第十四章拋物線綜合知識梳理1、直線與拋物線相交問題的解題策略直線與拋物線相交問題，設出直線方程為，設出交點坐標，，直線方程與拋物線方程聯立方程組消元后應用韋達定理得，，然后用所設點的坐標計算題中需要求解的量（本題計算直線的斜率），代入韋達定理的結果化簡可得．2、利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.3、求面積常規類型（1）（2）三角形恒過數軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉化為（3）三角形恒過某定點，可分為左右或者上下面積，轉化為（4）四邊形面積，注意根據題中條件，直接求面積或者轉化為三角形面積求解。4、拋物線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用拋物線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將拋物線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．5、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.注：求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與拋物線方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；④根據直線過定點的求解方法可求得結果.6、求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．7、解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強化有關直線與拋物線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、定值定點、三角形的面積等問題．考點一求拋物線方程1．（2023秋·廣西河池·高二校聯考階段練習）已知點到點的距離比點到直線的距離小1；(1)求點的軌跡的方程；(2)試問曲線上是否存在兩點，關于直線對稱，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意可知點軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，從而可求得點的軌跡的方程；（2）設；，利用點差法求出線段的中點，從而可求出的方程，再代入拋物線方程求解即可.【詳解】（1）由題意知，點在軸右側，故點到點的距離等于點到直線的距離，∴點軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，∴點的軌跡方程為：；（2）假設曲線上存在兩點，關于直線對稱，設，，則，，兩式相減得：，∵的斜率為，∴，∴的中點的坐標為，∴的方程為：，將代入中得，，方程無解，∴拋物線上不存在關于直線對稱的兩點.2．（2023秋·廣西河池·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點在直線上，直線過的焦點與交于，兩點，(1)求拋物線的方程，(2)求弦的長度的最小值.【答案】(1)(2)8【分析】（1）根據拋物線的焦點在直線上代入求解；（2）由題意設直線方程為：，與拋物線方程聯立，結合韋達定理，利用弦長公式求解.【詳解】（1）解：因為拋物線的焦點在直線上，所以將代入，解得，∴拋物線方程為：；（2）由（1）知：焦點為，設直線方程為：，代入中，得，設，，則，∴，∴，當時取等號.∴線段的最小值為8.3．（2023秋·內蒙古包頭·高二包頭市第四中學校考期末）已知點在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點重合（如圖）．(1)寫出該拋物線的方程和焦點的坐標；(2)求線段中點的坐標．【答案】(1)；.(2)【分析】(1)根據點在拋物線上，即可求解；(2)由已知條件知：是線段的一個三等分點，且，由此能求出點的坐標.【詳解】（1）因為點在拋物線上，所以，解得：，所以拋物線的方程為：，焦點坐標為.（2）因為的重心與此拋物線的焦點重合，由三角形重心的性質可得：，設，，，則，解得：，所以線段中點的坐標為.4．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知動點在拋物線：，動點Q在圓：上，且之間距離的最小值為．(1)求拋物線和圓的方程；(2)拋物線上是否存在三點,使得外切于圓？若存在，求出三點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)

(2)不存在,答案見解析【分析】(1)通過把之間距離的最小值轉化為之間距離最小值,計算即可;(2)首先分斜率是否存在分情況討論,再通過圖形特征等分別計算,得到矛盾,情況不成立.【詳解】（1）由題意知,之間距離的最小值為,等價于之間距離最小值為.設則,從而,即,進而拋物線和圓的方程分別為:,.（2）若存在,設顯然均不等于.①當三邊所在直線中,存在斜率不存在的情況時:由對稱性知,若外切于圓,則三角形必有一個頂點為坐標原點,不妨設為,且另兩個頂點連線必垂直于軸,即為直線,此時直線分別為:,易知直線不與圓相切,與假設矛盾.所以,此時不存在;②當三邊所在直線斜率都存在時:設過點圓的切線為:,即為由相切知,可得設則為方程的兩根;另方面,將代入方程,并整理得:從而因為且則則直線的方程為:此時圓心到直線的距離,將代入得:,令,即,整理得,此方程顯然無解.與假設矛盾,此時不存在;綜上①②,在拋物線上不存在三點，使得外切于圓考點二與拋物線有關的軌跡問題5．（2023秋·四川成都·高二成都外國語學校校考期中）已知平面內一動點到點的距離比到軸的距離大1．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線交曲線C于A、B，且有，求直線的斜率．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據兩點間距離公式，結合已知進行求解即可；（2）根據一元二次方程根與系數關系、根的判別式，結合平面向量共線的性質進行求解即可.【詳解】（1）因為平面內一動點到點的距離比到軸的距離大1，所以有；（2）當直線AB的斜率不存在時，把代入中，得，因為，所以不成立，不符合題意；當直線AB的斜率存在時，設，與拋物線方程聯立：，化簡整理，得：，有，且，,，而，解得：，而，即：，化簡整理，得：.6．（2023·全國·高二假期作業）已知曲線上任意一點與定點的距離比它到直線的距離小1.(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線經過點，與曲線交于兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）根據拋物線的定義求軌跡方程；（2）由拋物線方程知直線的斜率一定存在，設出直線方程后代入拋物線方程，應用韋達定理結合拋物線定義得弦長，從而求得參數值得直線方程．【詳解】（1）由題意動點與定點的距離和它到直線的距離相等，所以，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，，，所以曲線的軌跡方程是；（2）若直線斜率不存在，則不合題意，因此直線斜率存在，設直線方程為，代入曲線方程整理得，設，，則，，，所以直線方程為，即或．7．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）已知拋物線的焦點為到雙曲線的漸近線的距離為1．(1)求拋物線的標準方程；(2)過動點作拋物線的切線（斜率不為0），切點為，求線段的中點的軌跡方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求得雙曲線的漸近線方程，和拋物線焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求得以及拋物線方程；（2）設出切線方程，聯立拋物線方程，根據相切關系，求得參數之間的關系，再結合點的坐標求解，消去參數，即可求得點的軌跡方程.【詳解】（1）雙曲線的一條漸近線為，又拋物線的焦點的坐標為，由題可得：，解得，故拋物線方程為：.（2）設過點與拋物線相切的直線方程為，聯立拋物線方程可得，則，又，則，且，，設點的坐標為，則，即，代入，可得，又，故；則點的軌跡方程為：.8．（2023秋·湖北·高二校聯考階段練習）已知拋物線，，在拋物線上，且（為原點）為等邊三角形，.(1)求拋物線的方程；(2)若直線過直線與軸的交點，且與拋物線交于、兩點，求的重心的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，，由點在拋物線上及可推出，關于軸對稱，據此求出在拋物線上，即可得解；（2）設直線的方程為，聯立拋物線方程，由根與系數的關系及三角形重心坐標公式求出重心坐標，消元即可得解.【詳解】（1）已知拋物線，設，，因為，所以，即，解得，因為，，所以，解得，所以，關于軸對稱，又因為，所以在拋物線上，代入解得，所以拋物線方程為.（2）由（1）可知直線與軸的交點坐標為，所以設直線的方程為，設，，，解得，所以，設的重心坐標為，所以，所以的重心的軌跡方程為.考點三直線與拋物線的位置關系9．（2023·高二課時練習）已知拋物線的方程為，直線過定點，斜率為，為何值時，直線與拋物線（1）只有一個公共點；（2）有兩個公共點；（3）沒有公共點?【答案】（1）或或，（2）且，（3）或【分析】首先設出直線方程，聯立直線方程與拋物線方程得到.（1）將直線與拋物線只有一個公共點，轉化為方程只有一個根，再討論，再利用判別式求解即可.（2）將直線與拋物線只有兩個公共點，轉化為方程只有兩個根，再利用判別式求解即可.（3）將直線與拋物線沒有公共點，轉化為方程無根，再利用判別式求解即可.【詳解】設直線的方程為：，即.聯立（1）因為直線與拋物線只有一個公共點，等價于方程只有一個根.當時，，符合題意.當時，，整理得：，解得或.綜上可得：或或.（2）因為直線與拋物線有兩個公共點，等價于方程只有兩個根.所以，，即，解得且.（3）因為直線與拋物線沒有公共點，等價于方程無根.所以，，即，解得或.10．（2023·高二課時練習）設直線，拋物線，當為何值時，與相切？相交？相離？【答案】當時，與相切；當時，與相交；當時，與相離.【分析】聯立直線方程和拋物線方程，分類討論即可.【詳解】解：聯立方程，得消去并整理，得.當時，方程為一元二次方程.所以.當，即時，與相切；當，即且時，與相交；當，即時，與相離.當時，直線的方程為，顯然與拋物線交于點.綜上所述，當時，與相切；當時，與相交；當時，與相離.11．（2023·高二單元測試）如圖，直線：與拋物線：相切于點.(1)求實數的值；(2)求以點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯立方程，利用判別式為零可求結果；（2）先求點的坐標，再求圓的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程.（1）直線：與拋物線：相切于點.則得，（*）因為直線與拋物線相切，所以，解得.（2）由（1）可知，故方程（*）即為，解得，代入，得.故點，因為圓與拋物線的準線相切，所以的半徑等于圓心到拋物線的準線的距離，即，所以圓的方程為.考點四直線與拋物線的弦長、中點弦、焦點弦問題12．（2023秋·吉林長春·高二統考期末）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．(1)點P在拋物線上，且，求點P的坐標；(2)直線交拋物線于A，B兩點，求．【答案】(1)或(2)【分析】（1）先根據焦點到準線的距離求出，設，進而利用焦半徑公式可得點P的坐標；（2）聯立直線和拋物線方程，然后利用弦長公式求.【詳解】（1）由已知，拋物線的焦點F到準線的距離為2，則，則拋物線方程為，設，則，將代入得，，所以點P的坐標為或（2）聯立，消去得，13．（2023秋·安徽黃山·高二屯溪一中統考期末）已知拋物線的焦點為，且為圓的圓心.過點的直線交拋物線與圓分別為，，，（從左到右），且，.(1)求拋物線的方程并證明是定值；(2)若，的面積滿足：，求弦的長.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）先求出焦點，即可求出拋物線的方程；利用“設而不求法”證明出；（2）求出，即可求出弦的長.【詳解】（1）由為圓的圓心可知：.又拋物線的焦點為，所以，解得：.所以拋物線的方程為.過點的直線交拋物線于，，且，..所以直線的斜率必存在，設其為，設直線方程為.聯立.當時，解得：，所以.當時，消去得：，所以.綜上所述：為定值.（2）因為且兩個三角形等高，所以.因為由解得：.所以.14．（2023秋·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考期末）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上.(1)求點F的坐標和拋物線C的準線方程；(2)過點F的直線l交拋物線C于A、兩點，且線段AB的中點為，求直線l的方程及.【答案】(1)的坐標為，準線方程為(2)，【分析】（1）將已知點代入拋物線方程，解得參數的值，即可得答案.（2）由求得直線的方程，利用拋物線定義，結合弦長公式以及中點坐標公式，可得答案.【詳解】（1）點在拋物線上，，，的坐標為，拋物線C的準線方程為.（2）由題可知，直線l經過與，的斜率，直線l的方程為，設A，B的坐標分別為，，則由拋物線的定義可知，又AB的中點為，，15．（2023秋·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考階段練習）已知拋物線，點在直線上，直線繞點旋轉，與交于，兩點.當直線垂直于軸時，.(1)求拋物線的方程；(2)當點為弦的中點時，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接將代入拋物線中求出焦點的縱坐標，然后通過即可求出值，進而求出拋物線方程；（2）直接使用點差法求解直線斜率，進而利用點斜式求解出直線方程即可.【詳解】（1）把代入，則，∴即，∴拋物線的方程為：.（2）設，，則…①，…②②-①得：，，∴，則直線的方程為：，即16．（2023秋·河南鶴壁·高二河南省浚縣第一中學校考階段練習）已知拋物線上的點（點位于第四象限）到焦點F的距離為5.(1)求p，m的值；(2)過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點是線段的中點，求直線l的方程.【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據拋物線的定義，可得：，可得：，將點代入拋物線方程即可求解；(2)設，利用點差法可得直線的斜率，然后利用點斜式即可求出直線的方程.【詳解】（1）因為拋物線過點，且點到焦點F的距離為5，由拋物線的定義可得：，解得：，所以拋物線方程為：，將點代入可得：，因為點位于第四象限，所以，所以，.（2）設，因為在拋物線上，則，兩式作差可得：，所以直線的斜率，因為點是線段的中點，所以，則直線的斜率，所以直線的方程為，也即（經檢驗，所求直線符合條件）.17．（2023秋·陜西渭南·高二統考期末）設拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且，線段的中點到軸的距離為3.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與圓和拋物線均相切，求實數的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設出A、B點坐標，由已知可得，又易得，即可解出；（2）根據直線與圓相切，可得；聯立直線與拋物線，根據直線與拋物線相切可得，即可推得.聯立兩式，即可解出實數的值.【詳解】（1）設，，.則線段的中點坐標為，由題意知，則，如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足為、，根據拋物線的定義可知，，，又，所以，所以，所以，拋物線的方程為：.（2）因為圓圓心為，半徑為，直線，即與圓相切，，即有①聯立直線與拋物線的方程，可得，因為直線與拋物線相切，所以，得②，聯立①②，解得或，即實數的值為.考點五直線與拋物線的面積（最值）問題18．（2023秋·山東濱州·高二校考期中）已知拋物線的焦點為，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據拋物線的定義求出可得拋物線C的標準方程；（2）先聯立直線與拋物線，求出，再求出點到直線的距離，然后由三角形面積公式可求出結果.【詳解】（1）由拋物線的定義可得，因為，所以，解得，故拋物線的標準方程為.（2）設，由（1）知.由，得，,則，，所以,所以,因為點到直線的距離,所以的面積為.19．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考二模）已知直線與拋物線交于兩點，當過拋物線焦點且垂直于軸時，.又是圓上一點，若、都是的切線.(1)求拋物線的方程及其準線方程；(2)求的面積的最大值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由當過拋物線焦點且垂直于軸時，，得到點在拋物線上求解；（2）先證明拋物線上一點處的切線方程為，設點、、，利用上面的結論得到直線的方程為，然后與拋物線方程聯立，得到和點到直線的距離，建立求解.【詳解】（1）解：因為當過拋物線焦點且垂直于軸時，，所以點在拋物線上，則，解得，所以拋物線的方程為，該拋物線的準線方程為；（2）先證明拋物線在其上一點處的切線方程為，證明如下:由于點在拋物線上，則，聯立，可得，即，則，所以拋物線在其上一點處的切線方程為.設點、、，則直線的方程為，直線的方程為，因為點在直線上，所以，所以點的坐標滿足方程，因為兩點確定一條直線，所以直線的方程為，聯立，消去可得，由韋達定理可得，，所以，點到直線的距離為，所以，又，其中，所以當時，取得最大值8，所以.20．（2023秋·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學校聯考階段練習）已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，.(1)求的方程.(2)過的直線與相交于，兩點，線段的垂直平分線與相交于，兩點，若的斜率為1，求四邊形的面積.【答案】(1)拋物線C的方程為；(2)四邊形的面積為.【分析】（1）將點代入拋物線方程，求得，由可求得p的值，由此可得得C的方程；（2）由條件求的方程，聯立方程組由拋物線焦點弦公式求，再求線段的垂直平分線的方程，利用設而不求法結合弦長公式求，由此可求四邊形的面積.【詳解】（1）因為點在拋物線C上，所以，解得，所以點的坐標為，又，，所以，．因為，所以，解得，故拋物線C的方程為；（2）由(1)可知，拋物線C的焦點的坐標為，又的斜率為1，故l的方程為，聯立方程組消去x，得．方程的判別式，設，，則，，，所以，，設線段的中點為，故點的坐標為．所以，又直線MN的斜率為，所以MN的方程為．即，聯立方程組，消去，得．方程的判別式，設，，則，，所以，所以四邊形的面積.21．（2023·四川南充·統考一模）已知拋物線上一點到準線的距離為，焦點為，坐標原點為，直線與拋物線交于、兩點（與點均不重合）．(1)求拋物線的方程；(2)若以為直徑的圓過原點，求與的面積之和的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線的定義求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知直線不與軸垂直，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，利用可求得的值，可知直線過定點，再利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得與的面積之和的最小值.【詳解】（1）解：由拋物線的定義可知點到準線的距離為，解得，所以，拋物線的方程為.（2）解：若直線垂直于軸，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，不妨設直線的方程為，設點、，聯立可得，則，由韋達定理可得，，所以，，，解得，所以，直線的方程為，直線過定點，則，不妨設，則，則，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，與的面積之和的最小值為.考點六常規韋達定理的應用22．（2023秋·福建·高二福建師大附中校考期末）已知拋物線，點在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)不過原點的直線與拋物線交于不同兩點，若以線段為直徑的圓過原點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點代入拋物線方程即可求得的值，進而可求出拋物線的方程；（2）聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理，結合由題意推得的，得到關于的方程，解之即可．【詳解】（1）因為點在拋物線上，所以，即，故拋物線的方程為.（2）設，，聯立，消去，得，所以，，，則，因為以線段為直徑的圓過原點，所以，則，所以，解得或，當時，直線為，顯然直線過原點，不滿足題意，舍去；當，滿足，且有，即，滿足題意；綜上：的值為．23．（2023秋·河南鄭州·高二新密市第一高級中學校考階段練習）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線交于兩點，若以為直徑的圓經過點，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據點在拋物線上和三角形面積公式建立等式直接求解；(2)將問題轉化為，利用韋達定理求解即可.【詳解】（1）因為點在拋物線上,所以,,所以,解得,所以拋物線方程為.（2）設聯立，整理得由直線拋物線交于兩點可知，且則，且依題意以為直徑的圓經過點，所以，所以，即整理得解得，滿足條件，故直線的方程為24．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二校聯考期中）已知拋物線上一點到焦點的距離為2．(1)求拋物線的方程；(2)拋物線的準線與軸交于點A，過A的直線與拋物線交于，兩點，直線與拋物線的準線交于點，點關于軸的對稱點為，試判斷，，三點是否共線，并說明理由．【答案】(1)；(2)，，三點共線，理由見解析.【分析】（1）點的坐標代入拋物線方程，結合焦半徑公式可求得，得拋物線方程；（2）設直線方程為，，，直線方程代入拋物線方程整理后應用韋達定理得，然后由直線方程求得的坐標，再通過與斜率證得結論成立．【詳解】（1）由得，所以拋物線的方程為．（2）拋物線的準線方程為，所以．易知直線的斜率存在，設直線方程為，，，聯立方程組得，則，．由，得或．直線的方程為，令，得，即，所以．因為，，所以，故，，三點共線．25．（2023秋·福建泉州·高二晉江市第一中學校考期中）已知曲線在軸右邊，上每一點到點的距離減去它到軸距離的差都是.(1)求曲線的方程；(2)是否存在正數，對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據題意列出等量關系化簡即可求解，（2）聯立直線與曲線的方程，得韋達定理，進而根據，轉化為坐標運算，即可結合韋達定理得對任意的實數恒成立，轉化為最值即可求解恒成立.【詳解】（1）設是曲線上任意一點，由題意可得：，整理可得：，（2）存在，理由如下：設過點的直線與曲線的交點為，，設直線的方程為，由得：，，所以，又，，由，可得，所以，，將代入上式可得：對任意的實數恒成立，所以，解得：，所以存在正數，對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線，都有，且的取值范圍.考點七拋物線中的參數及最值問題26．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第二中學校考期中）已知點，直線l：，動點P到點F間的距離等于它到直線l的距離．(1)試判斷動點P的軌跡C的形狀，并寫出C的方程；(2)求動點P到直線的距離與到y軸的距離之和的最小值．【答案】(1)拋物線，(2)【分析】（1）根據拋物線的定義求得正確答案.（2）結合拋物線的定義以及點到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】（1）因為動點P與點F間的距離等于它到直線l的距離，所以點P的軌跡是以F為焦點，直線l為準線的拋物線．又因為點，直線l：，則拋物線開口向右，且焦點F到準線l的距離為4，所以軌跡C的方程為．（2）動點P到y軸的距離等于到焦點的距離“減”，所以動點P到直線的距離與到y軸的距離之和的最小值為：到直線，即的距離“減”，即.27．（2023秋·陜西·高三陜西省榆林中學校聯考階段練習）已知拋物線：的焦點為，過點且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，．(1)求拋物線的方程；(2)若，是拋物線上兩動點，以為直徑的圓經過點，點，，三點都不重合，求的最小值【答案】(1)(2)11【分析】（1）由過焦點且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，結合拋物線的定義得，即可解決問題；（2）設直線的方程為，代入拋物線中寫出韋達定理，又以為直徑的圓經過點，則，轉化為向量，利用數量積的坐標表示得出相應的關系式；利用拋物線的定義表示出，轉化成函數求的最小值即可.【詳解】（1）由題知，∴，∴，拋物線的方程為．（2）設直線的方程為，設點，，由方程組得:，∴，即，且，∴，，∵以為直徑的圓經過點，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴∴或若，直線：過點，不合題意，舍去．，∴．則，所以當時，最小，且最小值為11.28．（2023·河南開封·校聯考模擬預測）已知直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點且與拋物線C相切的兩條直線相交于點D，當直線軸時，．(1)求拋物線C的標準方程；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直接解出即可；（2）設，聯立直線與拋物線由韋達定理求得，設出直線、的方程，聯立求出坐標，判斷出在直線上，即可求解.(1)當直線軸時，，代入解得，∴，得，∴拋物線C的標準方程為；(2)設．聯立得．∴①，∵直線恒過點，且與拋物線有兩個交點，點在拋物線上，∴，當直線和直線斜率存在時，設直線，聯立∴，，∴，∴，同理，設直線，則，聯立∴由①可知，∴，即，∴點D在直線上．當直線或直線斜率不存在時，即直線l過原點時，，過原點的切線方程為，易知另外一點為，過點的切線方程設為，聯立，得，，解得，即切線方程．此時交點D的坐標為，在直線上，故的最小值為原點到直線的距離，即．29．（2023秋·湖北武漢·高三統考開學考試）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為4，圓心的軌跡為曲線.(1)求的方程：(2)過點的直線與相交于兩點.設，若，求在軸上截距的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據圓的方程和勾股定理求解即可.（2）根據和（1）中求得的曲線方程聯立可得關于的直線方程，再分析截距的取值范圍即可.（1）設，圓的半徑為，則整理，得所以的方程為.（2）設，又，由，得由②，得，∵∴③聯立①?③解得，依題意有，又，∴直線l的方程為，或，當時，l在y軸上的截距為或，由，可知在上是遞減的，∴，∴直線l在y軸上截距的取值范圍為.考點八拋物線中的定點問題30．（2023秋·北京昌平·高二統考期末）已知拋物線經過點.(1)求拋物線的方程及其準線方程；(2)設，直線與拋物線有兩個不同的交點.若是以為底邊的等腰三角形，求證：直線經過拋物線的焦點.【答案】(1),(2)證明見解析【分析】(1)應用點在拋物線上即可求出,即可求出拋物線的方程及其準線方程;(2)直線方程和拋物線聯立方程組,再把等腰三角形轉化為斜率關系,列式計算即可求出,進而得證.【詳解】（1）因為拋物線經過點,所以,所以拋物線的方程為,準線方程為;（2）設,中點聯立方程組,可得,即可得，即，,則，所以，因為是以為底邊的等腰三角形,所以,即可得，又因為,,,則,即得所以所以，經過拋物線的焦點.31．（2023秋·陜西西安·高二統考期中）已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據拋物線焦點坐標，直接求得，則拋物線方程得解；（2）設出直線的方程，利用韋達定理，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】（1）根據題意，，則，故拋物線方程為：.（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點，故設其方程為，聯立拋物線方程可得：，時，設兩點的坐標分別為，則，，由題可知，，即，解得，此時滿足，故直線恒過軸上的定點.32．（2023秋·廣西柳州·高三校聯考階段練習）已知點是橢圓C：與拋物線：（）的一個公共點，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點.過點且不垂直于軸的直線l與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓及拋物線的方程；(2)若點關于軸的對稱點為點，證明：直線與軸交于定點.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】(1)將點代入拋物線方程即可求出，從而得到拋物線的焦點也即橢圓的焦點，再將點代入橢圓的方程即可求解；(2)依據題意設直線l：（），點，，則點.直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得出，，根據題意寫出直線的方程為，令得，將更坐標進行化簡整理即可求解.【詳解】（1）∵是拋物線：（）上一點，∴，即拋物線的方程為，焦點，∴.又∵在橢圓：上，∴，結合知，，∴橢圓的方程為，拋物線的方程為.（2）設直線l：（），點，，則點.由，得，，解得，從而，，直線的方程為，令得，又∵，，則，即，故直線與x軸交于定點.33．（2023·浙江·模擬預測）已知拋物線，其焦點與準線的距離為，若直線與交于兩點（直線不垂直于軸），且直線與另一個交點為，直線與另一個交點.(1)求拋物線的方程；(2)若點，滿足恒成立，求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據焦點和準線之間距離可得的值，由此可得拋物線方程；（2）設，，由可知，利用斜率公式進行化簡，可求得；將直線方程與拋物線方程聯立，結合韋達定理可求得點坐標，同理可得點坐標，由此可求得直線方程，化簡其方程為，根據直線過定點的求法可得定點坐標.【詳解】（1）拋物線的焦點到準線的距離為，即，拋物線的方程為：.（2）由（1）知：，設，，其中，，，，且直線的傾斜角均不為，，即，，，，即；直線方程為：，即，由得：，設點縱坐標為，則，即，將代入直線方程得點橫坐標為：，；同理可得：，，直線方程為：，即；，直線方程為：，則當時，，直線恒過定點.34．（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）已知拋物線的準線與x軸的交點為H，直線過拋物線C的焦點F且與C交于A，B兩點，的面積的最小值為4．(1)求拋物線C的方程；(2)若過點的動直線l交C于M，N兩點，試問拋物線C上是否存在定點E，使得對任意的直線l，都有，若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由．【答案】(1)(2)存在定點【分析】（1）設，代入拋物線，根據韋達定理得到根與系數的關系，確定，計算得到答案.（2）設的方程為，代入拋物線得到根與系數的關系，根據垂直關系得到，計算得到定點.【詳解】（1）斜率不為零，設代入，，設，則，，當時，取最小值，，，拋物線C的方程為：．（2）假設存在，設，由題意，斜率不為零，設的方程為代入，可得，，，，故，即，即，，解得，故存在定點滿足題意．考點九拋物線中的定值問題35．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：，直線過定點.(1)若與僅有一個公共點，求直線的方程；(2)若與交于A，B兩點，直線OA，OB（其中О為坐標原點）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運算結果是否有為定值的？并說明理由.【答案】(1)或或(2)為定值，而，，均不為定值【分析】（1）過拋物線外一定點的直線恰好與該拋物線只有一個交點，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯立直線的方程與拋物線的方程，根據韋達定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結果.（1）過點的直線與拋物線僅有一個公共點，則該直線可能與拋物線的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：

當直線與拋物線相切時，由于點在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設直線的斜率為，則有：聯立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或（2）若與交于A，B兩點，分別設其坐標為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不為，不妨設直線的斜率為，則有：聯立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據韋達定理可得：，則有：，下面分別說明各項是否為定值：，故運算結果為定值；，故運算結果不為定值；，故運算結果不為定值；，故運算結果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值36．（2023秋·陜西榆林·高二校考期末）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.(1)求該拋物線的標準方程；(2)若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設拋物線方程為（），根據焦半徑公式列式求出即可得解；（2）直線的方程為：，聯立直線與拋物線方程，得到和，再根據可得結果.【詳解】（1）∵拋物線焦點在軸上，且過點，∴設拋物線方程為（），由拋物線定義知，點到焦點的距離等于5，即點到準線的距離等于5，則，∴，∴拋物線方程為.（2）顯然直線的斜率不為0，又由于直線過點，所以可設直線的方程為：，由，化簡并整理得，恒成立，設，，則，則，∴.所以為定值.37．（2023秋·陜西渭南·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)過點且斜率存在的直線交拋物線于不同的兩點，設為坐標原點，直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據拋物線的焦半徑公式求出，即可得解；（2）設直線，聯立方程，利用韋達定理求得，再結合斜率公式即可得出結論.【詳解】（1）解：點在拋物線上，且，，解得，拋物線的方程為；（2）證明依題意，設直線，聯立，得，則，故為定值．38．（2023秋·浙江·高二慈溪中學校聯考階段練習）如圖，已知拋物線的焦點，且經過點.(1)求和的值；(2)點在上，且.過點作為垂足，問是否存在定點，使得為定值.若存在，求出點坐標及的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)，；(2)存在，，.【分析】（1）根據拋物線上點的橫坐標結合拋物線定義求出，再把點代入所求拋物線可求出；（2）由可知向量數量積為0，設直線，聯立拋物線方程，可得根與系數的關系，聯立兩條件可知，據此可知直線過定點，問題轉化為故在以為直徑的圓上，據此可知存在斜邊中點，使得為定值.【詳解】（1）由拋物線定義知：，則，又在拋物線上，則，得.（2）設，，又，，①令直線，聯立，整理得，且，，則，代入①式得：，當時，過定點；當時，過定點，即共線，不合題意；直線過定點，又，故在以為直徑的圓上，而中點為，即為定值.39．（2023秋·廣東廣州·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，B在x軸的上方，且點B到F的距離為5，且B的縱坐標為．(1)求拋物線C的標準方程與點B的坐標；(2)設點M為拋物線C上異于A，B的點，直線MA與MB分別交拋物線C的準線于E，G兩點，x軸與準線的交點為H，求證：為定值，并求出定值．【答案】(1)，(2)定值為4，證明見解析【分析】（1）由拋物線的焦半徑公式可得，代入拋物線方程解得即可；（2）由（1）直線l的方程：，聯立拋物線方程可得，再設點，可得直線MA方程，進而可得，同理，即可得定值.【詳解】（1）由題意得：，因為點B到F的距離為5，且B在x軸的上方，且B的縱坐標為所以，故，即，因為得，故拋物線C的方程為：，此時.（2）由（1）得：，線方程，直線l的方程：，由，解得或，于是得．設點，又題意且，所以直線MA：，即，令，得，即.同理直線MB：，即，令，得，即，故．40．（2023秋·湖南長沙·高二校聯考階段練習）若拋物線：上的一點到它的焦點的距離為.(1)求C的標準方程；(2)若過點的直線與拋物線C相交于A，B兩點.求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由拋物線的定義即可求解；（2）聯立直線與拋物線方程，將轉化為，結合韋達定理即可求解.【詳解】（1）拋物線的準線的方程為，根據拋物線的定義知點到它的焦點的距離即為點到準線的距離，所以，解得，所以C的標準方程為.（2）顯然直線的斜率存在，可設直線的方程為，，，聯立，消去，得，所以，，，又，同理.所以所以為定值.考點十拋物線中的定直線問題41．（2023秋·安徽蕪湖·高三統考期末）已知拋物線：的焦點為，過焦點的直線與拋物線交于，兩點，當直線的傾斜角為時，.(1)求拋物線的方程；(2)求證：過焦點且垂直于的直線與以為直徑的圓的交點分別在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）寫出直線的方程，與拋物線方程聯立，結合韋達定理與焦點弦長公式即可得出拋物線的方程；（2）設直線的方程為，與拋物線方程聯立，結合韋達定理得出以為直徑的圓的方程，然后與過焦點且垂直于的直線聯立求解即可得出答案．【詳解】（1）當直線的傾斜角為時，設直線的方程為，聯立方程，得：，∴，，∴，∴拋物線的方程為．（2）拋物線：的焦點，設直線的方程為，，，聯立方程得：，∴，，，，設以為直徑的圓上任意一點為，則,即，則以為直徑的圓的方程為：，即：，代入得：，過焦點且垂直于的直線為：，聯立方程，得：即：，解得：或3，所以過焦點且垂直于的直線與以為直徑的圓的交點分別在定直線和上．42．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，準線為l，記準線l與x軸的交點為A，過A作直線交拋物線C于，兩點．(1)若，求的值；(2)若M是線段AN的中點，求直線的方程；(3)若P，Q是準線l上關于x軸對稱的兩點，問直線PM與QN的交點是否在一條定直線上？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)在定直線上，理由見解析【分析】（1）根據焦半徑公式即可求出；（2）設直線MN的方程，與拋物線聯立即可利用M是線段AN的中點求出m，從而求出直線的方程；（3）設，即可求出直線PM與QN的方程，聯立即可解出交點，從而可以判斷交點在定直線上．【詳解】（1）根據題意，得因為拋物線，所以準線為，所以；（2）由題意可知，直線的斜率不為0，故設直線的方程，聯立，消去，可得，所以，即，，，而M是線段AN的中點，所以，故，解得，故，解得，所以直線MN的方程為，即；（3）直線MN的方程，設，則，，聯立消去可得：，即，整理得：，將，代入得，故，，所以直線PM與QN的交點在定直線上．43．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線，，是C上兩個不同的點．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標原點，，C在A，B處的切線交于點P，證明：點P在定直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）聯立直線與拋物線的方程消元，利用證明即可；（2）設，由（1）可得出兩條切線的方程，然后聯立可得，然后由可得，即可證明.（1）聯立得，因為在C上，則，所以，因此直線與C相切．（2）由（1）知，設，切線的方程為，切線的方程為，聯立得，因為，，所以．又因為，所以，解得，所以．故點P在定直線上．44．（2023·四川宜賓·統考三模）設拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準線截得的弦長為8．(1)求拋物線的方程；(2)過點的兩條直線分別與曲線交于點A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點在直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設到的距離為，由題意可得：，可解得，即可求出拋物線的方程.（2）設，，由，表示出點的坐標，代入拋物線的方程結合題意可得，同理可得：，又因為，是關于的方程的兩根，則，即可證明.（1）：的準線：設到的距離為，由已知得，∴，∴，∴∴的方程為（2）設，∵，∴∴，∴代入得∴∴∵點N在拋物線內部，∴，，∴同理∴，是關于的方程的兩根，∴，∴∴的中點在直線上．考點十一拋物線的實際應用45．（2023秋·河南周口·高二校考階段練習）圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m.水下降1m后，水面寬多少？（精確到0.1m）【答案】4.9m【分析】通過建立直角坐標系，設出拋物線方程，將點代入拋物線方程求得，得到拋物線方程，再把點代入拋物線方程求得進而得到答案．【詳解】在拋物線形拱橋上，以拱頂為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，如答圖所示.設該拋物線的方程為.拱頂離水面2m，水面寬4m，點在拋物線上，，解得，拋物線的方程為.當水面下降1m時，，代入，得，即，，故這時水面寬約為4.9m.46．（2023秋·江蘇南通·高二階段練習）如圖所示，一隧道內設雙行公路，其截面由一個長方形和拋物線構成，長方形高度.為了行車安全，要求行駛車輛頂部（設其為平頂）與隧道頂部在豎直方向的高度差至少有．已知行車總寬度（圖中數據的單位：m），(1)建立適當的直角坐標系，求拋物線的方程；(2)求車輛通過隧道時的限高（精確到）．【答案】(1)坐標系見解析，方程為(2)【分析】（1）根據題意以拋物線的頂點為原點，過頂點的水平向所在直線為軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，再待定系數求解即可；（2）先求得時，，再結合題意求解限高即可.【詳解】（1）解：如圖，以拋物線的頂點為原點，過頂點的水平向所在直線為軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，由題知拋物線過點，代入上述方程得，解得，所以，所求拋物線的方程為.（2）解：因為行車總寬度，所以，結合（1），當時，，因為行駛車輛頂部（設其為平頂）與隧道頂部在豎直方向的高度差至少有．所以，所求的限高為，因為需要精確到，所以限高為.所以，車輛通過隧道時的限高為47．（2023·高二課時練習）某城市在主干道統一安裝了一種新型節能路燈，該路燈由燈柱和支架組成．在如圖所示的平面直角坐標系中，支架是拋物線的一部分，燈柱經過該拋物線的焦點且與路面垂直，其中為拋物線的頂點，表示道路路面，，A為錐形燈罩的頂，燈罩軸線與拋物線在A處的切線垂直．安裝時，要求錐形燈罩的頂到燈柱所在直線的距離是，燈罩的軸線正好通過道路路面中的中線．(1)求燈罩軸線所在的直線方程；(2)若路寬為，求燈柱的高．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意確定A點坐標，則可求出拋物線在點A處的切線方程，利用直線的垂直關系，即可求得燈罩軸線所在的直線方程；（2）利用燈罩軸線所在的直線方程，可求得，再利用拋物線方程求得，即可求得燈柱的高．（1）由題意知，，，把代入，得，故．設拋物線在點A處的切線方程為，與拋物線方程聯立并消去，得，則，解得，故燈罩軸線所在直線的斜率為，其方程為，即．（2）由，因為燈罩的軸線正好通過道路路面中的中線．故燈罩的軸線與道路路面的交點到y軸的距離為，則對于，當時，，從而．而,將代入，得，所以，所以,所以燈柱的高為．48．（2023秋·安徽合肥·高二合肥市第六中學校聯考期末）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm．(1)以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；(2)為滿足生產的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長．【答案】(1)(2)cm【分析】（1）設拋物線的標準方程為，由題意可得拋物線過點，將此點代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設此時的口徑長為，則拋物線過點，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案(1)由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為，因為頂點深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點，所以，得，所以拋物線方程為；(2)若將磨具的頂點深度減少，設此時的口徑長為，則可得，得，所以此時該磨具的口徑長．考點十二拋物線與橢圓的綜合49．（2023·浙江·校考模擬預測）已知拋物線：，過其焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，與橢圓交于C、D兩點，其中．(1)求拋物線方程；(2)是否存在直線，使得是與的等比中項，若存在，請求出AB的方程及；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在；理由見解析【分析】（1）設直線的方程為，，聯立直線與拋物線，利用根與系數的關系結合已知條件即可求解；（2）由焦半徑公式可得，設，由得，由根與系數的關系結合弦長公式可得，若是與的等比中項，則，即，判斷方程是否有解即可求解【詳解】（1）設直線的方程為，，由得，則，，，又，所以，又，所以，所以拋物線方程為；（2）由（1）可知：，所以，設，由得，則，所以，若是與的等比中項，則，即，所以，即，所以，因為，所以，所以方程無解，所以不存在直線，使得是與的等比中項．50．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）已知橢圓：（）的右焦點與拋物線：的焦點重合，過作x軸的垂線，與和分別交于A、B和C、D，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線l：（）與交于兩點P、Q（Q在x軸上方），點Q關于原點O的對稱點為，M為線段的中點，N為線段的中點，若M、N都在橢圓上，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據的焦點為，可得，，從而得出點的坐標，再根據點在橢圓上，解方程組求解即可；（2）設，表達出，代入橢圓方程作差，結合拋物線方程可得或.再討論當時不滿足，從而得到，進而可得，設，分別代入橢圓與拋物線方程，求解可得，進而根據焦半徑公式求解即可.【詳解】（1）由題意，的焦點為，又垂直于軸，故，，.故，解得，，橢圓：；（2）設，則.由題意在橢圓上，故，，兩式相減可得.又在上，故，故，解得或.當時，，又在橢圓上，故，即.易得，由基本不等式可得，故，，與矛盾，故.因為Q在x軸上方，故，此時，故可設，則，故，即，易得，故，所以51．（2023秋·河北衡水·高二衡水市第二中學校考期中）已知拋物線的準線過橢圓的左焦點,且橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點構成一個正三角形.(1)求橢圓的方程;(2)直線交橢圓于兩點,點在線段上移動,連接交橢圓于兩點,過作的垂線交軸于,求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據拋物線的準線求得橢圓的焦點,根據一個焦點與短軸兩端點構成正三角形可求得,即可得橢圓方程.(2)根據題意可判斷直線斜率存在且不為0,設直線方程與橢圓聯立求得,根據設出點坐標,用斜率公式求得坐標,再用點到直線的公式求得三角形高,用面積公式將面積寫出,分離常數,變為積為定值的形式,再用基本不等式即可.【詳解】（1）解:由題知拋物線的準線為,,因為橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點構成一個正三角形,,故橢圓的標準方程為:;（2）由(1)得橢圓的方程為,的垂線交軸于,的斜率存在,連接交橢圓于兩點,的斜率不為0,不妨設,則,聯立,即,,,設,,,解得:,到直線的距離為:,,當且僅當,即時取等,故面積的最小值為.52．（2023秋·四川德陽·高二德陽五中校考期中）已知橢圓：，以橢圓的右焦點為焦點的拋物線的頂點為原點，點是拋物線的準線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線、，其中、為切點，設直線，的斜率分別為，.(1)求拋物線的方程及的值；(2)求證：直線過定點，并求出這個定點的坐標；(3)若直線交橢圓于、兩點，分別是、的面積，求的最小值.【答案】(1)拋物線的方程為；(2)證明見解析，定點的坐標為(3)【分析】（1）根據橢圓方程確定拋物線的焦點坐標，即可求得其方程；設，設出過點作拋物線的切線方程，聯立拋物線方程，利用判別式等于0，可得答案.（2）利用導數的幾何意義表示出以點為切點的切線方程,利用兩切線均過點,結合兩點坐標都滿足,即可證明結論,進而求得定點坐標.（3）由題意可推得，因此設直線的方程為，聯立方程，分別求得直線和拋物線以及橢圓相交的弦長，化簡可得答案.【詳解】（1）依題意橢圓：的右焦點為，可得拋物線的焦點坐標為，所以拋物線的方程為.拋物線的準線方程為，故設，過點與拋物線相切的直線斜率一定存在，設方程為，將其代入得，由得，即，，其兩根即為，所以.（2）證明：設，，不妨設在第一象限，則，對于拋物線在第一象限內部分有，由可得，故，同理可得，則點A為切點的切線方程為，即，同理，以為切點的切線方程為，因為兩切線均過點，所以，，即兩點的坐標皆滿足方程，又由于兩點確定一條直線，故切點弦的方程為，所以直線恒過定點.（3）設點到直線的距離為，則，因為直線恒過定點，且斜率不為零，故設直線的方程為.聯立,得，，則，則；聯立，得，，設，，則，則，則，故當時，有最小值.53．（2023·山東青島·高二山東省萊西市第一中學校考學業考試）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，直線與圓相切．(1)求橢圓的方程；(2)設不過原點的直線與橢圓相交于不同的兩點A，B，M為線段AB的中點，O為坐標原點，射線OM與橢圓相交于點P，且O點在以AB為直徑的圓上，記，的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【