2025年高考數學熱點題型追蹤與重難點專題突破（新高考專用）熱點專題3-3利用導數研究函數的單調性【8類題型】含解析答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，則函數$f(x)$的單調增區間是：A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,1)$D.$(1,+\infty)$2.設函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，若函數$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增，則下列條件中不正確的是：A.$a>0$B.$b\geq0$C.$c\geq0$D.$d\geq0$3.設函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則函數$f(x)$的單調減區間是：A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,-1)$D.$(-1,1)$4.設函數$f(x)=x^3-3x+1$，則函數$f(x)$的極值點個數是：A.0B.1C.2D.35.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，則函數$f(x)$的導數$f'(x)$的零點個數是：A.0B.1C.2D.36.設函數$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，則函數$f(x)$的單調性是：A.單調遞增B.單調遞減C.在$(-\infty,-1)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減，在$(1,+\infty)$上單調遞增D.在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減7.已知函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，若函數$f(x)$在$x=-1$處取得極大值，則下列條件中正確的是：A.$a>0$，$b<0$，$c<0$，$d>0$B.$a<0$，$b>0$，$c>0$，$d<0$C.$a>0$，$b>0$，$c<0$，$d<0$D.$a<0$，$b<0$，$c>0$，$d>0$8.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則函數$f(x)$的單調減區間是：A.$(-\infty,1)$B.$(1,2)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,2)$9.已知函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，若函數$f(x)$在$x=1$處取得極小值，則下列條件中不正確的是：A.$a>0$，$b<0$，$c>0$，$d<0$B.$a<0$，$b>0$，$c<0$，$d>0$C.$a>0$，$b>0$，$c<0$，$d<0$D.$a<0$，$b<0$，$c>0$，$d>0$10.設函數$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，則函數$f(x)$的單調性是：A.單調遞增B.單調遞減C.在$(-\infty,-1)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減，在$(1,+\infty)$上單調遞增D.在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$的單調增區間是______。2.函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，若函數$f(x)$在$x=-1$處取得極大值，則$f'(-1)=______$。3.函數$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的單調遞減區間是______。4.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的單調遞減區間是______。5.函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，若函數$f(x)$在$x=1$處取得極小值，則$f'(1)=______$。三、解答題（本大題共2小題，共30分）1.（15分）已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，求：（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求函數$f(x)$的單調增區間和單調減區間；（3）求函數$f(x)$的極值。2.（15分）已知函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，若函數$f(x)$在$x=-1$處取得極大值，求$a$，$b$，$c$，$d$的取值范圍。四、證明題（本大題共1小題，共10分）證明：若函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（其中$a\neq0$）在$x=p$處取得極值，則$f'(p)=0$。五、解答題（本大題共1小題，共15分）已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求函數$f(x)$的單調增區間和單調減區間；（3）求函數$f(x)$的極值點及對應的極值；（4）分析函數$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上的行為，包括單調性和極值。六、綜合題（本大題共1小題，共15分）已知函數$f(x)=x^3-4x^2+7x-3$，求：（1）求函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求函數$f(x)$的單調增區間和單調減區間；（3）求函數$f(x)$的極值點及對應的極值；（4）若存在實數$k$，使得函數$g(x)=f(x)-kx$在$x=1$處取得極值，求實數$k$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D。函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$的導數為$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)>0$得$x>1$或$x<0$，故單調增區間為$(1,+\infty)$和$(-\infty,0)$。2.D。若$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增，則$f'(x)\geq0$對所有$x$成立，而$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，當$a>0$時，$3ax^2+2bx+c\geq0$對所有$x$成立，故$d$不一定大于等于0。3.B。函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的導數為$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，令$f'(x)<0$得$x>0$或$x<0$，故單調減區間為$(0,+\infty)$和$(-\infty,0)$。4.C。函數$f(x)=x^3-3x+1$的導數為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=-1$或$x=1$，故極值點個數為2。5.C。函數$f(x)=x^3-3x+1$的導數為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=-1$或$x=1$，故導數的零點個數為2。6.C。函數$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的導數為$f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^2}$，令$f'(x)<0$得$x>1$或$x<-1$，故單調性為在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減。7.A。函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=-1$處取得極大值，則$f'(-1)=0$，由$f'(x)=3ax^2+2bx+c$得$f'(-1)=-3a+2b+c=0$。8.B。函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)<0$得$x\in(1,2)$，故單調減區間為$(1,2)$。9.D。函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$處取得極小值，則$f'(1)=0$，由$f'(x)=3ax^2+2bx+c$得$f'(1)=3a+2b+c=0$。10.D。函數$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的導數為$f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^2}$，令$f'(x)<0$得$x>1$或$x<-1$，故單調性為在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減。二、填空題1.單調增區間為$(1,+\infty)$和$(-\infty,0)$。2.$f'(-1)=-3a+2b+c=0$。3.單調遞減區間為$(0,+\infty)$和$(-\infty,0)$。4.單調遞減區間為$(1,2)$。5.$f'(1)=3a+2b+c=0$。三、解答題1.（1）$f'(x)=6x^2-6x+4$；（2）令$f'(x)>0$得$x>1$或$x<0$，故單調增區間為$(1,+\infty)$和$(-\infty,0)$；令$f'(x)<0$得$0<x<1$，故單調減區間為$(0,1)$；（3）$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$f(1)=2$，故$f(x)$的極小值為$f(1)=2$。2.（1）$f'(x)=3ax^2+2bx+c$；（2）令$f'(x)>0$得$x>-1$或$x<1$，故單調增區間為$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$；令$f'(x)<0$得$-1<x<1$，故單調減區間為$(-1,1)$；（3）$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，令$f'(x)=0$得$x=-1$或$x=1$，故$f(x)$的極值點為$x=-1$和$x=1$，極值分別為$f(-1)=a-b+c+d$和$f(1)=a+b+c+d$；（4）由（3）可知，函數$f(x)$在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上單調遞增，在$(-1,1)$上單調遞減，極小值為$f(-1)=a-b+c+d$，極大值為$f(1)=a+b+c+d$。四、證明題證明：若函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（其中$a\neq0$）在$x=p$處取得極值，則$f'(p)=0$。證明思路：由導數的定義，若$f(x)$在$x=p$處取得極值，則$f'(p)$存在，且$f'(p)=\lim_{x\top}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$。又因為$f(x)$在$x=p$處取得極值，故當$x$趨近于$p$時，$f(x)-f(p)$趨近于0，因此$\lim_{x\top}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$，即$f'(p)=0$。五、解答題（1）$f'(x)=3x^2-12x+9$；（2）令$f'(x)>0$得$x>2$或$x<1$，故單調增區間為$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$；令$f'(x)<0$得$1<x<2$，故單調減區間為$(1,2)$；（3）$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，故$f(x)$的極值點為$x=1$和$x=2$，極值分別為$f(1)=-2$和$f(2)=-1$；（4）由（3）可知，函數$f(x)$在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上單調遞增，在$(1,2)$上單調遞減，極小值為$f(1)=-2$，極大值為$f(2)=-1$。六、綜合題（1）$f'(x)=3x^2-8x+7$；（2）令$f'(x)>0$得$x>\frac{8}{3}$或$x<1$，故單調增區間為$(-\infty,1)$和$(\frac{8}{3},+\infty)$；令$f'(x)<0$得$1<x<\frac{8}{3}$，故單調減區間為$(1,\frac{8}{3})$；（3）$f'(x)=3x^2-8x+7$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{7}{3}$，故$f(x)$的極值點