福建省三明市第一中學2014-2015學年高二下學期期中考試（數學理）一、選擇題1.設復數z=a+bi（a，b∈R），若z在復平面上對應的點為P，則下列命題正確的是：A.若z是純虛數，則P在實軸上B.若z是實數，則P在實軸上C.若z的實部與虛部相等，則P在直線y=x上D.若z的實部與虛部互為相反數，則P在直線y=-x上2.已知函數f(x)=x^3-3x+2，則下列命題正確的是：A.f(x)在x=-1處有極小值B.f(x)在x=1處有極大值C.f(x)在x=-1處有極大值D.f(x)在x=1處有極小值3.若向量a=(2,3)，向量b=(3,4)，則下列命題正確的是：A.a與b的夾角為90°B.a與b的夾角為0°C.a與b的夾角為180°D.a與b平行4.若數列{an}的通項公式為an=2n-1，則下列命題正確的是：A.數列{an}是等差數列B.數列{an}是等比數列C.數列{an}的前n項和是等差數列D.數列{an}的前n項和是等比數列5.已知函數f(x)=(x-1)^2+3，則下列命題正確的是：A.f(x)在x=1處有極小值B.f(x)在x=1處有極大值C.f(x)在x=2處有極小值D.f(x)在x=2處有極大值二、填空題6.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z的實部為________。7.函數f(x)=(x-1)^2-2在區間[0,3]上的最大值為________。8.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，則向量a與向量b的點積為________。9.若數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n^2+3n，則數列{an}的通項公式為an=________。10.若函數f(x)=x^3-3x^2+4x+2在x=1處有極值，則該極值為________。三、解答題11.（15分）已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x+2，求：（1）函數f(x)的定義域；（2）函數f(x)的單調區間；（3）函數f(x)的極值點及極值。12.（15分）已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，求向量a與向量b的夾角余弦值。四、應用題要求：根據下列條件，完成相關計算。13.已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=3n^2-2n。求：（1）數列{an}的通項公式an；（2）數列{an}的前5項和A5。14.設函數f(x)=x^2-4x+5，求：（1）函數f(x)的圖像的頂點坐標；（2）函數f(x)在區間[1,5]上的最大值和最小值。15.已知向量a=(3,4)，向量b=(4,3)，求向量a與向量b的叉積。五、證明題要求：證明下列命題。16.證明：對于任意實數x，都有x^2+1≥0。17.證明：對于任意正整數n，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。六、綜合題要求：綜合運用所學知識，完成下列題目。18.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求：（1）函數f(x)的導數f'(x)；（2）函數f(x)的極值點及極值；（3）函數f(x)的單調區間；（4）函數f(x)的圖像的拐點坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：復數z在復平面上對應的點為P，若z是實數，則虛部b=0，所以P在實軸上。2.D解析：函數f(x)=x^3-3x+2的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，所以x=1處有極小值。3.D解析：向量a與向量b的點積為a·b=2*3+3*4=6+12=18，非零向量a和b的點積為零，則a與b垂直，夾角為90°。4.A解析：數列{an}的通項公式為an=2n-1，相鄰兩項之差為an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2，所以數列{an}是等差數列。5.A解析：函數f(x)=(x-1)^2+3的導數為f'(x)=2(x-1)，令f'(x)=0，解得x=1，f''(x)=2，f''(1)=2>0，所以x=1處有極小值。二、填空題6.0解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，設z=a+bi，則|a+bi-1|=|a+bi+1|，即|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|，平方后得到(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2，化簡得a=0，所以z的實部為0。7.5解析：函數f(x)=(x-1)^2-2在區間[0,3]上的最大值出現在端點或極值點，計算f(0)=-2，f(3)=2，f(1)=0，所以最大值為5。8.24解析：向量a與向量b的點積為a·b=2*3+3*4=6+12=18。9.2n-1解析：數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n^2+3n，當n=1時，a1=S1=4，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n^2+3n)-[(n-1)^2+3(n-1)]=2n-1。10.2解析：函數f(x)=x^3-3x^2+4x+2在x=1處有極值，f'(x)=3x^2-6x+4，f'(1)=1，f''(x)=6x-6，f''(1)=0，f'''(x)=6，f'''(1)=6>0，所以x=1處有極小值，極小值為f(1)=2。三、解答題11.（15分）（1）函數f(x)的定義域為實數集R；（2）函數f(x)的單調區間為(-∞,1)和(1,+∞)；（3）函數f(x)的極值點為x=1，極小值為f(1)=2。12.（15分）向量a與向量b的夾角余弦值為cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=18/(sqrt(2^2+3^2)*sqrt(4^2+6^2))=18/(sqrt(13)*sqrt(52))=18/(sqrt(676))=18/26=9/13。四、應用題13.（15分）（1）數列{an}的通項公式an=3n-2；（2）數列{an}的前5項和A5=3*5-2*5=15-10=5。14.（15分）（1）函數f(x)的圖像的頂點坐標為(2,1)；（2）函數f(x)在區間[1,5]上的最大值為f(1)=4，最小值為f(5)=6。15.（15分）向量a與向量b的叉積為a×b=(2*3-4*4)*i-(2*6-3*4)*j=(-7)*i-(12-12)*j=-7i。五、證明題16.（15分）證明：對于任意實數x，有x^2≥0，所以x^2+1≥1>0。17.（15分）證明：當n=1時，命題成立，假設當n=k時，命題成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2，那么當n=k+1時，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+