2025年日本數學奧林匹克（JMO）代數方程與幾何變換實戰模擬試題及解析一、代數方程組求解要求：根據所給方程組，求出未知數的值。（1）解方程組：\[\begin{cases}3x+2y=12\\2x-3y=6\end{cases}\]（2）解方程組：\[\begin{cases}x^2+y^2=25\\2x-y=3\end{cases}\]（3）解方程組：\[\begin{cases}x^3+y^3=27\\x^2-xy+y^2=9\end{cases}\]二、不等式求解要求：根據所給不等式，求出未知數的取值范圍。（1）解不等式：\[x^2-5x+6>0\]（2）解不等式：\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq2\]（3）解不等式：\[\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}<0\]三、函數性質探究要求：根據所給函數，分析函數的性質。（1）設函數\(f(x)=x^3-3x+2\)，求函數\(f(x)\)的最小值。（2）設函數\(g(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\)，求函數\(g(x)\)的值域。（3）設函數\(h(x)=\frac{x}{x^2+1}\)，求函數\(h(x)\)的單調性。四、多項式因式分解要求：將下列多項式進行因式分解。（1）因式分解\(x^4-16\)。（2）因式分解\(x^3-6x^2+9x-18\)。（3）因式分解\(x^4+2x^3-3x^2-6x+4\)。五、復數運算要求：進行下列復數的運算。（1）計算\((3+4i)^2\)。（2）計算\(\frac{1+2i}{3-4i}\)。（3）計算\((1-i)(2+3i)(4-i)\)。六、解析幾何要求：解決下列解析幾何問題。（1）在直角坐標系中，已知點\(A(2,3)\)和點\(B(-1,4)\)，求線段\(AB\)的中點坐標。（2）直線\(y=2x+1\)與圓\(x^2+y^2=9\)相交，求交點的坐標。（3）在平面直角坐標系中，已知三角形\(ABC\)的三個頂點\(A(1,2)\)，\(B(4,1)\)，\(C(3,4)\)，求三角形\(ABC\)的面積。本次試卷答案如下：一、代數方程組求解（1）解方程組：\[\begin{cases}3x+2y=12\\2x-3y=6\end{cases}\]解析思路：首先將第一個方程乘以3，第二個方程乘以2，得到新的方程組：\[\begin{cases}9x+6y=36\\4x-6y=12\end{cases}\]然后將兩個方程相加，消去y，得到：\[13x=48\]解得\(x=\frac{48}{13}\)。將\(x\)的值代入第一個方程，解得\(y=\frac{6}{13}\)。所以方程組的解為：\[\begin{cases}x=\frac{48}{13}\\y=\frac{6}{13}\end{cases}\]（2）解方程組：\[\begin{cases}x^2+y^2=25\\2x-y=3\end{cases}\]解析思路：將第二個方程變形為\(y=2x-3\)，代入第一個方程，得到：\[x^2+(2x-3)^2=25\]展開并化簡，得到：\[x^2+4x^2-12x+9=25\]合并同類項，得到：\[5x^2-12x-16=0\]這是一個二次方程，可以使用求根公式解得\(x\)的值，再代入\(y=2x-3\)得到\(y\)的值。（3）解方程組：\[\begin{cases}x^3+y^3=27\\x^2-xy+y^2=9\end{cases}\]解析思路：第一個方程提示我們使用立方和公式，即\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)。將第一個方程改寫為：\[(x+y)(x^2-xy+y^2)=27\]代入第二個方程，得到：\[(x+y)\cdot9=27\]解得\(x+y=3\)。現在我們有兩個方程：\[\begin{cases}x+y=3\\x^2-xy+y^2=9\end{cases}\]可以通過代數方法解得\(x\)和\(y\)的值。二、不等式求解（1）解不等式：\[x^2-5x+6>0\]解析思路：將不等式分解因式，得到：\[(x-2)(x-3)>0\]由此可知，當\(x<2\)或\(x>3\)時，不等式成立。（2）解不等式：\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq2\]解析思路：將不等式兩邊同時乘以\(xy\)（假設\(x,y>0\)），得到：\[y+x\geq2xy\]由算術平均數-幾何平均數不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，當\(a=b\)時取等號，因此\(x=y\)時取等號。所以解集為\(x,y>0\)且\(x=y\)。（3）解不等式：\[\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}<0\]解析思路：將不等式兩邊同時加上\(\sqrt{x-1}\)，得到：\[\sqrt{x+3}<\sqrt{x-1}\]兩邊平方，得到：\[x+3<x-1\]這是不可能的，因此我們需要考慮原不等式的定義域。由于\(\sqrt{x+3}\)和\(\sqrt{x-1}\)都要求被開方數為非負數，因此\(x\geq-3\)且\(x\geq1\)。解集為\(1\leqx<3\)。三、函數性質探究（1）設函數\(f(x)=x^3-3x+2\)，求函數\(f(x)\)的最小值。解析思路：求導數\(f'(x)=3x^2-3\)，令導數為0，得到\(x^2-1=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-1\)。檢查這兩個點處的函數值，發現\(f(1)=0\)和\(f(-1)=0\)，因此最小值為0。（2）設函數\(g(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\)，求函數\(g(x)\)的值域。解析思路：函數\(g(x)\)在\(x=1\)時無定義，因此需要排除這個點。函數可以重寫為\(g(x)=x+\frac{2}{x-1}\)。由于\(x\)可以取任意實數，除了1，因此值域為所有實數，除了2。（3）設函數\(h(x)=\frac{x}{x^2+1}\)，求函數\(h(x)\)的單調性。解析思路：求導數\(h'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)。當\(x<-1\)或\(x>1\)時，導數為負，函數單調遞減；當\(-1<x<1\)時，導數為正，函數單調遞增。四、多項式因式分解（1）因式分解\(x^4-16\)。解析思路：使用差平方公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，得到：\[(x^2)^2-4^2=(x^2+4)(x^2-4)\]再次使用差平方公式，得到：\[(x^2+4)(x+2)(x-2)\]（2）因式分解\(x^3-6x^2+9x-18\)。解析思路：尋找一個數\(a\)，使得\(a^3=18\)，并且\(a\)與\(x\)的系數相匹配。發現\(a=3\)滿足條件，因此：\[x^3-6x^2+9x-18=(x-3)^3\]（3）因式分解\(x^4+2x^3-3x^2-6x+4\)。解析思路：嘗試分組，找到兩個二次多項式，使得它們的和為原多項式。通過試錯，可以得到：\[x^4+2x^3-3x^2-6x+4=(x^2+2x-2)(x^2-2x-2)\]五、復數運算（1）計算\((3+4i)^2\)。解析思路：使用復數的乘法規則，得到：\[(3+4i)^2=9+24i+16i^2=9+24i-16=-7+24i\]（2）計算\(\frac{1+2i}{3-4i}\)。解析思路：乘以共軛復數，得到：\[\frac{1+2i}{3-4i}\cdot\frac{3+4i}{3+4i}=\frac{3+10i+8i^2}{9+16}=\frac{3+10i-8}{25}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\]（3）計算\((1-i)(2+3i)(4-i)\)。解析思路：依次進行復數的乘法，得到：\[(1-i)(2+3i)=2+3i-2i-3i^2=2+i+3=5+i\]然后將結果與第三個復數相乘：\[(5+i)(4-i)=20-5i+4i-i^2=20-i+4=24-i\]六、解析幾何（1）在直角坐標系中，已知點\(A(2,3)\)和點\(B(-1,4)\)，求線段\(AB\)的中點坐標。解析思路：中點坐標公式為\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)，代入\(A\)和\(B\)的坐標，得到：\[\left(\frac{2+(-1)}{2},\frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)\]（2）直線\(y=2x+1\)與圓\(x^2+y^2=9\)相交，求交點的坐標。解析思路：將直線方程代入圓的方程，得到：\[x^2+(2x+1)^2=9\]展開并化簡，得到：\[5x^2+4x-8=0\]使用求根公式解得\(x\)的值，再代入直線方程得到\(y\)的值。（3）在平面直角坐標系中，已知三角形\(ABC\)的三個頂點\(A(1,2)\)，\(B(4,1)\)，\(C(3,4)\)，求三角形\(ABC\)的面積。解析思路：使用行列式方法計算三角形的