廣東省中山市08-09學(xué)年高一下學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)）一、選擇題要求：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=2x-3的圖象上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則|OA|+|AB|=______。A.x+3B.2x+3C.x-3D.2x-32.若向量a=(1，2)，向量b=(2，m)，且a⊥b，則m的值為______。A.-1B.1C.2D.-23.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a3+a5=21，則a2+a4+a6=______。A.21B.14C.7D.34.若復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為______。A.x2+y2-4x-2y=0B.x2+y2+4x+2y=0C.x2+y2-4x+2y=0D.x2+y2+4x-2y=05.若函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|在區(qū)間[-3，3]上的最大值為______。A.6B.5C.4D.36.若等比數(shù)列{an}的公比為q，且a1+a2+a3=6，a3+a4+a5=18，則q的值為______。A.2B.1/2C.3D.1/37.若函數(shù)f(x)=x2-4x+4在區(qū)間[0，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為______。A.4B.3C.2D.18.若向量a=(1，-1)，向量b=(-1，2)，則|a-b|的值為______。A.2B.√2C.1D.09.若復(fù)數(shù)z滿足|z+1|2+|z-1|2=4，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為______。A.x2+y2=1B.x2+y2=4C.x2+y2=2D.x2+y2=810.若函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x在區(qū)間[1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為______。A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：本題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題目的橫線上。11.若函數(shù)f(x)=x2-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為______。12.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為______。13.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a2+a3=9，a2+a3+a4=15，則a4=______。14.若函數(shù)f(x)=2x-1在區(qū)間[-1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為______。15.若等比數(shù)列{an}的公比為q，且a1+a2+a3=27，a3+a4+a5=81，則q=______。三、解答題要求：本題共3小題，共25分。解答下面各題。16.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+4x+1。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值；（3）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值。17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=1，a3+a4+a5=27。（1）求公比q的值；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an。18.（本小題滿分5分）已知向量a=(1，2)，向量b=(2，m)，且a⊥b。（1）求向量b的坐標(biāo)；（2）若向量a與向量b的模長(zhǎng)分別為2和3，求向量a與向量b的夾角余弦值。四、證明題要求：本題共1小題，滿分10分。證明以下命題。19.證明：若函數(shù)f(x)=x3-3x2+4x+1在區(qū)間[-1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為4，則f(x)在x=1處取得極小值。五、應(yīng)用題要求：本題共1小題，滿分10分。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。20.一輛汽車以60千米/小時(shí)的速度行駛，當(dāng)油箱中剩余油量為油箱容量的1/4時(shí)，司機(jī)開始減速。已知汽車的油耗率為每行駛1千米消耗0.1升油，求汽車減速到停止時(shí)油箱中剩余的油量。六、解答題要求：本題共1小題，滿分15分。解答以下問題。21.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=3，d=2。（1）求數(shù)列{an}的前10項(xiàng)；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式；（3）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b1=2，b2=4，求證：數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式互為倒數(shù)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.2x+3解析：|OA|+|AB|即為點(diǎn)A到原點(diǎn)O和點(diǎn)B的距離之和，由向量三角形不等式可得|OA|+|AB|≤|OB|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、O、B共線時(shí)取等號(hào)。由于點(diǎn)A在函數(shù)f(x)的圖象上，即2x-3=y，可得|OA|=√(x2+y2)=√(x2+(2x-3)2)，|AB|=√((x-2)2+(y+1)2)=√((x-2)2+(2x-4)2)。將y=2x-3代入，得|OA|=√(x2+(2x-3)2)，|AB|=√((x-2)2+(2x-4)2)，化簡(jiǎn)后得|OA|+|AB|=2x+3。2.A.-1解析：向量a⊥向量b，根據(jù)向量的數(shù)量積為0的性質(zhì)，有a·b=0。即(1)(2)+(2)(m)=0，解得m=-1。3.B.14解析：等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1+a3+a5=21得a1+(a1+2d)+(a1+4d)=21，化簡(jiǎn)得3a1+6d=21。同理，代入a2+a4+a6=15得(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)=15，化簡(jiǎn)得3a1+9d=15。解得d=1，代入3a1+6d=21得a1=5，所以a2+a4+a6=15=5+1+9=14。4.D.x2+y2+4x-2y=0解析：由|z-2i|=|z+1|，可得|z-2i|2=|z+1|2，即(x+1)2+y2=(x-2)2+y2，化簡(jiǎn)得x2+2x+1+y2=x2-4x+4+y2，解得x=1，代入x2+y2+4x-2y=0，得y=0，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2+4x-2y=0。5.A.6解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|在區(qū)間[-3，3]上的最大值發(fā)生在x=1時(shí)，此時(shí)f(1)=|1-1|+|1+2|=3。6.B.1/2解析：等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1+a2+a3=6得a1+a1q+a1q2=6，代入a3+a4+a5=18得a1q2+a1q3+a1q?=18。兩式相除得q+q2+q3=3。因?yàn)閝≠1，解得q=1/2。7.A.4解析：函數(shù)f(x)=x2-4x+4在區(qū)間[0，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形為半個(gè)圓，圓心在(2,0)，半徑為1，所以面積為半圓的面積，即π*r2/2=π*12/2=π/2≈4。8.C.1解析：向量a=(1，-1)，向量b=(-1，2)，|a-b|的值為|(-1-1,2+1)|=|(-2,3)|=√((-2)2+(3)2)=√(4+9)=√13，所以|a-b|的值為1。9.A.x2+y2=1解析：由|z+1|2+|z-1|2=4，可得(z+1)·(z+1)+z·(z-1)=4，化簡(jiǎn)得2z2+2=4，解得z2=1，所以x2+y2=1。10.C.4解析：函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x在區(qū)間[1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形可以通過計(jì)算定積分得到，即∫[1,2](x3-3x2+2x)dx=[x?/4-x3+x2]?2=(2?/4-23+22)-(1?/4-13+12)=4。二、填空題11.2解析：函數(shù)f(x)=x2-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值發(fā)生在x=1時(shí)，此時(shí)f(1)=12-2*1+1=0，所以最大值為2。12.x2+y2-2x+2y=0解析：由|z-1|=|z+i|，可得|z-1|2=|z+i|2，即(x-1)2+y2=(x+1)2+y2，化簡(jiǎn)得x2-2x+1+y2=x2+2x+1+y2，解得x=-1，代入x2+y2-2x+2y=0，得y=0，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-2x+2y=0。13.7解析：等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a2+a3=9，a2+a3+a4=15，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得3a1+3d=9，3a1+6d=15，解得d=2，代入3a1+6d=15得a1=3，所以a4=a1+3d=3+3*2=9。14.3解析：函數(shù)f(x)=2x-1在區(qū)間[-1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形可以通過計(jì)算定積分得到，即∫[-1,2](2x-1)dx=[x2-x]??=(22-2)-((-1)2-(-1))=3。15.1/2解析：等比數(shù)列{an}的公比為q，且a1+a2+a3=27，a3+a4+a5=81，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得a1+a1q+a1q2=27，a1q2+a1q3+a1q?=81。兩式相除得q+q2+q3=3。因?yàn)閝≠1，解得q=1/2。三、解答題16.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解析：f'(x)=6x2-6x+4，令f'(x)=0，得x=1/3或x=2/3。當(dāng)x<1/3或x>2/3時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1/3)和(2/3，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)1/3<x<2/3時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在(1/3，2/3)上單調(diào)遞減。（2）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值解析：由（1）知，f(x)在x=1/3處取得極大值，極大值為f(1/3)=2(1/3)3-3(1/3)2+4(1/3)+1=11/27；f(x)在x=2/3處取得極小值，極小值為f(2/3)=2(2/3)3-3(2/3)2+4(2/3)+1=11/27。（3）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值解析：由（1）知，f(x)在[-1，1/3)上單調(diào)遞增，在(1/3，2/3)上單調(diào)遞減，在(2/3，2]上單調(diào)遞增。所以f(x)在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f(-1)=2(-1)3-3(-1)2+4(-1)+1=0，最小值為f(2)=2(2)3-3(2)2+4(2)+1=5。17.（1）求公比q的值解析：由a1+a2+a3=1+q+q2=27，得q2+q-26=0，解得q=2或q=-13。（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn解析：當(dāng)q=2時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1*(q?-1)/(q-1)=1*(2?-1)/(2-1)=2?-1。（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an解析：當(dāng)q=2時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)=1*2^(n-1)=2^(n-1)。18.（1）求向量b的坐標(biāo)解析：由向量a⊥向量b，可得a·b=0，即(1)(2)+(2)(m)=0，解得m=-1，所以向量b的坐標(biāo)為(2，-1)。（2）若向量a與向量b的模長(zhǎng)分別為2和3，求向量a與向量b的夾角余弦值解析：由向量a與向量b的夾角余弦值公式cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)，得cosθ=(1)(2)+(2)(-1)/(2*3)=-1/3。所以向量a與向量b的夾角余弦值為-1/3。四、證明題19.證明：若函數(shù)f(x)=x3-3x2+4x+1在區(qū)間[-1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為4，則f(x)在x=1處取得極小值。解析：由題意得，f(x)=x3-3x2+4x+1在區(qū)間[-1，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為4，即∫[-1,2](x3-3x2+4x+1)dx=4。通過計(jì)算定積分得[(x?/4)-(3x3/3)+(2x2/2)+(x/1)]??=[(2?/4)-(3*23/3)+(2*22/2)+(2/1)]-[(-1?/4)-(3*(-1)3/3)+(2*(-1)2/2)+(-1/1)]=4。由此可知，f(x)在區(qū)間[-1，2]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，且根據(jù)介值定理，f(x)在(-1，2)上至少有一個(gè)極值點(diǎn)。由于f'(x)在(-1，1)上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增，且f'(1)=0，所以f(x)在x=1處取得極小值。