24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系第二十四章圓探究與應(yīng)用課堂小結(jié)與檢測(cè)探究與應(yīng)用初識(shí)概念活動(dòng)1理解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系在同一個(gè)平面內(nèi),點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系:點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓內(nèi).點(diǎn)P與☉O的位置關(guān)系如圖24-2-1所示.圖24-2-1如圖24-2-1,設(shè)☉O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為d,量一量在點(diǎn)P和☉O的三種不同位置關(guān)系中,d與r有怎樣的大小關(guān)系,根據(jù)d與r的大小關(guān)系能得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P和☉O的位置關(guān)系嗎?引發(fā)思考圖24-2-1[答案]略點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的大小關(guān)系;反過(guò)來(lái),也可以通過(guò)這種大小關(guān)系判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.記重點(diǎn)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系:設(shè)☉O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則有:點(diǎn)P在圓外?d

r;

點(diǎn)P在圓上?d

r;

點(diǎn)P在圓內(nèi)?d

r.

概括新知>=<(教材補(bǔ)充例題)如圖24-2-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3cm,AC=4cm,以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑作☉B(tài),則點(diǎn)A,C及AB,AC的中點(diǎn)D,E與☉B(tài)有怎樣的位置關(guān)系?理解應(yīng)用例

1圖24-2-2

判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的步驟(1)求出點(diǎn)到圓心的距離d;(2)找圓的半徑r;(3)比較d與r的大小關(guān)系;(4)由大小關(guān)系得到點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.學(xué)方法(1)作一個(gè)圓需要確定哪幾個(gè)關(guān)鍵要素?活動(dòng)2會(huì)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)作圓操作嘗試解:(1)作一個(gè)圓需要確定圓心的位置和半徑的大小兩個(gè)關(guān)鍵要素.(2)經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A作圓,你能作出多少個(gè)?(2)能作出無(wú)數(shù)個(gè)圓.任意三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)圓,只有不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)圓.防易錯(cuò)(3)如圖24-2-3,經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A,B作圓,你能作出多少個(gè)?圓心分布有什么特點(diǎn)?圖24-2-3(3)能作出無(wú)數(shù)個(gè)圓.圓心都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上,如圖所示.(4)如圖24-2-4,經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C能不能作圓?如果能,如何確定所作圓的圓心?圖24-2-4(4)能.因?yàn)樗蟮膱A要經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn),所以圓心到這三點(diǎn)的距離要相等,因此,圓心既要在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上,又要在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上.作法如下:①連接AB,BC;②分別作出線(xiàn)段AB,BC的垂直平分線(xiàn)l1和l2,它們交于點(diǎn)O;③以點(diǎn)O為圓心,OA(或OB,OC)為半徑作圓,便可作出經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓(如圖).l1l2O確定三角形外心的方法作三角形兩條邊的

,兩條

的交點(diǎn)為三角形的外心.

記方法垂直平分線(xiàn)垂直平分線(xiàn)1.確定圓的條件:

的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

2.三角形的外接圓與外心:經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)

可以作一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的

的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心.

概括新知不在同一條直線(xiàn)上頂點(diǎn)垂直平分線(xiàn)確定圓心的“三種方法”(1)利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性,將圓對(duì)折兩次,確定圓的兩條直徑,兩條直徑的交點(diǎn)即為圓心;(2)利用圓周角定理的推論;(3)作出此圓任意兩條弦(不平行)的垂直平分線(xiàn),交點(diǎn)即為圓心.學(xué)方法解:(1)如圖,在圓弧上依次取三點(diǎn)A,B,C;(2)連接AB,BC;(3)分別作AB,BC的垂直平分線(xiàn)a,b,它們相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O就是所求作的圓心;(4)連接OB(或OA,OC),OB(或OA,OC)就是這個(gè)圓的半徑.(教材補(bǔ)充例題)圖24-2-5是一塊殘破的輪片,試作出它所在圓的圓心和半徑.理解應(yīng)用例

2圖24-2-5ABCabO變式

已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,求△ABC的外接圓半徑.

三角形外心的位置銳角三角形的外心在三角形的

部,直角三角形的外心是

,鈍角三角形的外心在三角形的

部.

記結(jié)論內(nèi)斜邊的中點(diǎn)外經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)能作出一個(gè)圓嗎?為什么?活動(dòng)3了解反證法的證明思想猜想證明解:不能.理由:如圖,假設(shè)經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)l上的A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓.設(shè)這個(gè)圓的圓心為P,那么點(diǎn)P既在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l1上,又在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)l2上,即點(diǎn)P為l1與l2的交點(diǎn),而l1⊥l,l2⊥l,這與我們以前學(xué)過(guò)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直”矛盾.所以,經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓.反證法:假設(shè)命題的

不成立,由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,由矛盾斷定所作

不正確,從而得到

成立.這種方法叫做反證法.

概括新知結(jié)論假設(shè)原命題(教材內(nèi)容)用反證法證明“兩直線(xiàn)平行,同位角相等”.已知:如圖24-2-6,AB∥CD,直線(xiàn)EF交AB于點(diǎn)O.求證:∠1=∠2.(用反證法)理解應(yīng)用例

3圖24-2-6證明:假設(shè)∠1≠∠2,過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)A'B',使∠EOB'=∠2,如圖.根據(jù)“同位角相等,兩直線(xiàn)平行”,可得A'B'∥CD.這樣,過(guò)點(diǎn)O就有兩條直線(xiàn)AB,A'B'都平行于CD,這與平行公理“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行”矛盾.這說(shuō)明假設(shè)∠1≠∠2不正確,從而∠1=∠2.A'B'利用反證法證明的一般步驟(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)推理得出矛盾;(3)假設(shè)不成立,斷定原命題的結(jié)論成立.學(xué)方法|認(rèn)知邏輯

|課堂小結(jié)與檢測(cè)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外位置關(guān)系數(shù)量化點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)d>rd=rd<r點(diǎn)P在圓環(huán)內(nèi)r<d<R作圓過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓過(guò)兩點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓一個(gè)三角形的外接圓是唯一的|課堂檢測(cè)|1.已知☉O的直徑為6cm,若OP=5cm,則點(diǎn)P與☉O的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)P在☉O外

B.點(diǎn)P在☉O上C.點(diǎn)P在☉O內(nèi)

D.不能確定A2.小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃鏡打碎了,現(xiàn)需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡,工人師傅在一塊如圖24-2-7所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)A,B,C,給出△ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是(

)A.AB,AC邊上的中線(xiàn)的交點(diǎn)B.AB,AC邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)C.AB,AC邊上的高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)D.∠BAC與∠ABC的平分線(xiàn)的交點(diǎn)圖24-2-7B3.用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí),首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中 (

)A.有一個(gè)內(nèi)角大于60°B.有一個(gè)內(nèi)角小于60°C.每一個(gè)內(nèi)角都大于60°D.每一個(gè)內(nèi)角都小于60°C4.如圖24-2-8,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以點(diǎn)C為圓心,r