試題試題2024北京三十五中高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)2024.9本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．設(shè)集合，，則集合（）A． B． C． D．2．設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在的展開式中，x的系數(shù)為（）A． B． C．2 D．64．某地區(qū)居民血型的分布為O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任何一種血型的人輸血，AB型血的人可以接受任何一種血型的血，其他不同血型的人不能互相輸血。現(xiàn)有一血型為A型的病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，則能為該病人輸血的概率為（）A．19% B．26% C．68% D．75%5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A． B．2 C． D．7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知且，則“且”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)，則（）A．在上是減函數(shù)，且曲線存在對稱軸B．在上是減函數(shù)，且曲線存在對稱中心C．在上是增函數(shù)，且曲線存在對稱軸D．在上是增函數(shù)，且曲線存在對稱中心10．已知函數(shù)，實數(shù)a．b，m滿足．若對任意的m，總有不等式成立，則的最大值為（）A． B． C．4 D．6第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域為______．12．已知函數(shù)，則的定義域是______；的最小值是______．13．第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳A、人工餐廳B，運動員甲第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為______．14．已知等比數(shù)列滿足：，，，則公比______，的最小值為______．15．函數(shù)的圖象可能是______．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（14分）已知函數(shù)，．（1）______，______；（2）的極小值點為______，極小值為______；（3）的極大值點為______，極大值為______；（4）畫出函數(shù)的圖象草圖：（5）若方程恰好有2個解，則實數(shù)______；（6）若在R上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是______；（7）若函數(shù)存在極值，則極值點的個數(shù)可能為______個．（寫出所有可能）17．（13分）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某種特別物質(zhì)的溫度y（單位：攝氏度）隨時間x（時間：分鐘）的變化規(guī)律滿足關(guān)系式：．（Ⅰ）若，求經(jīng)過多少分鐘，該物質(zhì)的溫度為5攝氏度；（Ⅱ）如果該物質(zhì)溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．18．（13分）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的（1）班~（8）班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進行身體素質(zhì)監(jiān)測．經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：（Ⅰ）若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）若從高一（2）班抽測的10人中隨機抽取2人，從高一（4）班抽測的10人中隨機抽取1人，設(shè)X表示這3人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求的概率；（Ⅲ）假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的107名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等．現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀．寫出方差，，，的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．19．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點處的切線為x軸，求a的值；（Ⅱ）討論在區(qū)間內(nèi)的極值點個數(shù)；（Ⅲ）若，求證：存在兩個零點，且滿足．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的極值點；（Ⅲ）當時，若函數(shù)無零點，求a的取值范圍．21．（15分）首項為0的無窮數(shù)列同時滿足下面兩個條件：①；②．（Ⅰ）請直接寫出的所有可能值；（Ⅱ）記，若對任意成立，求的通項公式；（Ⅲ）對于給定的正整數(shù)k，求的最大值．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】先解不等式得,再根據(jù)幾何運算求解即可.【詳解】解：解不等式得，故，所以集合.故選：C.2.【答案】C【分析】首先求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所在的象限得選項.【詳解】解：因為，所以，在復(fù)平面內(nèi)表示的點的坐標為位于第三象限，故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的計算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】C【分析】直接由二項展開式求含的項即可求解.【詳解】由題意知：含的項為，故的系數(shù)為.故選：C.4.【答案】C【分析】根據(jù)題意能為型的病人輸血的有型和型，根據(jù)互斥事件概率的加法公式即可求解.【詳解】該地區(qū)居民血型的分布為型型型型.，能為型的病人輸血的有型和型，所以能為該病人輸血的概率為，故選：C.5.【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可.【詳解】對于A，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，函數(shù)在不單調(diào)，故B錯誤；對于C，函數(shù)，則，因為，所以，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：C.6.【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因為是定義在上的奇函數(shù)，當時，，所以.故選：D.7.【答案】B【分析】將分別根據(jù)自身的特點求出范圍或值，再比較即可.【詳解】，故選：B．8.【答案】D【分析】解不等式，可得的取值范圍，再結(jié)合充分、必要條件的判定方法，可得問題答案.【詳解】由得：若，則；若，則.所以“”等價于“或”.所以“且”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D9.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性等知識確定正確答案.【詳解】由得，解得，所以的定義域是?1,1，，在?1,1上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在?1,1上是增函數(shù)，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，即D選項正確.故選：D10.【答案】D【分析】由分段函數(shù)的定義域?qū)M行分類討論可得的范圍，即可得的最大值.【詳解】當時，有，由隨增大而增大，且，故，當時，有，即，即，整理得，即，故，又，故，綜上所述，，則，當且僅當、時等號成立，故的最大值為.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】求使式子有意義的實數(shù)的集合即可.【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，則有，即，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為：.12.【答案】①.②.2【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于0，求定義域；對函數(shù)變形，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求最值即可.【詳解】第一個空：根據(jù)題意得到，x>0x?1>0，解得x>0x>1，即，則的定義域是.第二個空：由于函數(shù).繼續(xù)化簡得到，由于，則，當且僅當，即時取最值.所以，則的最小值是2.故答案為：；2.13.【答案】0.7【分析】第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解.【詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥根據(jù)題意得：，，由全概率公式，得：.故答案為：0.7.14.【答案】①.②.【分析】由，可得，再代入，即可得第一空答案；求得，從而得，求出以的最小值，即可得第二空答案.詳解】由，可得，又因為，所以，又因為，即，解得；因為，，所以，所以，因為當或時，取小值，所以取最小值，即的最小值為.故答案為：2；15.【答案】①②③【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別在條件下判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此確定答案.【詳解】設(shè)，則，當時，，f'x=函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)先平緩后陡峭，其形狀如①，令，可得，方程的判別式，當時，所以方程有兩個根，設(shè)方程的兩個根為，，則，所以，，當時，f'x<0，函數(shù)當時，f'x>0，函數(shù)當時，f'x<0，函數(shù)令可得，解得，，當或時，，當時，，其圖象形如③；當時，f'x≥0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)值都為正，函數(shù)圖象形如①，當時，所以方程有兩個根，設(shè)方程的兩個根為，，則，所以，當時，f'x>0，函數(shù)當時，f'x<0，函數(shù)當時，f'x>0，函數(shù)且fx=故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1），；（2），；（3），；（4）圖象見解析；（5）；（6）；（7），【小問1詳解】因為，，所以，，【小問2詳解】又（1），令，可得，所以或，當時，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，f'x>0，函數(shù)在0,2當時，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取極小值，極小值為，所以函數(shù)的極小值點為，極小值為.【小問3詳解】由（2）當時，函數(shù)取極大值，極大值為，所以函數(shù)的極大值點為，極大值為.【小問4詳解】由（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間有，，單調(diào)遞增區(qū)間有0,2，，由（3），因為，所以當時，，當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)的大致圖象如下：【小問5詳解】由（4）可得當且僅當時，方程恰好有2個解，所以；【小問6詳解】由（1），因為在上單調(diào)，所以恒成立或恒成立，所以或，又，所以的取值范圍是.【小問7詳解】由（1），當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒有極值點，不滿足要求；當時，方程有三個根，設(shè)的根為，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，此時函數(shù)有個極值點，當時，方程有兩個根，其中較大根為設(shè)的另一根為，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，此時函數(shù)有個極值點，當時，方程有一個根，設(shè)的根為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，此時函數(shù)有個極值點，所以若函數(shù)存在極值，則極值點的個數(shù)可能為，.17.【答案】（1）經(jīng)過分鐘，該物質(zhì)的溫度為攝氏度；（2）.【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，令，結(jié)合解出的值；（2）令，換元，于是得出，由參變量分離法得出，然后求出函數(shù)在上最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意，當，令，時，解得，因此，經(jīng)過分鐘時間，該物質(zhì)的溫度為攝氏度；（2）由題意得對一切恒成立，則由，得出，令，則，且，構(gòu)造函數(shù)，所以當時，函數(shù)取得最大值，則.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查給定函數(shù)模型的應(yīng)用，考查指數(shù)方程的求解以及指數(shù)不等式恒成立問題的求解，在含單一參數(shù)的不等式問題中，通常利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）結(jié)合題意，利用古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）確定相應(yīng)的情況，分類計算，結(jié)合獨立事件的乘法公司，即可求得答案；（3）利用兩點分布的方差計算公式，求出，，，，比較大小，即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意知從高一年級的（1）班~（8）班了抽測共80人，其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的共有，故估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率為；【小問2詳解】由題意可知高一（2）班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一（4）班抽測的10人中優(yōu)秀的有4人，則表示抽測的3人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的有2人，則；【小問3詳解】由題意得，由于服從兩點分布，則，，則，，則，，則，故.19.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在點處的切線為軸，只需，求解即可；（2）針對導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論求解即可；（3）通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)及，，，，從而可證明函數(shù)存在兩個零點，再根據(jù)零點存在性定理即可證明.【小問1詳解】函數(shù)求導(dǎo)得，因為函數(shù)在處切線為軸，所以，即.【小問2詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)無極值點.若，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，為的極值點，且無極大值點.所以當時，在內(nèi)極值點個數(shù)為；當時，在內(nèi)極值點個數(shù)為.【小問3詳解】當時，導(dǎo)函數(shù)，當時，，則在單調(diào)遞減，當時，，則在單調(diào)遞增，所以，又因為，當時，，當時，，所以函數(shù)存在兩個零點.設(shè)，又因為，所以，又因為，，所以，所以.20.【答案】（1）（2）的極小值點為，無極大值點.（3）【分析】（1）運用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線斜率，再結(jié)合點斜式可解；（2）先求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)的正負判斷單調(diào)性，再得到極值點即可；（3）討論函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)大致圖像走向，再用零點的概念，比較最小值與0的大小即可.【小問1詳解】當，，求導(dǎo)，則，且，則曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為，即.【小問2詳解】f當時，則ax+2>0，令則，令則故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故當，取極小值.的極小值點為，無極大值點.【小問3詳解】當，令，則，令，則，則.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故當取得極小值也是最小值.最小