自考線性代數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=3\)，則\(\begin{vmatrix}a_{11}&-2a_{12}\\a_{21}&-2a_{22}\end{vmatrix}\)的值為（）A.-6B.6C.-12D.122.已知矩陣\(A\)，\(B\)，\(C\)滿足\(AB=AC\)，則（）A.\(B=C\)B.\(A\)可逆時\(B=C\)C.\(A\)不可逆時\(B=C\)D.以上都不對3.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2=E\)，則（）A.\(A=E\)B.\(A=-E\)C.\(|A|=1\)D.\(|A|=\pm1\)5.設\(A\)是\(3\)階方陣，且\(|A|=2\)，則\(|2A|\)的值為（）A.4B.8C.16D.326.若\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)中\(zhòng)(r(A)=n-2\)，則基礎解系所含向量個數為（）A.\(n\)B.\(n-2\)C.2D.07.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)的特征值為（）A.1，2B.-1，-2C.1，-2D.-1，28.設\(A\)，\(B\)為同階可逆矩陣，則（）A.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)D.\(|AB|=|A||B|\)9.設向量\(\alpha=(1,-1,2)\)，\(\beta=(2,1,0)\)，則\(\alpha\cdot\beta\)等于（）A.0B.1C.2D.310.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)與\(n\)階單位矩陣\(E\)相似，則\(A\)的秩\(r(A)\)為（）A.0B.1C.\(n\)D.\(n-1\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關于矩陣運算正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數）C.\((A^T)^T=A\)D.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數）E.\(A+B=B+A\)2.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)B.\(B=0\)C.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)D.\(r(A)+r(B)\leqn\)E.\(r(A)=0\)且\(r(B)=0\)3.向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)，下列說法正確的是（）A.線性無關B.線性相關C.能構成\(R^3\)的一個基D.秩為2E.秩為34.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是對應的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\lambda\)是\(A^T\)的特征值D.\(\xi\)是\((A-\lambdaE)\)的非零解向量E.\(A\)的不同特征值對應的特征向量線性無關5.下列矩陣中，是對稱矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&3\\0&3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}\)6.對于\(n\)元非齊次線性方程組\(Ax=b\)，以下說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則有唯一解B.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則有無窮多解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則無解D.若\(r(A)=n\)，則有解E.若\(r(A|b)=n\)，則有解7.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(|A|=|B|\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)合同E.\(A\)與\(B\)等價8.已知向量\(\alpha=(1,2,-1)\)，\(\beta=(3,-1,1)\)，則（）A.\(\alpha+\beta=(4,1,0)\)B.\(\alpha-\beta=(-2,3,-2)\)C.\(2\alpha=(2,4,-2)\)D.\(\alpha\cdot\beta=0\)E.\(\|\alpha\|=\sqrt{6}\)9.設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣（\(m\neqn\)），則（）A.\(AB\)是\(m\timesm\)矩陣B.\(BA\)是\(n\timesn\)矩陣C.\(|AB|=|BA|\)D.\(r(AB)\leq\min\{m,n\}\)E.\(r(BA)\leq\min\{m,n\}\)10.下列關于線性代數的結論正確的有（）A.可逆矩陣一定滿秩B.滿秩矩陣一定可逆C.正交矩陣的行列式為\(\pm1\)D.相似矩陣具有相同的跡E.合同矩陣具有相同的秩三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\(|A+B|=|A|+|B|\)。（）2.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）3.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關，則其中任意一個向量都可由其余向量線性表示。（）4.一個\(n\)階方陣\(A\)的特征值一定是實數。（）5.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^TA=E\)。（）6.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則\(r(A)\ltn\)（\(n\)為未知數個數）。（）7.相似矩陣一定有相同的特征多項式。（）8.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關。（）9.對于任意矩陣\(A\)，\(A\)與\(A^T\)的秩相等。（）10.若矩陣\(A\)經過一系列初等行變換化為矩陣\(B\)，則\(A\)與\(B\)等價。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}\)的值。答案：根據三階行列式計算公式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)，代入計算得\(1\times2\times9+1\times3\times1+1\times1\times4-1\times2\times1-1\times1\times9-1\times3\times4=2\)。2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。答案：先求行列式\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.求向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,5)\)的秩。答案：構造矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換化為行階梯形矩陣\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}\)，非零行的行數為2，所以向量組的秩為2。4.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值。答案：根據特征方程\(|A-\lambdaE|=0\)，即\(\begin{vmatrix}2-\lambda&0&0\\0&3-\lambda&0\\0&0&3-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda)^2=0\)，解得特征值\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=\lambda_3=3\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)的解的情況與系數矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)之間的關系。答案：當\(r(A)=n\)時，方程組只有零解，因為此時方程個數與有效約束個數相同。當\(r(A)\ltn\)時，方程組有無窮多解，存在自由未知量，可生成無數組解。2.闡述相似矩陣的性質，并舉例說明其在實際問題中的應用（可簡單舉例）。答案：相似矩陣性質有：有相同的特征值、行列式、秩、跡等。例如在研究物理系統(tǒng)的振動問題中，通過相似變換可將復雜矩陣簡化，便于求解系統(tǒng)的固有頻率等參數，使問題求解更簡便。3.說明矩陣的秩與向量組的秩之間的聯(lián)系。答案：矩陣的行秩等于列秩，都等于矩陣的秩。矩陣的行向量組的秩就是矩陣的行秩，列向量組的秩就是矩陣的列秩。比如一個矩陣可由其列向量組構成，矩陣的秩決定了列向量組極大線性無關組所含向量個數。4.談談正交矩陣的定義、性質及在實際中的應用。答案：正交矩陣\(A\)滿足\(A^TA=E\)。性質有\(zhòng)(|A|=\pm1\)，其列（行）向量組是標準正交向量組。在計算機圖形學中，正交矩陣用