試題試題2024北京首都師大附中高三（下）開學考數學2024.2.一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．

1．橢圓的焦距是（）A． B．1 C． D．22．設等比數列的前項和為，若，則下列式子中數值不能確定的是（）A． B． C． D．3．已知圓與軸切于點，與軸切于點，設弧的中點為，則過點的圓的切線方程是（）A． B． C． D．4．定義在上的函數滿足，又則（）A． B． C． D．5．由三個數字1，2，3組成的五位數中，1，2，3都至少出現一次，這樣的五位數的個數為（）A．150 B．240 C．180 D．236

6．如果存在正整數和實數使得函數為常數）的圖象如圖所示（圖象經過點，那么的值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．某種新產品的社會需求量是時間的函數，記作：．若，社會需求量的市場飽和水平估計為500萬件，經研究可得，的導函數滿足：（為正的常數），則函數的圖像可能為（）A．①② B．①③ C．②④ D．①②④8．在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足，其中，則所有點構成的圖形面積為（）A．1 B．2 C． D．9．血藥濃度（PlasmaConcentration）是指藥物吸收后在血漿內的總濃度．藥物在人體內發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：

根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中：①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用；②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒；③每相隔5．5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用；④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒．其中正確說法的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知拋物線，圓（其中為常數，）．過點的直線交圓于兩點，交拋物線于兩點，且滿足的直線只有三條的必要條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．復數滿足，則復數的實部為______．12．某直播間從參與購物的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在的人數______，直方圖中______．13．已知等差數列滿足：，且前10項的和，則的所有可能值共有______個．14．一艘輪船在江中向正東方向航行，在點處觀測到燈塔在一直線上，并與航線成30角．輪船沿航線前進1000米到達處，此時觀測到燈塔在北偏西方向，燈塔在北偏東方向．則此時輪船到燈塔之間的距離為______米．15．如圖，已知菱形中，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和為的中點，則在翻折過程中，給出下列四個結論：①平面平面；②與的夾角為定值；③三棱錐體積最大值為；④點的軌跡的長度為．其中所有正確結論的序號是______．三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（本小題13分）

已知函數．（Ⅰ）求函數在區間上的最大值和最小值；（Ⅱ）求方程的根．17．（本小題14分）流行性感冒多由病毒引起，據調查，空氣月平均相對濕度過大或過小時，都有利于一些病毒繁殖和傳播．科學測定，當空氣月平均相對濕度大于65%或小于40%時，有利于病毒繁殖和傳播．下表記錄了某年甲、乙兩個城市12個月的空氣月平均相對濕度．第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%（Ⅰ）從上表12個月中，隨機取出1個月，求該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；（Ⅱ）從上表第一季度和第二季度的6個月中隨機取出2個月，記這2個月中甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份的個數為，求的分布列；（Ⅲ）若，設乙地上表12個月的空氣月平均相對濕度的中位數為，求的最大值和最小值．（只需寫出結論）18．（本小題14分）如圖在幾何體中，底面為菱形，，，，．（Ⅰ）判斷是否平行于平面，并證明；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：（ⅰ）平面與平面所成角的大小；（ⅱ）求點A到平面的距離．條件①：面面條件②：條件③：注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．19．（本小題14分）已知動圓過點，且被軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線．過點的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點；20．（本小題15分）已知函數．（Ⅰ）求的單調區間和極值；（Ⅱ）若是函數的極值點．（ⅰ）證明：；（ⅱ）討論在區間上的零點個數．21．（本小題15分）對于各項均為整數的數列，如果滿足為完全平方數，則稱數列具有“性質”；不論數列是否具有“性質”，如果存在與不是同一數列的，且同時滿足下面兩個條件：①是的一個排列；②數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”．（Ⅰ）設數列的前項和，證明數列具有“性質”；（Ⅱ）試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有“變換性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；（Ⅲ）對于有限項數列，某人已經驗證當時，數列具有“變換性質”，試證明：當時，數列也具有“變換性質”．

參考答案選擇與填空12345678910CCAAABBCCD11．12．13．414．15．①②④三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．解：（Ⅰ）因為，所以．所以．即．所以當，即時，函數的最大值為2；當；即時，函數的最小值為．（2）因為或，或由定義域舍去后者，綜上根是，17．（1）設事件A：從上表12個月中，隨機取出1個月，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播．用表示事件抽取的月份為第月，共12個基本事件，且共6個基本事件，所以，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；（2）在第一季度和第二季度的6個月中，甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份只有2月和6月，所有可能的取值為0，1，2．，隨機變量的分布列為：012（3）由表格已知數據：乙地數據從小到大為，又，不妨假設，設乙地上表12個月的空氣月平均相對濕度的中位數為，當時，則；當，即時，若有，若有，的最大值為，最小值為．18．（1）不平行于平面，理由如下：取中點，因為，所以則四邊形為平行四邊形，所以，又，所以不平行于，假設平面，因為平面平面，平面所以，與不平行于矛盾，所以假設不成立，即不平行于平面；（2）選擇條件①：矛盾選擇條件②：連接，取中點，連接因為菱形，所以為正三角形，又為中點，所以，由于，所以，在菱形中，有，又因為平面，所以平面，因為平面，所以又因為面，所以面，而面，所以所以如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則（ⅰ）因為面，所以為平面的一個法向量設平面的法向量為，因為所以，令設平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ⅱ）因為，由（ⅰ）知平面的一個法向量為所以點A到平面的距離為．條件③：取中點，連接因為菱形，所以為正三角形，又為中點，所以，由于，所以，因為，由（1）可得，所以所以，即因為，所以又因為面，所以面，而面，所以所以如圖，以A為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則（ⅰ）因為面，所以為平面的一個法向量設平面的法向量為，因為所以，令設平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ⅱ）因為，由（ⅰ）知平面的一個法向量為所以點A到平面的距離為19．（Ⅰ）曲線的方程是（Ⅱ）【方法一】：由，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為0，設直線分別為，有，聯立與直線，即有，消去可得，故，則，故，即，同理可得，當時，則，即，由，即，故時，有，此時過定點，且該定點為，當時，即時，由，即時，故直線過定點，且該定點為；【方法二】：設，不妨設．設，則．由，得，故．所以．同理可得．若，則直線過點．若，則直線過點．綜上，直線過定點．20．【答案】解：（1），取得到，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．故函數在上單調遞增，在上單調遞減，有極大值，無極小值（2）（ⅰ），故，設，函數單調遞增，．根據零點存在定理知．（ⅱ），，設，當時，，故單調遞增，，故函數單調遞減，，故函數在上無零點；1分當時，，設，設，則，當時，，當時，，故在單調遞增，在上單調遞減，，故存在使，當時，單調遞增；當時，單調遞減．，故，故函數在上有1個零點．綜上，函數的零點個數為2．21．解：（Ⅰ）當時，，又，所