IB課程HL數學AI2024-2025年期末試卷：數據分析與建模難題挑戰與應用一、數據分析與描述統計要求：運用描述統計方法對給定數據集進行分析，并解釋分析結果。1.已知某班級30名學生的數學成績如下（單位：分）：78，85，92，88，90，75，93，76，79，84，86，88，87，91，89，83，92，77，85，90，78，91，93，87，88，84，89，85，92，91，90，93。請完成以下要求：a.計算這組數據的平均數、中位數、眾數。b.描述數據的分布情況，并說明分布的偏態。c.計算標準差和方差，分析數據的離散程度。2.某城市某月每天的平均氣溫如下（單位：℃）：-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24。請完成以下要求：a.計算這組數據的平均數、中位數、眾數。b.描述數據的分布情況，并說明分布的偏態。c.計算標準差和方差，分析數據的離散程度。二、概率與統計推斷要求：運用概率與統計推斷方法對給定數據進行分析，并解釋分析結果。1.某公司生產的產品合格率為95%。現從該批產品中隨機抽取10件進行檢查，求以下概率：a.恰有2件不合格。b.至少有3件不合格。c.全部合格。2.某地區某月每天的平均降水量如下（單位：mm）：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100，105，110，115，120。假設該地區該月平均降水量為100mm，求以下概率：a.某天降水量超過120mm。b.某天降水量在80mm至100mm之間。c.某天降水量在50mm至70mm之間。四、線性回歸與相關分析要求：運用線性回歸分析給定數據集，并計算相關系數。1.某地某月降雨量（單位：mm）與該月降水量（單位：mm）的觀測數據如下：[20,35,50,65,80,95,110,125,140,155]。請完成以下要求：a.建立降雨量與降水量之間的線性回歸模型。b.計算回歸方程的斜率和截距。c.計算相關系數，并分析兩個變量之間的關系。2.某產品生產過程中的產量（單位：件）與所需原材料消耗量（單位：kg）的觀測數據如下：[10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]。請完成以下要求：a.建立產量與原材料消耗量之間的線性回歸模型。b.計算回歸方程的斜率和截距。c.計算相關系數，并分析兩個變量之間的關系。五、假設檢驗與置信區間要求：運用假設檢驗方法對給定數據進行分析，并計算置信區間。1.某公司聲稱其產品的使用壽命中位數為1200小時。為了驗證這一說法，隨機抽取了15件產品，測得其使用壽命如下（單位：小時）：1100，1200，1300，1400，1150，1250，1350，1450，1150，1250，1350，1450，1150，1250，1350。假設使用壽命服從正態分布，標準差為100小時。請完成以下要求：a.構建假設檢驗的零假設和備擇假設。b.計算樣本中位數，并判斷是否拒絕零假設。c.計算使用壽命的95%置信區間。2.某地區某月平均氣溫為12℃。為了驗證這一說法，隨機抽取了10天，測得其氣溫如下（單位：℃）：11，13，12，14，11，13，12，15，11，14。假設氣溫服從正態分布，標準差為2℃。請完成以下要求：a.構建假設檢驗的零假設和備擇假設。b.計算樣本均值，并判斷是否拒絕零假設。c.計算氣溫的95%置信區間。六、時間序列分析與預測要求：運用時間序列分析方法對給定數據進行分析，并預測未來值。1.某公司近五年的銷售額如下（單位：萬元）：1000，1200，1500，1800，2000。請完成以下要求：a.對銷售額數據進行趨勢分析和季節性分析。b.建立時間序列模型，并預測下一年度的銷售額。c.分析預測結果的可靠性。2.某地區近三年的平均降水量如下（單位：mm）：400，450，460，500，530，560，580，600，620，640。請完成以下要求：a.對降水量數據進行趨勢分析和季節性分析。b.建立時間序列模型，并預測下一年度的平均降水量。c.分析預測結果的可靠性。本次試卷答案如下：一、數據分析與描述統計1.a.平均數：(78+85+92+88+90+75+93+76+79+84+86+88+87+91+89+83+92+77+85+90+78+91+93+87+88+84+89+85+92+91+90+93)/30=86.5中位數：將數據從小到大排序后，位于中間的數值，即第15和第16個數的平均值：(87+88)/2=87.5眾數：出現次數最多的數值，即88和91，因為它們都出現了3次。b.數據分布情況：數據集中在85到93之間，呈正偏態分布，即數據向右偏斜。c.標準差：使用計算器或統計軟件得到標準差約為6.71方差：標準差的平方，約為45.622.a.平均數：(5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70+75+80+85+90+95+100+105+110+115+120)/24=55中位數：將數據從小到大排序后，位于中間的數值，即第12和第13個數的平均值：(60+65)/2=62.5眾數：出現次數最多的數值，即沒有重復的數值，所以沒有眾數。b.數據分布情況：數據集中在50到70之間，呈正偏態分布，即數據向右偏斜。c.標準差：使用計算器或統計軟件得到標準差約為14.96方差：標準差的平方，約為222.85二、概率與統計推斷1.a.恰有2件不合格的概率：使用二項分布公式計算，P(X=2)=(10choose2)*(0.95)^2*(0.05)^8≈0.1615b.至少有3件不合格的概率：1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))≈0.6125c.全部合格的概率：P(X=10)=(10choose10)*(0.95)^10*(0.05)^0≈0.05632.a.某天降水量超過120mm的概率：P(X>120)=1-P(X≤120)=1-(P(X=5)+P(X=10)+...+P(X=120))≈0.0186b.某天降水量在80mm至100mm之間的概率：P(80≤X≤100)=P(X=80)+P(X=85)+...+P(X=100)≈0.4102c.某天降水量在50mm至70mm之間的概率：P(50≤X≤70)=P(X=50)+P(X=55)+...+P(X=70)≈0.3689三、線性回歸與相關分析1.a.線性回歸模型：y=1.5x+5b.斜率：1.5，截距：5c.相關系數：使用計算器或統計軟件得到相關系數約為0.9962.a.線性回歸模型：y=3.75x+25b.斜率：3.75，截距：25c.相關系數：使用計算器或統計軟件得到相關系數約為0.998四、假設檢驗與置信區間1.a.零假設H0：使用壽命中位數為1200小時，備擇假設H1：使用壽命中位數不為1200小時。b.樣本中位數：1200，由于樣本中位數等于聲稱的中位數，且沒有提供p值或z值，無法直接判斷是否拒絕零假設。c.置信區間：使用t分布計算，假設標準差為100，自由度為14，置信水平為95%，得到置信區間為[1090.6,1309.4]。2.a.零假設H0：氣溫平均值為12℃，備擇假設H1：氣溫平均值不為12℃。b.樣本均值：12，由于樣本均值等于聲稱的平均值，且沒有提供p值或z值，無法直接判斷是否拒絕零假設。c.置信區間：使用t分布計算，假設標準差為2，自由度為9，置信水平為95%，得到置