福建省龍巖一中12-13學年高二上學期第一學段（模塊）考試（數學理）一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，則$f(x)$的單調遞增區間是（）A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$2.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數列$\{a_n\}$的通項公式是（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\frac{n}{\sqrt{n}}$C.$a_n=\sqrt{n^2+n}$D.$a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$二、填空題要求：把答案填在題中的橫線上。3.函數$f(x)=x^3-3x+2$的圖像與x軸的交點坐標是________。4.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1=3$，公差為$d=2$，則$a_9$的值為________。三、解答題要求：寫出解答過程。5.（本小題共12分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$。（1）求函數$f(x)$的極值點；（2）求函數$f(x)$的零點；（3）求函數$f(x)$的圖像與x軸所圍成的面積。6.（本小題共12分）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$。（1）求證：數列$\{a_n\}$是遞增數列；（2）求證：數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\sqrt{n^2+n}$；（3）求證：數列$\{a_n\}$的極限存在，并求出極限值。四、解答題要求：寫出解答過程。7.（本小題共12分）已知函數$f(x)=\lnx$，其中$x>0$。（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求函數$f(x)$在區間$(0,+\infty)$上的最大值和最小值。五、解答題要求：寫出解答過程。8.（本小題共12分）已知等差數列$\{a_n\}$和等比數列$\{b_n\}$，其中$a_1=2$，$d=3$，$b_1=4$，公比$q=2$。（1）求等差數列$\{a_n\}$的通項公式；（2）求等比數列$\{b_n\}$的通項公式；（3）求兩個數列的前$n$項和$S_n$的通項公式。六、解答題要求：寫出解答過程。9.（本小題共12分）在平面直角坐標系中，已知直線$l_1$的方程為$y=2x+1$，直線$l_2$的方程為$y=-\frac{1}{2}x+b$。（1）求直線$l_1$和$l_2$的交點坐標；（2）若直線$l_1$和$l_2$垂直，求常數$b$的值；（3）若直線$l_1$和$l_2$平行，求常數$b$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$的導數為$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{-x-1}{x^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=-1$。當$x>0$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x<0$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，$f(x)$的單調遞增區間是$(1,+\infty)$。2.C解析：由遞推公式$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，兩邊同時乘以$a_n$得$a_n^2+a_n=na_n$，整理得$a_n^2-(n-1)a_n=0$，即$a_n(a_n-(n-1))=0$。因為$a_1=1$，所以$a_n\neq0$，從而得到$a_n=n-1$。代入遞推公式驗證，得$a_{n+1}=(n-1)+1=n$，符合題意。因此，數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\sqrt{n^2+n}$。二、填空題3.$(1,0)$，$(-1,0)$解析：函數$f(x)=x^3-3x+2$的導數為$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。將$x=\pm1$代入原函數，得$f(1)=0$，$f(-1)=0$。因此，函數的圖像與x軸的交點坐標是$(1,0)$和$(-1,0)$。4.11解析：等差數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。代入$a_1=3$，$d=2$，得$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。當$n=9$時，$a_9=2\times9+1=19$。三、解答題5.（1）求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$。令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。當$x<\frac{2}{3}$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，$x_1=1$是極大值點，$x_2=\frac{2}{3}$是極小值點。（2）令$f(x)=0$，解得$x=1$，$x=\frac{2}{3}$，$x=\frac{1}{3}$。因此，函數的零點是$1$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$。（3）由（2）知，函數的零點是$1$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$。函數的圖像與x軸所圍成的面積等于$f(1)-f(\frac{2}{3})-f(\frac{1}{3})=0-\frac{4}{27}-\frac{1}{9}=\frac{5}{27}$。6.（1）由遞推公式$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，兩邊同時乘以$a_n$得$a_n^2+a_n=na_n$，整理得$a_n^2-(n-1)a_n=0$，即$a_n(a_n-(n-1))=0$。因為$a_1=1$，所以$a_n\neq0$，從而得到$a_n=n-1$。代入遞推公式驗證，得$a_{n+1}=(n-1)+1=n$，符合題意。因此，數列$\{a_n\}$是遞增數列。（2）由（1）知，數列$\{a_n\}$是遞增數列，且$a_1=1$。因此，數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\sqrt{n^2+n}$。（3）由（2）知，數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\sqrt{n^2+n}$。當$n\rightarrow+\infty$時，$a_n\rightarrow+\infty$。因此，數列$\{a_n\}$的極限存在，且極限值為$+\infty$。四、解答題7.（1）求導得$f'(x)=\frac{1}{x}$。（2）由（1）知，$f'(x)>0$，函數$f(x)$在區間$(0,+\infty)$上單調遞增。因此，函數$f(x)$在區間$(0,+\infty)$上的最大值和最小值分別為$f(1)=\ln1=0$和$f(x)$在$(0,+\infty)$上的最小值不存在。五、解答題8.（1）等差數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2+(n-1)\times3=3n-1$。（2）等比數列$\{b_n\}$的通項公式為$b_n=4\times2^{n-1}=2^n$。（3）等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=\frac{n(2+a_n)}{2}=\frac{n(2+3n-1)}{2}=\frac{3n^2+n}{2}$；等比數列$\{b_n\}$的前$n$項和$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{4(1-2^n)}{1-2}=2^{n+2}-4$。六、解答題9.（1）聯立直線$l_1$和$l_2$的方程，得$\begin{cases}y=2x+1\\y=-\frac{1}{2}x+b\end{cases}$，解得$x=\frac{b-1}{5}$，$y=\frac{2b+1}{5}$。因此，直線$l