第二章空間距離與角度知識(shí)梳理1、用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．2、求點(diǎn)到平面的距離的四步驟注：線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．3、求異面直線所成的角（1）基向量法求異面直線的夾角的一般步驟①找基底．②用同一組基底表示兩異面直線的方向向量．③利用向量夾角公式求出兩條直線的方向向量夾角的余弦值．④結(jié)合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角．（2）用空間向量法求異面直線夾角的步驟①確定兩條異面直線的方向向量．②確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．③得出兩條異面直線所成的角．4、求直線與平面所成角的思路與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求直線的方向向量eq\o(AB,\s\up7(→))；③求平面的法向量n；④計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·eq\o(AB,\s\up7(→))|,|n|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|).5、求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②求出兩個(gè)半平面的法向量n1，n2；③設(shè)兩平面的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí).))注：若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解．考點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離1．（2023·吉林白山·高二期末）已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（

）A．3 B． C． D．【解析】因?yàn)椋裕O(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D2．（2023·浙江紹興·高二期末）如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（

）A． B． C． D．【解析】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)C到直線的距離為：.故選：D3．（2023·安徽·六安外國語高級(jí)中學(xué)有限公司高二期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．2【解析】因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫裕驗(yàn)樗匀鐖D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：A4．（2023·江蘇常州·高二期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為（）A． B．C． D．【解析】以D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,，，,設(shè)(x，y，z)，,，則(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，令x＝1，則y＝-，∴u＝(1,-,0)，∴異面直線D1E與CC1的距離為d＝，∵P在D1E上運(yùn)動(dòng)，∴P到直線CC1的距離的最小值為d＝.故選：A.5．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為，，，且，異面直線與所成的角為．若是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離．【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，為異面直線與所成角，，在菱形中，．，，．設(shè)，則，．在中，由余弦定理得：，，解得：，，，，，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為．6．（2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期末）如圖甲，平面圖形中，，沿將折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，如圖乙，使.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)到直線的距離.【解析】(1)因?yàn)椋瑒t，且，又，平面，因此，平面，即有平面，平面，則，而，則四邊形為等腰梯形，又，則有，于是有，則，即，，平面，因此，平面，而平面，所以平面平面.(2)由(1)知，EA，EB，EG兩兩垂直，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，射線EA，EB，EG分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，四邊形是矩形，則，即，，，由，則則則向量在向量上的投影的長為又,所以點(diǎn)到直線的距離7．（2023·山東淄博·高二期末）已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在PD上，且.(1)求的值；(2)求點(diǎn)B到直線CM的距離.【解析】(1)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，0，，設(shè)，，，則，，，，即，，∴(2)在棱上取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，則，又，∴故，因?yàn)椋瑒t，解得，，∴∴.∴點(diǎn)B到直線CM的距離.考點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離8．（2023·廣東茂名·高二期末）已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【解析】依題意，，而為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A9．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離是______．【解析】依題意，平行平面間的距離即為點(diǎn)O到平面的距離，而，所以平行平面、間的距離.故答案為：10．（2023·福建福州·高二期末）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則,設(shè)面的一個(gè)法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.（2），則點(diǎn)到平面的距離為.11．（2023·湖南·周南中學(xué)高二期末）某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB、CD、AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角是直二面角，求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）證明：取線段中點(diǎn)，連接、，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，且，在圖1中知且，且，所以在圖2中，且，且，∴四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，∴平面.（2）解：由圖1，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，取，則于是平面的一個(gè)法向量點(diǎn)B到平面的距離為.12．（2023·江蘇南通·高二期末）如圖，在四面體中，平面，，，點(diǎn)在線段上．(1)當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求到平面的距離；(2)若二面角的余弦值為，求的值．【解析】（1）解：因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，由已知可得，解得，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，故.13．（2023·江蘇·南京師大附中高二期末）在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點(diǎn)F是線段CP的中點(diǎn)．(1)求證：DF∥平面PBE：(2)若二面角的大小為，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．【解析】（1）設(shè)PB的中點(diǎn)為G點(diǎn)，連接GF和GE，因?yàn)辄c(diǎn)G、點(diǎn)F分別為PB和PC的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形GFDE為平行四邊形，所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF∥平面PBE；（2）由二面角的大小為可知，平面平面，取BE得中點(diǎn)O，連接，則，平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令則，又，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為.14．（2023·江蘇·高郵市第一中學(xué)高二期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在異于，的一點(diǎn)，使得.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè).，，由，得，即.由題意，知，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)由(1)知的最大值是，此時(shí)，即點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)是平面的法向量，，，由令，則，故是平面的一個(gè)法向量.又在方向上的投影長為，點(diǎn)到平面的距離為考點(diǎn)三異面直線的距離15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）正四棱錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離A． B． C． D．【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，．，．令向量，且，則，，，，．異面直線和之間的距離為：．故選：C.17．（2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開學(xué)考試）正四棱柱中，底面邊長為1，側(cè)棱長為分別是異面直線和上的任意一點(diǎn)，則間距離的最小值為___________.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、，，，所以，，，設(shè)且，即，令，則，，所以，所以異面直線和的距離，所以、間距離的最小值為；故答案為：18．（2023·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為______．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，，可得：設(shè)，且則有：，可得：則有：故則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故答案為：考點(diǎn)四異面直線所成的角19．（2023·陜西·長安一中高二期末（理））空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________．【解析】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.20．（2023·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）在平行六面體中，，，，，，則與夾角的余弦值為__________.【解析】設(shè)，則，同理，，平行六面體中，，，；則，，，設(shè)直線和所成角為，則．所以與夾角的余弦值為，故答案為：.21．（2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長為2的菱形．(1)若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長．【解析】(1)依題意點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，.設(shè)直線與所成角為，則.(2)設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.22．【多選】（2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為C．三棱錐的體積的最大值為1D．不論取何值，都有【解析】當(dāng)時(shí)，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則，故A正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，，則，，異面直線與所成角的余弦值為，故B正確；又，∴，從而，故C錯(cuò)誤；當(dāng)取任意值時(shí)，，，，，∴，∴，故D正確,故選：ABD．23．（2023·上海·復(fù)旦附中高二期末）如圖所示，是棱長為1的正方體.(1)設(shè)的重心為O，求證：直線平面；(2)設(shè)E?F分別是棱?上的點(diǎn)，且，M為棱的中點(diǎn)，若異面直線與EF所成的角的余弦值為，求a的值.【解析】（1）設(shè)，連接，首先平面，平面，則，又，，平面，所以平面，而平面，所以，同理，，平面，所以平面，連接交于，因?yàn)椋允堑冗叺闹行囊彩侵匦模云矫妫?）如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由題意，解得：（負(fù)值舍去）．24．（2023·江蘇省如皋中學(xué)高二期末）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，(1)求異面直線所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值．【解析】(1)以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以，所以直線所成角的余弦值為；(2)設(shè)為平面的一個(gè)法向量，,則m?，同理,則,可取平面的一個(gè)法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.25．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高二期末）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)(1)求證：面；(2)求異面直線與所成角的大小.【解析】（1）證明：由面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由點(diǎn)為線段中點(diǎn)，可知，，設(shè)為平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一個(gè)法向量為：根據(jù)線面平行的向量法判斷法則可知面（2）解：由題意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故異面直線與所成角的大小為考點(diǎn)五直線與平面所成的角26．（2023·杭州求是高級(jí)中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，二面角的大小是45°，?分別是?的中點(diǎn)，交于點(diǎn).(1)求證：???四點(diǎn)共面；(2)設(shè)是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）∵底面是正方形，則又∵側(cè)棱底面，則∴平面，則二面角的平面角為∴如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)則設(shè)平面的法向量為∵，則令，則，即∵設(shè)，則∴又∵，則∴，則∵，即∴點(diǎn)在平面內(nèi)，即???四點(diǎn)共面（2）結(jié)合（1）可得：，則∵∴直線與平面所成角的正弦值.27．（2023·浙江·杭州四中高二期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）若為中點(diǎn)，連接，又、為、的中點(diǎn)，底面為矩形，所以且，而且，所以且，故為平行四邊形，故，又面，面，則面.（2）由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，，，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，故，所以與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知：是面的一個(gè)法向量，又是面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面的夾角的余弦值.28．（2023·北京市第五十七中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面，是線段上的點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明直線平面(2)求證：；(3)點(diǎn)在線段上，且，求直線與平面的夾角的正弦值【解析】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，則，且，又為的中點(diǎn)，底面是邊長為的菱形，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）證明：連接，底面是邊長為的菱形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，，，又，平面，又平面，，又，.（3）∵平面平面，為正三角形，為的中點(diǎn)，，平面平面，平面，底面，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得：，，，，，又，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的夾角的正弦值為．29．（2023·甘肅酒泉·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連，，∵為中位線，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．（2）如上圖，在四邊形中，過作交于，在中，得，，，則，得，∵，∴，又由已知條件，，平面，故平面，又平面，∴平面平面．（3）∵為等腰三角形，∴，又因?yàn)槠矫妫詾樵c(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：可得，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，根據(jù)，得，解得，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．30．（2023·黑龍江·大慶中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐中，，，底面是菱形，是的中點(diǎn)，．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，∵底面是菱形，且，∴是等邊三角形，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）∵,∴，∵底面是菱形，是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，即，又由（1）知，，∴以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，∴，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．31．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)，(1)證明：平面.(2)若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，，又底面為菱形，所以，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫妫砸詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋裕瑒t，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則32．（2023·四川南充·高二期末（理））如圖，四棱錐中，平面平面，平面平面，四邊形中，，，，.(1)求證：平面；(2)設(shè)，若直線與平面所成的角為，求線段的長.【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕砜傻茫驗(yàn)椋云矫妫?）如圖以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸建立空間坐標(biāo)系，在底面內(nèi)，作交于E，則，在直角中，設(shè)，則，，由，則，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，得，取，則故由直線與平面所成角大小為30°，則有，即，化簡得：，解得：或（舍去，因?yàn)椋?考點(diǎn)六平面與平面所成的角（二面角）33．（2023·湖北武漢·高二期末）如圖，在三棱柱中，平面平面，是邊長為2的正三角形，是的中點(diǎn)，，直線與平面所成的角為.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危允堑闹悬c(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫悦?(2)取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫嫫矫妫矫妫矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槭钦切危堑闹悬c(diǎn)，所以，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，，，，，所以，，，又平面的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)椋獾茫O(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，可得，所以，又平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為鈍角，則，即二面角的余弦值為.34．（2023·貴州黔東南·高二期末（理））在四棱中，(1)證明：PB⊥平面PAD；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）在中,，在中，在△PBD中，∵2，∴.平面PAB.∴AD⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴.又，PD，AD平面PAD.∴PB⊥平面PAD；（2）取AB中點(diǎn)為O，則由PA=PB，又AD⊥平面PAB，得，所以PO⊥平面ABCD以O(shè)為原點(diǎn)，方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則,，設(shè)平面BPC的法向量為則令，則，設(shè)平面APC的法向量為則令，則.....故故二面角B—PC—A的正弦值為35．（2023·四川達(dá)州·高二期末（理））如圖在四棱錐中，，，，，點(diǎn)F，Q分別為CD，PB的中點(diǎn).(1)證明：平面PAD；(2)若，平面ABCD，AP與平面ABCD所成的角為，求二面角的余弦值.【解析】(1)證明：取AB的中點(diǎn)H，連接QH，HF.∵在中，Q，H分別為BP，BA的中點(diǎn)，∴.又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.∵在梯形ABCD中，H，F(xiàn)分別為AB，DC的中點(diǎn)，∴.又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.又∵，平面QHF，平面QHF，∴平面平面PAD.又∵平面QHF，∴平面PAD.(2)由題知，EP，EA，EC互相垂直，分別以直線EC，EA，EP為x軸，y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面PAF的法向量為，則，即，不妨取，得平面PAF的一個(gè)法向量為，由題知平面EAP，∴平面PAE的一個(gè)法向量為，因，所以所求二面角的余弦值為.36．（2023·浙江·高二期末）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）證明：因?yàn)椋裕制矫嫫矫妫移矫嫫矫妫云矫妫制矫妫裕驗(yàn)闉橹悬c(diǎn)，且為等邊三角形，所以，又，所以平面；（2）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危裕善矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫妫裕桑芍裕灾悬c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．所以，，，，0，，，2，，，0，，，2，，則，0，，，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，1，，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，3，，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，得，由，所以平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．37．（2023·甘肅臨夏·高二期末（理））如圖，直三棱柱中，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，，，．(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面ABE所成的銳二面角的余弦值．【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面ABE的法向量為，則，令，則，所以，所以平面與平面ABE所成的銳二面角的余弦值為．38．（2023·江西·豐城九中高二期末）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）由題意得，，，在中，由余弦定理可得，，則，，，平面，平面，平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，平面，，又，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，連接，在平行四邊形中，由余弦定理可得，在直角三角形中，，于是、、，由得，設(shè)平面的法向量，則，取得，，易知平面的一個(gè)法向量，則，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，所以，二面角的余弦值為.考點(diǎn)七角度與距離的綜合問題39．【多選】（2023·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）如圖，在棱長為1的正方體中（

）A．與的夾角為 B．二面角的平面角的正切值為C．與平面所成角的正切值 D．點(diǎn)到平面的距離為【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，即，與的夾角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，平面的法向量可取，二面角的平面角為，則，所以，故B正確；因?yàn)椋O(shè)與平面所成角為，則，故C正確；因?yàn)椋O(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故D正確.故選：BCD.40．【多選】（2023·福建漳州·高二期末）已知正方體的棱長為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離為B．直線與平面所成角的余弦值為C．若、分別是、的中點(diǎn)，直線平面，則D．為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為定值【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A選項(xiàng)，、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，到平面的距離為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)直線與平面所成角為，所以，，則，故直線與平面所成角的余弦值為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，延長、交于點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)，，則，則，即為的中點(diǎn)，，，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，其中，，，，則，可得，，則到平面的距離為，易知是邊長為的等邊三角形，故，因此，，D對(duì).故選：ACD.41．（2023·遼寧·高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為PA和PC的中點(diǎn)．(1)證明：直線DM∥平面PBC；(2)求直線BM和平面BDN所成角的余弦值；(3)求二面角M-BD-N的正弦值；(4)求點(diǎn)P到平面DBN的距離；(5)設(shè)點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線段HA的長．【解析】(1)四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，，平面，所以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，所以，，取，則，所以，平面，所以直線平面.(2)，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.(3)設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.(4)，平面的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為.(5)設(shè)點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)，得解得，，，或者，，（舍）所以.考點(diǎn)八探索性動(dòng)點(diǎn)問題42．（2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點(diǎn)，，，四邊形為矩形．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，，則，平面的一個(gè)法向量，，，由，取，得，，，平面；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，取，解得設(shè)平面的一個(gè)法向量，由圖可知二面角為銳二面角，二面角的大小為；（3）設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由，，設(shè)，整理得，，直線與平面所成角的大小為，，則，由，得，即點(diǎn)和點(diǎn)重合，故在線段上存在一點(diǎn)，且．43．（2023·重慶南開中學(xué)高二期末）在四棱錐中，已知，，，，，，是上的點(diǎn)．(1)求證：底面；(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出該點(diǎn)的位置；不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）在中：，，所以.在中：，，，由余弦定理有：，所以，所以①又因?yàn)棰冢散佗冢悦妫寓?在中：，，，所以④，由③④，，所以面.（2）以為原點(diǎn)，以，，豎直向上分別為、、軸建立直角坐標(biāo)系.則有，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)為面的法向量，則有：，解得，設(shè)所求線面角為，則有，解得，所以.所以點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，滿足條件.44．（2023·江蘇泰州·高二期末）如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，，．(1)求二面角的大小；(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為？若存在，指出點(diǎn)Q的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）由題意得平面ABCD，且，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸正方向建系，如圖所示所以，所以，設(shè)平面PAB的法向量，則，即，令，可得，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)椋矫鍼AC，所以平面，所以即為平面的法向量，所以，又，由圖象可得二面角為銳二面角，所以二面角的大小為（2）假設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)Q，滿足題意，設(shè)，因?yàn)椋裕獾茫裕瑒t，因?yàn)槠矫鍼AB的法向量，設(shè)得PQ與平面APB所成角為所以，解得或（舍）所以在線段AD上存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為，此時(shí)，即Q為AD上靠近A的四等分點(diǎn)45．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，，且二面角為30°，求的值.【解析】（1）證明：連接，且為的中點(diǎn)

且又

且

又

平面（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,，點(diǎn)在棱上

設(shè)平面的法向量則

即令，則取平面的法向量二面角為30°解得或（舍）故：46．（2023·四川甘孜·高二期末（理））如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，，若二面角的大小為，試求的值.【解析】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)?/p>