甘肅省蘭州市2010年高三第一次診斷考試（數學理）一、選擇題1.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+1$，其中$a$為常數，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）（A）$a\geqslant0$（B）$a>0$（C）$a\leqslant0$（D）$a<0$2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_5+a_9=0$，則$\frac{a_1}{a_9}$的值為（）（A）$-\frac{1}{3}$（B）$-\frac{1}{2}$（C）$-\frac{2}{3}$（D）$-\frac{1}{4}$二、填空題3.設函數$f(x)=x^3-3x+1$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上存在零點，則實數$a$的取值范圍是________。4.已知等比數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_1a_3+a_2a_4=0$，則$\frac{a_1}{a_5}$的值為________。三、解答題5.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，其中$x>0$。（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）證明：當$x>1$時，$f(x)>0$；（3）求函數$f(x)$在$(0,+\infty)$上的最大值。6.（本小題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，且$a_1+a_5+a_9=0$。（1）求證：$a_3=0$；（2）若$a_1=1$，求等比數列$\{a_n\}$的通項公式。四、解答題7.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，其中$x\geqslant0$。（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）證明：當$x\geqslant0$時，$f(x)\leqslant1$；（3）求函數$f(x)$在$[0,+\infty)$上的最小值。五、解答題8.（本小題滿分12分）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，且對于任意正整數$n$，都有$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$。（1）求證：數列$\{a_n\}$是單調遞減的；（2）若數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，求$S_n$的表達式。六、解答題9.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，其中$x\in\mathbb{R}$。（1）求函數$f(x)$的極值點；（2）求函數$f(x)$的零點；（3）討論函數$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上的單調性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：函數$f(x)=\lnx+ax^2+1$在$(0,+\infty)$上單調遞增，意味著其導數$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax>0$對所有$x>0$成立。由于$\frac{1}{x}>0$，因此$2ax$必須大于0，即$a\geqslant0$。2.答案：A解析：等差數列$\{a_n\}$中，$a_5=a_1+4d$，$a_9=a_1+8d$。由$a_1+a_5+a_9=0$得$a_1+4a_1+12d=0$，即$5a_1+12d=0$。所以$\frac{a_1}{a_9}=\frac{a_1}{a_1+8d}=\frac{a_1}{a_1+4d+4d}=\frac{a_1}{a_1+4d}=-\frac{1}{3}$。二、填空題3.答案：$a\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$解析：函數$f(x)=x^3-3x+1$的導數$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。由于$f(x)$在$(0,+\infty)$上存在零點，故$x=1$不是零點，而$x=-1$是零點。因此，$a$的取值范圍是使得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1\neq0$的$a$，即$a\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$。4.答案：$-\frac{1}{2}$解析：等比數列$\{a_n\}$中，$a_2=a_1q$，$a_3=a_1q^2$，$a_4=a_1q^3$，$a_5=a_1q^4$。由$a_1a_3+a_2a_4=0$得$a_1^2q^3+a_1^2q^4=0$，即$a_1^2q^3(1+q)=0$。由于$a_1\neq0$，所以$q^3(1+q)=0$，解得$q=-1$。因此，$\frac{a_1}{a_5}=\frac{a_1}{a_1(-1)^4}=-\frac{1}{2}$。三、解答題5.（本小題滿分12分）（1）解析：$f'(x)=\fraco4mulnr{dx}\left(\frac{1}{x}-\lnx\right)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{x+1}{x^2}$。（2）解析：當$x>1$時，$f(x)=-\frac{x+1}{x^2}<0$，因為$x^2>0$且$x+1>0$。（3）解析：由于$f'(x)=-\frac{x+1}{x^2}$，當$x\in(0,1)$時，$f'(x)>0$，函數$f(x)$單調遞增；當$x\in(1,+\infty)$時，$f'(x)<0$，函數$f(x)$單調遞減。因此，$f(x)$在$x=1$處取得最大值，即$f(1)=\frac{1}{1}-\ln1=1$。6.（本小題滿分12分）（1）解析：由$a_1+a_5+a_9=0$得$a_1+4a_1+12d=0$，即$5a_1+12d=0$。因此，$a_3=a_1+2d=\frac{5a_1+12d}{5}-\frac{12d}{5}=0$。（2）解析：由$a_1=1$和$a_3=0$得$d=-\frac{a_1}{2}=-\frac{1}{2}$。因此，等比數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}=1\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}$。四、解答題7.（本小題滿分12分）（1）解析：$f'(x)=\fracqng69ww{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x}{2}(2x)}{(x^2+1)^{3/2}}=\frac{1-\frac{x^2}{x^2+1}}{(x^2+1)^{3/2}}=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$。（2）解析：當$x\geqslant0$時，$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\leqslant1$，因為$\sqrt{x^2+1}\geqslantx$。（3）解析：由于$f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$，函數$f(x)$在$[0,+\infty)$上單調遞增。因此，$f(x)$在$x=0$處取得最小值，即$f(0)=0$。五、解答題8.（本小題滿分12分）（1）解析：由$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$得$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{2}-a_n+\frac{1}{3}=-\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$。因此，$a_{n+1}-a_n<0$，數列$\{a_n\}$是單調遞減的。（2）解析：由$a_{n+1}-a_n=-\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$，得$a_n=a_1+\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=1+\sum_{i=1}^{n-1}\left(-\frac{a_i}{2}+\frac{1}{3}\right)$。這是一個遞推關系，可以通過計算前幾項來找到$S_n$的表達式。六、解答題9.（本小題滿分12分）（1）解析：$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$。令$f'(x)=0$得$x=1$和$x=3$。這兩個點是$f(x)$的極值點。（2）解析：由于$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，令$f(x)=0$得$x^3-6x^2+9x+1