2025年歐洲女子數學奧林匹克模擬試卷（幾何證明與組合分析）——實戰演練一、幾何證明1.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。已知∠BAC=60°，證明：∠ADB=∠ADC。2.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=45°，證明：BD=CD。3.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=30°，證明：△ADB與△ADC相似。4.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=75°，證明：△ADB與△ADC不相似。5.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=90°，證明：BD=CD。二、組合分析1.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球。求有多少種不同的放法。2.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子最多放兩個球。求有多少種不同的放法。3.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放兩個球。求有多少種不同的放法。4.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放三個球。求有多少種不同的放法。5.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放一個球。求有多少種不同的放法。三、幾何證明1.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=50°，證明：△ADB與△ADC相似。2.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=55°，證明：△ADB與△ADC不相似。3.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=65°，證明：△ADB與△ADC相似。4.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=70°，證明：△ADB與△ADC不相似。5.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=80°，證明：△ADB與△ADC相似。四、組合分析1.有6個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球。求有多少種不同的放法。2.有6個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子最多放三個球。求有多少種不同的放法。3.有6個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放兩個球。求有多少種不同的放法。4.有6個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放四個球。求有多少種不同的放法。5.有6個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放一個球。求有多少種不同的放法。五、幾何證明1.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=40°，證明：△ADB與△ADC相似。2.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=45°，證明：△ADB與△ADC不相似。3.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=60°，證明：△ADB與△ADC相似。4.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=75°，證明：△ADB與△ADC不相似。5.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=85°，證明：△ADB與△ADC相似。六、組合分析1.有7個不同的球，放入5個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球。求有多少種不同的放法。2.有7個不同的球，放入5個不同的盒子中，每個盒子最多放四個球。求有多少種不同的放法。3.有7個不同的球，放入5個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放三個球。求有多少種不同的放法。4.有7個不同的球，放入5個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放五個球。求有多少種不同的放法。5.有7個不同的球，放入5個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放一個球。求有多少種不同的放法。四、幾何證明1.在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且對角線AC和BD相交于點E。證明：四邊形ABCD是一個菱形。2.在正方形ABCD中，點E和點F分別在邊AB和邊CD上，且BE=AF。證明：四邊形BEFC是一個矩形。3.在圓O中，弦AB和CD相交于點E，且AE=CE，BE=DE。證明：OA=OC。4.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=15。若BC=17，證明：△ABC是勾股數三角形。5.在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且對角線AC和BD相交于點E。證明：四邊形ABCD是一個矩形。五、組合分析1.有8個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球。求有多少種不同的放法。2.有8個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子最多放兩個球。求有多少種不同的放法。3.有8個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放三個球。求有多少種不同的放法。4.有8個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放四個球。求有多少種不同的放法。5.有8個不同的球，放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子最多放一個球。求有多少種不同的放法。六、幾何證明1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，使得AD垂直于BC。若∠BAC=70°，證明：△ADB與△ADC相似。2.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=12，BC=5。若∠ABC=30°，證明：△ABC是30°-60°-90°特殊直角三角形。3.在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且對角線AC和BD相交于點E。證明：對角線AC和BD互相平分。4.在圓O中，弦AB和CD相交于點E，且AE=CE，BE=DE。證明：∠AEB=∠CED。5.在正方形ABCD中，點E和點F分別在邊AB和邊CD上，且BE=AF。證明：四邊形BEFC的對角線互相平分。本次試卷答案如下：一、幾何證明1.解析思路：由于AB=AC，AD垂直于BC，根據直角三角形的性質，可以得到∠ADB=∠ADC=90°。再根據等腰三角形的性質，∠BAD=∠CAD，因此∠ADB=∠ADC。2.解析思路：由于AB=AC，AD垂直于BC，根據等腰三角形的性質，BD=CD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，因此∠BAD=∠CAD，從而得到△ADB與△ADC相似。3.解析思路：由于AB=AC，AD垂直于BC，根據等腰三角形的性質，∠BAD=∠CAD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，因此△ADB與△ADC是直角三角形，且∠BAD=∠CAD，所以△ADB與△ADC相似。4.解析思路：由于AB=AC，AD垂直于BC，根據等腰三角形的性質，∠BAD=∠CAD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，但是∠BAC=75°，不滿足兩個角相等，因此△ADB與△ADC不相似。5.解析思路：由于AB=AC，AD垂直于BC，根據等腰三角形的性質，BD=CD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，因此△ADB與△ADC是直角三角形，且BD=CD，所以△ADB與△ADC相似。二、組合分析1.解析思路：首先將5個球放入3個盒子，每個盒子至少一個球，可以先放入一個球，然后剩下的4個球有3個盒子可以放，所以有3種放法。接著，將剩下的4個球放入3個盒子，每個盒子最多放兩個球，可以用插板法，有C(4+2-1,2)種放法?？偣驳姆欧ㄊ?*C(5,2)。2.解析思路：與第一題類似，先放入一個球，然后剩下的4個球有3個盒子可以放，所以有3種放法。接著，將剩下的4個球放入3個盒子，每個盒子最多放兩個球，可以用插板法，有C(4+2-1,2)種放法。總共的放法是3*C(5,2)。3.解析思路：先放入一個球，然后剩下的4個球有3個盒子可以放，所以有3種放法。接著，將剩下的4個球放入3個盒子，每個盒子最多放兩個球，可以用插板法，有C(4+2-1,2)種放法。總共的放法是3*C(5,2)。4.解析思路：先放入一個球，然后剩下的4個球有3個盒子可以放，所以有3種放法。接著，將剩下的4個球放入3個盒子，每個盒子最多放三個球，可以用插板法，有C(4+3-1,3)種放法?？偣驳姆欧ㄊ?*C(6,3)。5.解析思路：先放入一個球，然后剩下的4個球有3個盒子可以放，所以有3種放法。接著，將剩下的4個球放入3個盒子，每個盒子最多放一個球，可以用插板法，有C(4+1-1,1)種放法。總共的放法是3*C(4,1)。三、幾何證明1.解析思路：與第一題類似，由于AB=AC，AD垂直于BC，可以得到∠ADB=∠ADC=90°。再根據等腰三角形的性質，∠BAD=∠CAD，因此∠ADB=∠ADC。2.解析思路：與第二題類似，由于AB=AC，AD垂直于BC，可以得到BD=CD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，因此∠BAD=∠CAD，從而得到△ADB與△ADC相似。3.解析思路：與第三題類似，由于AB=AC，AD垂直于BC，可以得到∠BAD=∠CAD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，因此△ADB與△ADC是直角三角形，且∠BAD=∠CAD，所以△ADB與△ADC相似。4.解析思路：與第四題類似，由于AB=AC，AD垂直于BC，可以得到∠BAD=∠CAD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，但是∠BAC=65°，不滿足兩個角相等，因此△ADB與△ADC不相似。5.解析思路：與第五題類似，由于AB=AC，AD垂直于BC，可以得到BD=CD。又因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，因此△ADB與△ADC是直角三角形，且BD=CD，所以△ADB與△ADC相似。四、組合分析1.解析思路：與第二題類似，先放入一個球，然后剩下的4個球有3個盒子可以放，所以有3種放法。接著，將剩下的4個球放入4個盒子，每個盒子最多放三個球，可以用插板法，有C(4+3-1,3)種放法?？偣驳姆欧ㄊ?*C(7,3)。2.解析思路：與第二題類似，先放入一個球，然后剩下的4個球有4個盒子可以放，所以有4種放法。接著，將剩下的4個球放入4個盒子，每個盒子最多放三個球，可以用插板法，有C(4+3-1,3)種放法?？偣驳姆欧ㄊ?*C(7,3)。3.解析思路：與第二題類似，先放入一個球，然后剩下的4個球有4個盒子可以放，所以有4種放法。接著，將剩下的4個球放入4個盒子，每個盒子最多放兩個球，可以用插板法，有C(4+2-1,2)種放法?？偣驳姆欧ㄊ?*C(7