高中數學第三章三角恒等變換綜合與測試隨堂練習題一、選擇題（每小題5分，共25分）1.在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么a：b：c的值可能為（）。A.2：3：4B.4：6：8C.8：12：16D.2：3：52.若cos2θ=-1/2，則θ的取值范圍是（）。A.[0,π/3]B.[π/3,2π/3]C.[π/2,3π/2]D.[0,π]3.已知sinα=1/2，sinβ=3/5，且α＜β，那么cosα-cosβ的值為（）。A.7/10B.5/10C.-7/10D.-5/104.在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，則cosC的值為（）。A.√3/2B.1/2C.√2/2D.√3/25.已知sinx+cosx=√2/2，那么sinx·cosx的值為（）。A.1/2B.1/4C.-1/2D.-1/4二、填空題（每空5分，共25分）1.在銳角三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，則∠C的度數為______。2.若sinα=1/3，sinβ=2/3，則sin(α+β)的值為______。3.在三角形ABC中，若cosA=1/2，sinB=3/5，則cosC的值為______。4.已知sinx+cosx=√2/2，則sinx-cosx的最大值為______。5.若cosα=-√3/2，sinβ=1/2，則cos(α+β)的值為______。三、解答題（共50分）1.（20分）在三角形ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求∠A、∠B、∠C的正弦值。2.（30分）已知sinα=1/4，cosα=-√15/4，求sin(2α)的值。四、證明題（每小題10分，共20分）證明：在任意三角形ABC中，有sinA+sinB+sinC=4Rsin(∠A/2)sin(∠B/2)sin(∠C/2)，其中R為三角形的外接圓半徑。五、計算題（每小題10分，共20分）1.已知sinθ=3/5，cosθ<0，求sin(2θ)的值。2.在三角形ABC中，已知∠A=75°，∠B=45°，求sinC的值。六、應用題（每小題10分，共20分）1.一根電線桿AB高15米，在地面處測得電線桿頂端C的影長為20米，求地面處電線桿底部B到影子的末端D的距離。2.一條船從A地出發，向東航行30公里后到達B地，然后向北航行40公里到達C地。若從A地到C地的直線距離為50公里，求∠ABC的度數。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：根據正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=4：6：8。2.B解析：由cos2θ=1-2sin^2θ，得到sin^2θ=3/4，sinθ=±√3/2，因為cosθ<0，所以θ在第二象限，取值為[π/3,2π/3]。3.C解析：利用三角恒等變換sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)，得到cosα-cosβ=sin(α-β)=sin(α+β)=3/5*1/2-1/2*2/3=-7/10。4.A解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a=3，b=4，c=5，得到cosC=(9+16-25)/(2*3*4)=-√3/2。5.B解析：由sin^2x+cos^2x=1，得到sinx=√2/2*cosx，所以sinx·cosx=(√2/2*cosx)·cosx=√2/4*cos^2x，由cos^2x=1/2，得到sinx·cosx=1/4。二、填空題1.75°解析：由三角形內角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°。2.√(10/3)解析：由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，代入sinα=1/3，sinβ=2/3，得到sin(α+β)=(1/3)*(2/3)+(-√15/4)*(1/2)=√(10/3)。3.√(11/5)解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入cosA=1/2，a=3，b=4，得到cosC=(9+16-c^2)/24=1/2，解得c^2=11，所以cosC=√(11/5)。4.√2/2解析：由sinx+cosx=√2/2，得到sinx-cosx=√2/2*(sinx/cosx-1)，由sin^2x+cos^2x=1，得到sinx/cosx=√2/2，所以sinx-cosx=√2/2*(√2-1)=√2/2。5.-√7/10解析：由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，代入cosα=-√3/2，sinβ=1/2，得到cos(α+β)=(-√3/2)*(1/2)-(1/2)*(1/2)=-√7/10。三、解答題1.解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入a=3，b=4，c=5，得到cosA=(16+25-9)/(2*4*5)=1/2，所以∠A=60°。同理，可求得∠B=45°，∠C=75°。2.解：由sin2α=2sinαcosα，代入sinα=1/4，cosα=-√15/4，得到sin2α=2*(1/4)*(-√15/4)=-√15/8。四、證明題證明：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R為三角形的外接圓半徑。所以sinA=2R/a，sinB=2R/b，sinC=2R/c。代入sinA+sinB+sinC，得到2R/a+2R/b+2R/c=4Rsin(∠A/2)sin(∠B/2)sin(∠C/2)。五、計算題1.解：由sinθ=3/5，得到cosθ=±√(1-sin^2θ)=±√(1-9/25)=±4/5。因為cosθ<0，所以cosθ=-4/5。由sin2θ=2sinθcosθ，代入sinθ和cosθ，得到sin2θ=2*(3/5)*(-4/5)=-24/25。2.解：由正弦定理，sinC=c/sinB=5/sin45°=5/√2=5√2/2。六、應用題1.解：由勾股定理，BD^2=AD^2+AB^2，代入AB=15，AD=20，得到BD