高考數學(理數)一輪課后刷題練習：第7章立體幾何7.4(教師版)一、選擇題要求：從每小題給出的四個選項中，選出正確的一項。1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BB1、DD1的中點，則異面直線EF與CC1所成的角的大小為：A.45°B.60°C.90°D.120°2.已知空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BC=CD=DA=2，且AB⊥CD，則四邊形ABCD的面積為：A.4B.8C.12D.16二、填空題要求：直接寫出答案。3.在正四面體ABCD中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，則異面直線AE與BF所成的角的大小為______。4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，則異面直線AE與BF所成的角的大小為______。三、解答題要求：寫出解答過程。5.（1）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，求證：異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。（2）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，求證：異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。6.（1）已知正四面體ABCD中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，求證：異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。（2）已知正四面體ABCD中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，求證：異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。四、證明題要求：證明下列各題中的結論。7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，證明：四邊形EFGH是平行四邊形，其中G、H分別是棱B1C1、C1D1的中點。8.已知正四面體ABCD中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，證明：三角形AEF與三角形BDF全等。五、計算題要求：計算下列各題中的結果。9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，求異面直線EF與BC所成的角的大小。10.已知正四面體ABCD中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，求異面直線AE與BF所成的角的大小。六、綜合題要求：解答下列綜合題。11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，求證：正方體ABCD-A1B1C1D1的體積是正四面體ABCD的體積的4倍。12.已知正四面體ABCD中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，求證：正四面體ABCD的表面積是正方體ABCD-A1B1C1D1的表面積的一半。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：在正方體中，棱BB1與棱DD1是平行的，因此異面直線EF與CC1所成的角等于棱BB1與棱DD1所成的角，即60°。2.C解析：四邊形ABCD是正方形，且AB=AC=AD=BC=CD=DA=2，所以ABCD的面積是邊長的平方，即2^2=4。由于AB⊥CD，四邊形ABCD的面積等于對角線AC和BD的乘積的一半，即(AC×BD)/2。由于AC=BD=2√2（對角線長度），所以面積是(2√2×2√2)/2=4。二、填空題3.45°解析：在正四面體中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，因此AE=BE=CF=DF。由于正四面體的所有面都是等邊三角形，所以AE與BF所成的角等于∠A1AE，即45°。4.60°解析：在正方體中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，因此AE=BE=CF=DF。由于正方體的所有面都是正方形，所以AE與BF所成的角等于∠A1AE，即60°。三、解答題5.（1）證明：連接A1E和A1F，由于E、F分別是棱AB、A1D1的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以A1E和A1F是棱A1B1和A1D1的中點，因此A1E=BE=A1F。由于A1E和A1F是等長的，且都垂直于AE，所以四邊形A1EFAE是矩形，從而∠A1AE=∠A1EF。又因為EF是AB和A1D1的中點連線，所以∠A1EF=∠AEF。因此，異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。（2）證明：與（1）類似，連接A1E和A1F，由于E、F分別是棱AB、A1D1的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以A1E和A1F是棱A1B1和A1D1的中點，因此A1E=BE=A1F。由于A1E和A1F是等長的，且都垂直于AE，所以四邊形A1EFAE是矩形，從而∠A1AE=∠A1EF。又因為EF是AB和A1D1的中點連線，所以∠A1EF=∠AEF。因此，異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。6.（1）證明：連接A1E和A1F，由于E、F分別是棱AB、CD的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD是正四面體，所以A1E和A1F是棱A1B和A1C的中點，因此A1E=BE=A1F。由于A1E和A1F是等長的，且都垂直于AE，所以四邊形A1EFAE是矩形，從而∠A1AE=∠A1EF。又因為EF是AB和CD的中點連線，所以∠A1EF=∠AEF。因此，異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。（2）證明：與（1）類似，連接A1E和A1F，由于E、F分別是棱AB、CD的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD是正四面體，所以A1E和A1F是棱A1B和A1C的中點，因此A1E=BE=A1F。由于A1E和A1F是等長的，且都垂直于AE，所以四邊形A1EFAE是矩形，從而∠A1AE=∠A1EF。又因為EF是AB和CD的中點連線，所以∠A1EF=∠AEF。因此，異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE。四、證明題7.證明：連接EG和FH，由于G、H分別是棱B1C1、C1D1的中點，所以EG=GH=HF=FE。由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以EG和FH是棱A1B1和A1D1的中點，因此EG=GH=HF=FE。由于EG和FH是等長的，且都垂直于EF，所以四邊形EFGH是矩形，從而EG∥FH。又因為E、F分別是棱AB、A1D1的中點，所以EF∥GH。因此，四邊形EFGH是平行四邊形。8.證明：由于ABCD是正四面體，所以AB=AC=AD=BC=CD=DA。又因為E、F分別是棱AB、CD的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD是正四面體，所以三角形ABE和三角形CDF是等腰三角形，且底邊BE=CF。又因為AE=DF，所以三角形ABE和三角形CDF全等。五、計算題9.解：在正方體中，點E、F分別是棱AB、A1D1的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以A1E和A1F是棱A1B1和A1D1的中點，因此A1E=BE=A1F。由于A1E和A1F是等長的，且都垂直于AE，所以四邊形A1EFAE是矩形，從而∠A1AE=∠A1EF。又因為EF是AB和A1D1的中點連線，所以∠A1EF=∠AEF。因此，異面直線EF與BC所成的角等于∠A1AE，即60°。10.解：在正四面體中，點E、F分別是棱AB、CD的中點，所以AE=BE=CF=DF。由于ABCD是正四面體，所以A1E和A1F是棱A1B和A1C的中點，因此A1E=BE=A1F。由于A1E和A1F是等長的，且都垂直于AE，所以四邊形A1EFAE是矩形，從而∠A1AE=∠A1EF。又因為EF是AB和CD的中點連線，所以∠A1EF=∠AEF。因此，異面直線AE與BF所成的角等于∠A1AE，即45°。六、綜合題11.解：正方體ABCD-A1B1C1D1的體積是邊長的立方，即2^3=8。正四面體ABCD的體積是邊長的立方除以6，即(2^3)/6=4/3。因此，正方體ABCD-A1B1C1D1的體積是正四面體ABCD的體積的8/(4/3)=6倍。12.