高升專數學（理）2025年全真模擬試題（復數與二項式定理押題版）一、復數的運算要求：掌握復數的加、減、乘、除運算，以及復數的模和共軛復數的概念。1.已知復數z1=3+4i，z2=2-5i，求z1+z2，z1-z2，z1z2，z1/z2。2.已知復數z=1+√3i，求z的模和共軛復數。3.已知復數z1=2-3i，z2=4+5i，求z1z2的模。4.已知復數z=1-2i，求z的模和共軛復數。5.已知復數z1=3+2i，z2=1-3i，求z1z2的模。二、二項式定理的應用要求：掌握二項式定理的公式，并能熟練運用二項式定理進行計算。1.展開式(2x-3y)^4，并寫出展開式中的第5項。2.展開式(√3x+2y)^5，并寫出展開式中的第3項的系數。3.展開式(2x-√3y)^6，并寫出展開式中的第4項的系數。4.展開式(x^2-2xy+y^2)^3，并寫出展開式中的第2項。5.展開式(3x+4y)^4，并寫出展開式中的第5項的系數。三、綜合題要求：綜合運用復數和二項式定理的知識，解決實際問題。1.已知復數z1=1+√3i，z2=2-√3i，求z1z2的模。2.展開式(2x-3y)^5，并求出展開式中x^3y^2的系數。3.已知復數z=1-√2i，求z的模和共軛復數。4.展開式(√3x+2y)^4，并寫出展開式中的第3項的系數。5.展開式(x^2-2xy+y^2)^4，并寫出展開式中的第2項的系數。四、復數在幾何中的應用要求：理解復數與平面直角坐標系之間的關系，并能利用復數解決幾何問題。1.在復平面上，點A對應的復數為2+3i，點B對應的復數為-1+4i，求線段AB的長度。2.在復平面上，點C對應的復數為-3+4i，點D對應的復數為1-2i，求線段CD的中點對應的復數。3.在復平面上，點E對應的復數為4+5i，點F對應的復數為-2-3i，求線段EF的斜率。4.在復平面上，點G對應的復數為-1+2i，點H對應的復數為3-4i，求線段GH的中垂線對應的復數。5.在復平面上，點I對應的復數為1+i，點J對應的復數為-2+2i，求線段IJ的長度。五、二項式定理的實際應用要求：運用二項式定理解決實際問題，包括概率和組合問題。1.從5個不同的水果中選擇3個，求選出的水果組合數。2.在一個4位數中，千位上的數字可以是1、2、3、4，其他位上的數字可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，求這樣的4位數的個數。3.拋擲一枚公平的硬幣3次，求至少出現一次正面的概率。4.從一副52張的標準撲克牌中隨機抽取4張牌，求抽到至少一張紅桃的概率。5.從10個不同的商品中選擇3個進行捆綁銷售，求不同的捆綁方式的數量。六、復數與二項式定理的綜合應用要求：綜合運用復數和二項式定理的知識，解決較復雜的數學問題。1.已知復數z=1+√3i，求z^6的值。2.展開式(2x-y)^7，求展開式中x^4y^3的系數。3.在復平面上，點K對應的復數為-2+3i，點L對應的復數為1+2i，求線段KL的長度，并用復數表示。4.展開式(3x+2y)^5，求展開式中x^2y^3的系數。5.已知復數z1=2+√2i，z2=1-√2i，求z1z2的模和z1z2的共軛復數。本次試卷答案如下：一、復數的運算1.z1+z2=(3+4i)+(2-5i)=5-iz1-z2=(3+4i)-(2-5i)=1+9iz1z2=(3+4i)(2-5i)=6-15i+8i-20=-14-7iz1/z2=(3+4i)/(2-5i)=(3+4i)(2+5i)/(2-5i)(2+5i)=(6+15i+8i+20)/(4+25)=(26+23i)/29=(26/29)+(23/29)i2.|z|=√(1^2+(√3)^2)=√(1+3)=√4=2z的共軛復數=1-√3i3.|z1z2|=|(2-3i)(4+5i)|=|8-6i+20i-15|=|8+14i-15|=√(14^2+(-7)^2)=√(196+49)=√2454.|z|=√(1^2+(-2)^2)=√(1+4)=√5z的共軛復數=1+2i5.|z1z2|=|(3+2i)(1-3i)|=|3-9i+2i+6|=|9-7i|=√(7^2+(-9)^2)=√(49+81)=√130二、二項式定理的應用1.展開式(2x-3y)^4=16x^4-96x^3y+216x^2y^2-216xy^3+81y^4第5項為-216xy^32.展開式(√3x+2y)^5=(3x)^5+5(3x)^4(2y)+10(3x)^3(2y)^2+10(3x)^2(2y)^3+5(3x)(2y)^4+(2y)^5第3項的系數為10*3^4*2=5403.展開式(2x-√3y)^6=(2x)^6-6(2x)^5(√3y)+15(2x)^4(√3y)^2-20(2x)^3(√3y)^3+15(2x)^2(√3y)^4-6(2x)(√3y)^5+(√3y)^6第4項的系數為15*2^4*3=2404.展開式(x^2-2xy+y^2)^3=(x^2)^3-3(x^2)^2(2xy)+3(x^2)(2xy)^2-(2xy)^3第2項為-3*x^4*2y=-6x^4y5.展開式(3x+4y)^4=(3x)^4+4(3x)^3(4y)+6(3x)^2(4y)^2+4(3x)(4y)^3+(4y)^4第5項的系數為4*3^3*4=432三、綜合題1.|z1z2|=|(1+√3i)(2-√3i)|=|2-3+2√3i-3√3i|=|5-5√3i|=√(5^2+(-5√3)^2)=√(25+75)=√100=102.展開式(2x-3y)^5=32x^5-240x^4y+720x^3y^2-1080x^2y^3+810xy^4-243y^5x^3y^2的系數為7203.|z|=√(1^2+(-√2)^2)=√(1+2)=√3z的共軛復數=1+√2i4.展開式(√3x+2y)^4=9x^4+16√3x^3y+24x^2y^2+16√3xy^3+4y^4第3項的系數為16√35.展開式(x^2-2xy+y^2)^4=(x^2)^4-4(x^2)^3(2xy)+6(x^2)^2(2xy)^2-4(x^2)(2xy)^3+(2xy)^4第2項的系數為6*x^4*2y^2=12x^4y^2四、復數在幾何中的應用1.|AB|=√((2-(-1))^2+(3-4)^2)=√(3^2+(-1)^2)=√(9+1)=√102.CD的中點復數=((-3+4i)+(1-2i))/2=(-2+1i)/2=-1+0.5i3.斜率=(4-(-3))/(1-2)=7/(-1)=-74.GH的中垂線復數=((-1+2i)+(3-4i))/2=(2-2i)/2=1-i5.|IJ|=√((1-(-2))^2+(1-2)^2)=√(3^2+(-1)^2)=√(9+1)=√10五、二項式定理的實際應用1.組合數C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)=(5*4)/(2*1)=102.4位數的個數=4*10=403.至少一次正面的概率=1-(1/2)^3=1-1/8=7/84.至少一張紅桃的概率=1-(48/52)^4=1-0.859375=0.1406255.捆綁方式的數量=C(10,3)=10!/(3!*(10-3)!)=(10*9*8)/(3*2*1)=120六、復數與二項式定理的綜合應用1.z^6=(1+√3i)^6=(1+√3i)(1+√3i)(1+√3i)(1+√3i)(1+√3i)(1+√3i)=(1+3i+3i+3^2)(1+3i+3i+3^2)(1+3i+3i+3^2)=(1+6i+9)(1+6i+9)(1+6i+9)=(10+6i)(10+6i)(10+6i)=100+120i+36i^2+120i+72i^2+36i^3+120i+72i^2+36i^3+36i^4=100+360i-36-72i-108i-36-108i+36=64+360i-108i-108i-36=64-36+360i-216i=28+144i=28(1+5i)2.展開式(2x-y)^7=128x^7-448x^6y+1344x^5y^2-2688x^4y^3+2688x^3y^4-1344x^2y^5+448xy^6-64y^7x^4y^3的系數為-26883.KL的長度=√((-2+3i)-(1+2i))^2+((3-4i)-(-2+3i))^2)=√((-3-i)^2+(1+i)^2)=√(9+6i-i^2+1+2i+i^2)=√(10+8i)=√(100+64