21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程學習目標理解一元二次方程的概念并能判斷一個方程是不是一元二次方程；能將一元二次方程化為一般形式，確定各項名稱及系數；會檢驗一個數是不是一元二次方程的根.情境導入在設計人體雕像時，使雕像的上部AC（腰以上）與下部BC（腰以下）的高度比，等于下部BC與全部AB（全身）的高度比，可以增加視覺美感．

按此比例，如果雕像的高AB為2m，下部BC應設計為多高？ACB情境導入ACB雕像上部的高度AC，下部的高度BC的關系：設雕像下部高

xm，于是得方程：x2=2(2

–x)整理得：AC:BC=BC:2即BC2=2AC這個方程有什么特點，你能試著說一下嗎？x2+2x

–4=02m問題如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成300角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系：h=20t-5t2，考慮以下問題：（1）球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？(4)球從飛出到落地要用多少時間?問題情境建立方程題1如圖，果園里有一塊長為100m，寬為80m矩形桃園，在矩形的長的兩側修建了2條等寬的道路.已知果園的種植面積為7840m2，則道路的寬是多少？問題1：你打算用什么方法解決這個問題？問題2：如果設道路的寬為xm，則圖中空白部分的長為多少？問題3：依據等量關系你可以列出方程嗎？列方程為整理，得①x題2只在果園兩邊有路出入不方便.如果在矩形的四周修建等寬的道路.這樣果園的種植面積為7296m2，則道路的寬是多少？問題5：依據等量關系你可以列出方程嗎？問題4：如果設道路寬為xm，則種植部分矩形的長為多少？寬為多少？列方程：化簡，得②追問：為什么寫成這種形式？（提示：類比一元一次方程的一般式）x問題情境建立方程③題3如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形?問題7：依據等量關系你可以列出方程嗎？問題6：如果設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為多少？寬為多少？列方程：化簡，得問題情境建立方程題4要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？問題8：如果設應邀請x個隊參賽，某個隊一共比賽多少場？所有隊全部比賽共多少場？問題9：依據等量關系你可以列出方程嗎？列方程：化簡，得④問題情境建立方程方程的特點②③④一個未知數未知數的次數是1兩邊都是整式思考：將方程進行分類，并說明這些方程的特點？①②③④①②一元一次方程一元二次方程①是一元一次方程②③④是一類新的方程方程的特點①（

）個未知數一未知數的最高次數是（）2兩邊都是（）整式③④觀察類比歸納方程

例1x（x+3）=x2-1,去括號，x2+3x=x2-1整理，得3x=-1.

已知2xa-1+bxy+5x+6=0是一個一元二次方程，求代數式a+b的值.解：根據一元二次方程的定義，得方程中只含有一個未知數，所以b=0.因為方程中未知數的最高次數是2，所以a-1=2.解得a=3.所以代數式a+b=3+0=3.例2

跟蹤練習D±2一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）x2-50x+49=0x2-12x+32=0ax2+bx+c=0（a≠0）二次項，a是二次項系數一次項，b是一次項系數常數項當a＝0時，方程沒有二次項.歸納

將方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項系數為3，一次項系數為-8，常數項為-10.

例3包括前面的符號！【注意】(1）將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整；(2)系數和項均包含前面的符號.1)下面哪些數是方程的根?-4-3-2-1012342)你能寫出方程的根嗎?即:平方后是它本身的數是哪些?0或1鞏固練習A.1B.-1C.1或-1D.0B例題講解（3）若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，則a3＋2a2－7的值為____．例題講解1.一元二次方程的概念

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式

一般地,任何一個關于x的一元二次方程都可以化為的形式,我們把(a,b,c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式。4.模仿一元二次方程的定義你能對一元三次方程下個定義嗎？請你試試看！3.一元二次方程的解（根）的概念

使方程左右兩邊相等的未知數的值課堂小結-1

拓展延伸1x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.07A.3＜x

＜3.23C.3.24＜x

＜3.25D.3.25＜x

＜3.26B.3.23＜x

＜3.24C2拓展延伸5)關于x的方程中一定是一元二次方程的是（

）A.ax2＋bx＋c＝0B.mx2＋x－m2＝0C.(m＋1)x2＝(m＋1)2D.（m2＋1)x2－m2＝0D7)方程中，當k為何值時，此方程為一元二次方程？當k為何值時，此方程為一元一次方程？-2反思：關鍵是要考慮兩點：未知數的最高次項的次數最高次項的系數不等于0拓展延伸3．若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是關于x的一元二次方程，則有()A．m＝1B．m＝－1C．m＝±1D．m≠±14．已知關于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，當m________時，它是一元二次方程；當m________時，它是一元一次方程．B≠±2＝-25．根據下列問題，列出一元二次方程，并將其化為一般形式．(1)一個微信群里共有x個好友，每個好友都分別給群里其他好友發送一條消息，這樣共有756條消息；(2)兩個連續奇數的平方和為130，求這兩個奇數；(3)把一塊面積為54cm2的矩形紙片的一邊剪下5cm，另一邊剪下2cm，恰好變成一個正方形，求這個正方形的邊長；(4)一個直角三角形的斜邊長是17cm，兩直角邊之差為7cm，求較短直角邊長．綜合應用解：(1)x(x－1)＝756，化為一般形式為x2－x－756＝0

(2)設這兩個連續奇數分別為n，n＋2，則n2＋(n＋2)2＝130，化為一般形式為2n2＋4n－126＝0

(3)設這個正方形的邊長為xcm，依題意有(x＋5)·(x＋2)＝54，化為一般形式為x2＋7x－44＝0(4)設較短直角邊長為xcm，則另一直角邊長為(x＋7)cm，依題意有x2＋(x＋7)2＝172，化為一般形式為2x2＋14x－240＝0

[答案]

20小結:一元二次方程必須同時滿足:①整式方程;②只含一個未知數;③未知數的最高次數是2.注意整理后的二次項系數a≠0.11(人教9上P3改編、北師9上P32改編)下列是一元二次方程的是

(填序號).

①4－7x2＝0；

②ax2＋bx＋c＝0；③(2x－2)(x－1)＝2x2；

①

12填空：(1)關于x的方程(k－1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，則k的取值范圍是

；

(2)要使xk＋1＋x＋2＝0是關于x的一元二次方程，則k＝

.

1

k≠1

方程一般形式abc3x2－5x＝1

(x＋2)(x－1)＝6

－8

－11

－513x2＋x－8＝03x2－5x－1＝013.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它們的二次項系數a、一次項系數b和常數項c：14根據下列問題列方程，并將其化為一元二次方程的一