10.2事件的相互獨立性學習目標：1．理解兩個事件相互獨立的概念；2．探究事件A和事件B相互獨立的性質；3.通過對實例的分析，會進行簡單的應用.復習回顧：事件與概率隨機試驗樣本空間隨機事件隨機事件的關系與運算隨機事件的概率概率的基本性質古典概型性質6設A、B是一個隨機試驗中的兩個事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)性質3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.并事件（和事件）：A與B至少一個發生符號表示：AUB或A+B復習回顧：互斥事件概率加法公式交事件（積事件）：符號表示：A與B同時發生A∩B或AB思考1：類比并事件AUB的概率性質，你認為積事件AB發生的概率是否也與事件A、B發生的概率有關呢？這種關系會是怎樣的呢?下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題。探究1：下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B，你覺得事件A發生與否會影響事件B發生的概率嗎?

試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.

對于試驗1，因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發生與否不影響事件B發生的概率.對于試驗2，因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發生與否也不影響事件B發生的概率.思考2：

以上試驗中事件AB與A和B的概率有何聯系?試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率計算公式，得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.

從上述兩個實驗的共性中得到啟發，我們引入這種事件關系的一般

定義：試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},于是也有P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘積.

通俗地說，對于兩個事件A，B，如果其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．

反之、若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)．相互獨立事件的定義：

對任意兩個事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.獨立事件概率乘法公式判斷兩個事件是否相互獨立的方法：1.直接法：直接判斷一個事件發生與否是否影響另一事件發生的概率.2.定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.

一方面，我們知道必然事件一定發生，不受任何事件是否發生的影響；

同樣，不可能事件一定不會發生，不受任何事件是否發生的影響，

當然，他們也不影響其他事件的發生，所以它們與任意事件相互獨立。

思考3:

必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？另一方面，我們也可以利用兩個事件相互獨立的定義進行驗證：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立．

思考4

我們知道，如果三個事件A,B,C兩兩互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當三個事件A,B,C兩兩獨立時，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立.一般不成立2.設樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請驗證A,B,C三個事件兩兩獨立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.

P(A)P(B)P(C)=1/8,P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三個事件兩兩獨立,但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).

練習－－－－－－－

－－－教材249頁想一想：若等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，三個事件A,B,C兩兩獨立嗎？（習題10.2第5題）教材253頁第5題答案例1一個袋子中有標號分別為1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”,事件B=“第二次摸出球的標號小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨立?B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個樣本點.A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A與事件B不獨立.想一想：導致事件A和事件B不獨立的原因是什么？在取球問題中放回和不放回的對結果產生了哪些影響？1.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？

練習－－－－－－－

－－－教材249頁例2

甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.解：例2

甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.解：想一想：第（4）問以下解法對嗎？

方法總結：由簡單事件通過運算得到復雜事件,進而利用互斥、對立、獨立等關系計算概率.解題時要注意:

1.對事件進行分解，一方面分解為互斥的幾類簡單事件求概率；另一方面分解為獨立的事件，利用事件同時發生(乘法)求出概率.已知兩個事件A,B,那么:

(1)A,B中至少有一個發生為事件A+B.2.對事件分解時，要明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”

“恰好有一個發生”“都發生”“都不發生”等詞語的意義.(2)A,B中至多有一個發生為事件?

.(3)A,B恰好有一個發生為事件.(5)A,B都不發生為事件?

.?(4)A,B都發生為事件AB.

例3

甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為

.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.解：3.天氣預報元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內:

(1)甲、乙兩地都降雨的概率;

(2)甲、乙兩地都不降雨的概率;(3)至少一個地方降雨的概率.解：(1)甲、乙兩地都降雨的概率為0.2×0.3=0.06.

(2)甲、乙兩地都不降雨的概率為(1-0.2)×(1-0.3)=0.8×0.7=0.56.

(3)解法一:至少一個地方降雨的概率為

0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×(1-0.3)=0.44.

解法二:由(2)知,甲、乙兩地都不降雨的概率為0.56,所以至少一個地方降雨的概率為1-0.56=0.44.

練習－－－－－－－

－－－教材249頁4.拋擲一枚均勻的骰子一次,記事件A=“出現偶數點”,B=“出現3點或6點”,則事件A與B的關系是

(

)A.互斥B.相互獨立C.既相互互斥又相互獨立事件D.既不互斥又不相互獨立事件答案:B解析:因為A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以注：互斥事件和相互獨立事件是兩個不同概念:兩個事件互斥是指這兩個事件不可能同時發生;兩個事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響。教材250頁3.若P(A)>0,P(B)>0,證明：