福建省福州市八縣一中2019-2020學年高一上學期期末聯考試題（數學解析版）一、選擇題1.設集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，集合B={x|x=3k+2，k∈Z}，則A∩B=（）A.{x|x=3k+1，k∈Z}B.{x|x=6k+1，k∈Z}C.{x|x=3k，k∈Z}D.{x|x=2k，k∈Z}2.函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，且f（-1）=0，f（2）=0，f（0）=4，則下列選項正確的是（）A.a<0，b<0，c>0B.a<0，b>0，c>0C.a>0，b<0，c<0D.a>0，b>0，c<03.已知數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，a2=2，an+1=an+Sn（n≥2），則數列{an}的通項公式是（）A.an=nB.an=n-1C.an=n+1D.an=n+2二、填空題4.若log2x+log4x+log16x=3，則x=______。5.在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，則sinA=______。6.若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實根，則x1+x2=______。三、解答題7.（本小題共15分）已知函數f（x）=x3-3x+2，求：（1）f（x）的單調區間；（2）f（x）的極值。8.（本小題共15分）已知數列{an}是等差數列，且a1=3，a5=13，求：（1）數列{an}的通項公式；（2）數列{an}的前n項和。四、證明題要求：證明下列命題。（1）若a，b是方程x2-2ax+a2=0的兩個實根，則a+b=2a。（2）在直角坐標系中，若點A（m，n）到直線x+y-3=0的距離為1，則m+n的值。五、計算題要求：計算下列各題。（1）計算：$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$。（2）計算：$\int(2x^3-3x^2+4x-5)dx$。六、應用題要求：解答下列應用題。（1）某工廠生產一種產品，每件產品的固定成本為10元，變動成本為每件2元。若要使利潤達到最大，每天至少要生產多少件產品？（設總利潤為y元，生產x件產品）（2）一個長方形的長是寬的兩倍，若長方形的周長為20cm，求長方形的面積。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：集合A包含所有奇數，集合B包含所有形式為3k+2的數，所以它們的交集是所有形式為3k+1的數，即A∩B={x|x=3k+1，k∈Z}。2.B解析：因為f（x）=ax2+bx+c的圖象開口向下，所以a<0。由f（-1）=0和f（2）=0得到方程組：a(-1)^2+b(-1)+c=0a(2)^2+b(2)+c=0解得a=-1，b=1，c=2。所以f（x）=-x^2+x+2。因為f（0）=4，所以c>0。故選B。3.A解析：由an+1=an+Sn（n≥2）和a1=1，a2=2，得到S1=a1=1，S2=a1+a2=3。然后計算S3，S4，...，可以發現an=n。二、填空題4.2解析：將log2x+log4x+log16x轉換為同底數的對數，得到log2x+2log2x+4log2x=3，即7log2x=3，解得x=2^3=8。5.$\frac{3}{5}$解析：由勾股定理得到AC=√(AB^2+BC^2)=√(3^2+4^2)=5。所以sinA=BC/AC=4/5。6.-b/a解析：根據韋達定理，若x1，x2是方程ax^2+bx+c=0的兩個實根，則x1+x2=-b/a。三、解答題7.解答：（1）求導得f'（x）=3x^2-3。令f'（x）=0，解得x=±1。當x<-1或x>1時，f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調遞增；當-1<x<1時，f'（x）<0，所以f（x）在（-1，1）上單調遞減。（2）當x=-1時，f（x）取極大值，f（-1）=(-1)^3-3(-1)+2=4；當x=1時，f（x）取極小值，f（1）=1^3-3(1)+2=0。8.解答：（1）因為a1=3，a5=a1+4d=13，解得d=2，所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。（2）數列{an}的前n項和為S_n=n/2(a1+an)=n/2(3+(2n+1))=n^2+2n。四、證明題（1）證明：由a，b是方程x^2-2ax+a^2=0的兩個實根，得a+b=2a。解析：根據根與系數的關系，有a+b=2a。（2）證明：由點A（m，n）到直線x+y-3=0的距離為1，得|m+n-3|=1。解析：點到直線的距離公式為d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，其中Ax+By+C=0是直線的一般式方程。五、計算題（1）計算：$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$解析：分子分母同時乘以共軛表達式$\sqrt{2}-\sqrt{3}$，得到：$\frac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{3\cdot2-3\cdot\sqrt{6}-2\cdot2+2\cdot\sqrt{6}}{2-3}=\frac{6-4}{-1}=2$。（2）計算：$\int(2x^3-3x^2+4x-5)dx$解析：對每一項分別積分，得到：$\int2x^3dx-\int3x^2dx+\int4xdx-\int5dx=\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2-5x+C=\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2-5x+C$。六、應用題（1）解答：設每天生產x件產品，則總成本為10x+2x=12x，總收入為y=（10+2）x=12x，利潤y=總收入-總成本=12x-12x=0。要使利潤達到最大，需要生產x件產品