大學概率論與數理統計2025年秋季學期期中考試試題卷（含答案詳解）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.設隨機變量X服從標準正態分布，則P{X≥0}=_________。A.0.5B.0.3C.0.7D.0.22.設隨機變量X～N（μ，σ2），且μ=0，σ=1，則P{|X|≤1}=_________。A.0.6826B.0.9544C.0.9973D.0.99873.設隨機變量X～B（n，p），則E（X）=_________。A.npB.np(1-p)C.np2D.np(1-p)24.設隨機變量X～P（λ），則E（X）=_________。A.1/λB.λC.1/λ2D.λ25.設隨機變量X～U（a，b），則E（X）=_________。A.(a+b)/2B.(a-b)/2C.b/2D.a/26.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），則E（X+Y）=_________。A.μ?+μ?B.μ?-μ?C.μ?/2+μ?/2D.μ?/2-μ?/27.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～E（λ），Y～E（λ），則E（XY）=_________。A.1/λB.λC.1/λ2D.λ28.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～U（a，b），Y～U（a，b），則E（X+Y）=_________。A.(a+b)/2B.(a-b)/2C.b/2D.a/29.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），則D（X+Y）=_________。A.σ?2+σ?2B.σ?2-σ?2C.σ?2/2+σ?2/2D.σ?2/2-σ?2/210.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～E（λ），Y～E（λ），則D（X+Y）=_________。A.1/λB.λC.1/λ2D.λ2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設隨機變量X～N（μ，σ2），則P{X≤μ}=_________。2.設隨機變量X～B（n，p），則P{X=k}=_________。3.設隨機變量X～P（λ），則P{X=k}=_________。4.設隨機變量X～U（a，b），則P{a≤X≤b}=_________。5.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），則P{|X-Y|≤k}=_________。三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.設隨機變量X～N（μ，σ2），求P{μ-σ≤X≤μ+σ}。2.設隨機變量X～B（n，p），求E（X2）。3.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～E（λ），Y～E（λ），求E（XY）。4.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～U（a，b），Y～U（a，b），求D（X+Y）。5.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N（μ?，σ?2），Y～N（μ?，σ?2），求P{|X-Y|≤k}。四、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1.設隨機變量X～N（0，1），求P{X2≤2}。2.設隨機變量X～B（10，0.4），求P{X≤3}。3.設隨機變量X～P（λ），其中λ=3，求P{X=3}。五、應用題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）1.某批產品的合格率為0.95，現從該批產品中隨機抽取10個進行檢查，求：（1）恰好有8個合格產品的概率；（2）至多有7個合格產品的概率。2.某次考試的成績服從正態分布，平均分為70分，標準差為10分，求：（1）成績在60分到80分之間的概率；（2）成績低于50分或高于90分的概率。六、證明題（本大題共1小題，共10分）證明：若隨機變量X與Y相互獨立，且X與Y均服從同一分布，則E（XY）=E（X）E（Y）。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：標準正態分布是對稱的，因此P{X≥0}等于P{X≤0}，即0.5。2.A解析：標準正態分布N(0,1)的累積分布函數Φ(z)在z=1時的值為0.8413，因此P{|X|≤1}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2*0.8413-1=0.6826。3.A解析：二項分布的期望值E(X)=np。4.B解析：泊松分布的期望值E(X)=λ。5.A解析：均勻分布的期望值E(X)=(a+b)/2。6.A解析：獨立隨機變量的期望值之和等于各自期望值之和。7.B解析：獨立隨機變量的期望值之積等于各自期望值之積。8.A解析：獨立隨機變量的期望值之和等于各自期望值之和。9.A解析：獨立隨機變量的方差之和等于各自方差之和。10.B解析：獨立隨機變量的方差之和等于各自方差之和。二、填空題1.0.5解析：標準正態分布的累積分布函數Φ(z)在z=0時的值為0.5。2.C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)解析：二項分布的概率質量函數。3.P(X=k)=λ^k*e^(-λ)/k!解析：泊松分布的概率質量函數。4.1解析：均勻分布的概率密度函數在區間[a,b]上的積分為1。5.Φ((μ?-μ?)/√(σ?2+σ?2))-Φ(-(μ?-μ?)/√(σ?2+σ?2))解析：正態分布的累積分布函數用于計算兩個獨立正態分布隨機變量差的概率。三、解答題1.解析：P{μ-σ≤X≤μ+σ}=Φ(σ)-Φ(-σ)=2Φ(σ)-1。2.解析：E(X2)=np(1-p)+np2。3.解析：E(XY)=E(X)E(Y)=λ2。4.解析：D(X+Y)=D(X)+D(Y)=λ+λ=2λ。5.解析：P{|X-Y|≤k}=Φ((μ?-μ?+k)/√(σ?2+σ?2))-Φ(-(μ?-μ?+k)/√(σ?2+σ?2))。四、計算題1.解析：P{X2≤2}=Φ(√2)-Φ(-√2)=2Φ(√2)-1。2.解析：P{X≤3}=C(10,0)*0.4^0*0.6^10+C(10,1)*0.4^1*0.6^9+C(10,2)*0.4^2*0.6^8。3.解析：P{X=3}=3^3*e^(-3)/3!。五、應用題1.解析：（1）P{X=8}=C(10,8)*0.95^8*0.05^2。（2）P{X≤7}=P{X=0}+P{X=1}+...+P{X=7}。2.解析：（1）P{60≤X≤80}=Φ((80-70)/10)-Φ((60-70)/10)。