、2個面)（板書：紙條

4條邊2個面）2、你能把它變成兩條邊嗎？請同學們試一試。（引導學生動手實踐）做成一個普通紙圈,引導學生觀察得出：普通紙圏

2個面

2條邊（板書）3、你能把它變成1個面嗎？出示制作方法：先做成一個普通的紙圈，然后將一端翻轉180°，再用膠帶粘牢。請同學們按照老師演示的方法做一個這樣的紙圈。（小組合作，互相幫助）4、那這樣一個紙圈真的是一條邊、一個面嗎？我們一起來檢驗吧！拿出一支水彩筆，在紙圈的中間畫一條線，看看它是不是一個面。5、你們知道這樣的一個紙圈叫什么名字嗎？它是德國數學家莫比烏斯在1858年在偶然間發現的，所以就以他的名字命名叫“莫比烏斯帶”，也有人叫它“莫比烏斯圈”，還有人管他叫“怪圈”。三、研究莫比烏斯帶（一）1/2剪莫比烏斯帶我們的魔術還可以往下做，怎么做呢?剛才你不是在這個紙圈中間畫了一條線嗎?想一想，如果我們沿著中間這條線把這個紙圈剪開的話，會怎樣呢1、現在，老師拿出莫比烏斯帶，我們也用剪刀沿中線剪開這個莫比烏斯紙圈，同學們猜一猜會變成什么樣子？（啟發學生想象力）2、請同學們自己動手驗證一下3、驗證結果：變成了一個更大的圈。你們說神奇嗎？大家還想不想繼續感受這個紙圈的神奇？（二）1/3剪莫比烏斯帶1、請同學們拿出黃色紙條，再做成一個莫比烏斯帶。2、如果我們要沿著三等分線剪，猜一猜：要剪幾次？剪的結果會是怎樣呢？小組輕聲交流一下。3、學生動手操作，同桌合作幫助。4、驗證結果：一個大圈套著一個小圈。5、問題：這個小圈和大圈是莫比烏斯帶嗎？請用剛才的方法證明一下。（三）其它剪法從中間或是從三等分線剪莫比烏斯帶得到的結果是不一樣的，那你們還想怎樣剪？結果會怎樣呢？在小組內說說看。（教師引導學生說出自己的想法）同學們的想法真好，課后同學們去實踐一下，看看是不是你們猜想的結果。四、生活中應用莫比烏斯帶不僅好玩有趣，而且還被應用到生活的方方面面。請欣賞圖片（課件展示）1、過山車：有些過山車的跑道采用的就是莫比烏斯原理。2、莫比烏斯爬梯3、哈薩克斯坦新國家圖書館4、克萊因瓶5、不可能郵票五、課堂拓展同學們通過今天這節課的學習，是不是覺得莫比烏斯帶充滿了奧秘呢?有的問題老師也不怎么清楚。我告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯帶的書叫《拓撲學》（板書）。課后，有興趣的同學可以和老師一起去研究研究，好嗎?神奇的莫比烏斯紙圈，在其“魔術般的變化”中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學生學習數學的熱情。

活動準備：每生3張長方形紙條，剪刀，固體膠，水彩筆，直尺。

活動過程：

一、變魔術

師：喜歡看魔術表演嗎？今天陳老師就來給大家表演一個，歡迎嗎？這是一個紙圈，現在老師把它剪一刀，會變成什么樣子呢？大家拭目以待吧。

（師1/3剪，做完展示，學生發出驚訝贊嘆聲。）

師：你們想知道其中的奧秘，想自己做嗎？那同學們可要發揮自己的聰明才智，大膽猜想（板書），在自己動手實踐中就會有許多驚奇的發現。

師：這是一張長方形的紙條，有幾個面，幾條邊？（生：2個面，4條邊）

師：想一想，有什么辦法把這張紙條變成兩個面，兩條邊？（生動手嘗試）

二、做紙圈

〈1．〉生：把紙條的兩端粘在一起，形成一個圈，就是兩個面，兩條邊。

〈2．〉師：再想想辦法把這張紙條變成一個面，一條邊？（生動手嘗試）有做成的嗎？你是怎么做的？

師：把紙條先捏著一端不動，將另一端扭轉180度，再粘貼起來，就變成只有一個面，一條邊的紙圈了。想跟老師學嗎？

請同學們跟老師這樣做。（師示范，生跟著做，師個別指導。）

也可以同學之間互相幫助，互相學習。

師：做成了嗎？做成的請舉起來。

〈3〉提問題

師：大家會做這個紙圈，你還想提什么問題？

生1：這個紙圈有什么特別的嗎？

生2：這個紙圈叫什么？有什么用？

生3：這個紙圈為什么只有一個面，一條邊？

〈4〉驗證

師：這個紙圈是不是只有一條邊呢？有什么辦法驗證嗎？

（讓學生自己想辦法，說一說）

生：把兩只手放在紙圈邊上的某一點，一只手不動，另一只手沿著邊移動，最后又回到起點的地方，說明這個圈只有一條邊。

師：為什么變一條邊呢？（師再示范講解下面這條邊旋轉180度又接著上面那條邊了）

師：是不是只有一個面呢？現在請同學們拿出水彩筆沿紙圈的中間畫一條線，畫好的有什么發現？（師生齊畫）

生：畫了一圈又回到原來起點的地方。

生：這條線一次性經過紙條的正面和背面，又回到了起點。就說明這個紙圈只有一個面。

師：為什么變一個面了？師再示范講解里面旋轉180度和外面接在一起了。（電腦出示）

〈5〉揭示課題

師：這個紙圈叫莫比烏斯圈也叫莫比烏斯帶。（板書課題：莫比烏斯帶）

它是德國數學家莫比烏斯在1858年發現的因此叫莫比烏斯帶。明白了嗎？

三、剪紙圈

〈1．〉1/2剪

師：還想再動手做嗎？

師：現在大家用剪刀沿剛才畫的中線剪開紙圈，慢著，先猜一猜紙圈將變成什么樣？生：……

師：究竟會是什么樣子呢？實踐是檢驗真理的唯一標準，就讓我們一起動手來驗證一下吧！（師生齊做，剪一剪，試一試，結果變成一個大圈，你猜對了嗎？）

師：請大家繼續用筆在大圈中間畫線，再沿中線剪一圈，猜一猜這時紙圈又會變成什么樣子？（動手驗證，師生齊做，剪一剪，試一試，結果變成兩個大小一樣的套在一起的大圈）

師：通過這兩個實驗你們有什么感覺？

生１：我覺得莫比烏斯圈實在是很神奇！（師板書：神奇）

生２：我覺得莫比烏斯圈挺好玩的！

師：這還不夠神奇，莫比烏斯圈還有更神奇的呢！（學生發出感嘆，都很感興趣）

師：另取一張紙條，橫著畫出它的三等分線，把中間一分涂上自己喜歡的顏色再它做成莫比烏斯圈，如果沿著三等分線剪開，結果會怎樣？先在小組內猜一猜，再動手驗證你的猜想。

生１：我沿一條線剪，剪著剪著就跑到另一條線上去了。

生２：結果是一個大圈套一個小圈。真的很神奇。

師：我們在做之前大膽猜想，做過程中是小心求證（板書）。

四、自主玩

小結這個莫比烏斯圈是怎么做的？

師：普通的紙條經過擰、粘、剪（板書：擰、粘、剪）變出了這么多神奇的紙圈，真像變魔術一樣！你能想出其他的玩法嗎？以小組為單位，看看你們小組在規定時間內能把紙圈剪出多少種不同的情況。

（播放音樂，生動手做，紙條不夠自己到講臺處領取）

請小組匯報，展示。

五、說用處

師：莫比烏斯圈在生活中哪些地方可能會用上？

（電腦出示莫比烏斯爬梯圖片）

師：這是北京某居民小區中利用莫比烏斯圈原理制成的莫比烏斯爬梯。有同學玩過嗎？這個爬梯只有一個面，可以一次不知不覺爬到底。

生：兒童游樂場的過山車。

下次去游樂場玩時，可以去觀察一下，過山車的輪套是不是莫比烏斯圈的樣子。

莫比烏斯圈不僅好玩，還好用。它在生活和生產中都有應用。想想，哪些地