逆矩陣第十章行列式與矩陣基礎教學部逆矩陣的概念01逆矩陣的性質02目錄逆矩陣的求法03用逆矩陣解線性方程組043在n

元線性方程組(5-1)中，若令10.5.1逆矩陣的概念10.5.1逆矩陣的概念4則方程組（5-1）可用矩陣形式表示為AX=b（5-2）

A叫做方程組（5-1）的系數矩陣，X

叫做未知量矩陣，b

叫做常數項矩陣，式（5-2）叫做矩陣方程.方程組（5-1）中的系數與常數組成的矩陣叫做增廣矩陣，記為10.5.1逆矩陣的概念5定義1對于一個n

階方陣A，如果存在一個n階方陣B

使AB=BA=E，則稱方陣A是可逆的，并把方陣B

叫做方陣A的逆矩陣，記作A-1

.可見AA-1=A-1A=E

（5-2）例1

設矩陣驗證：B=A-1.證因為顯然AB=BA=E，即B=A-1.目錄逆矩陣的概念01逆矩陣的性質02逆矩陣的求法03用逆矩陣解線性方程組0410.5.2逆矩陣的性質7性質1如果矩陣可逆，則它的逆矩陣是唯一的.證設B、C

均為A

的逆矩陣，即則故A

的逆矩陣是唯一的.10.5.2逆矩陣的性質8性質2設A

可逆，則A-1也可逆，且(A-1)

-1=A.性質3設A

可逆，則AT

也可逆，且(AT)

-1=A(A-1)T.證因為A

可逆，則有AA-1=A-1A=E

所以

(AA-1)T=

(A-1A)T=ET=E即

(A-1)TAT=

AT(A-1)T=E故AT

可逆，且(AT)

-1=A(A-1)T.10.5.2逆矩陣的性質9性質4設A、B都是可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)

-1=B-1A-1.證

因為A、B都是可逆方陣，

則有AA-1=A-1A=E，

BB-1=

B-1B=E.因為

(AB)(AB)-1=ABB-1A-1=AEA-1=AA-1=E所以

AB也可逆，且(AB)

-1=B-1A-1.目錄逆矩陣的概念01逆矩陣的性質02逆矩陣的求法03用逆矩陣解線性方程組0410.5.3逆矩陣的求法11定義2

n階矩陣A=(aij)m×n

的n階子式叫做A的行列式，記作|A|

.

如矩陣的行列式為對于n階方陣A與B，有|AB|=|A||B|

.10.5.3逆矩陣的求法12定義3

若n階方陣A的行列式|A|≠0，則稱A為非奇異矩陣（或滿秩矩陣），否則稱A為奇異矩陣（或降秩矩陣）.定義4

設Aij

是方陣A的行列式|A|中元素aij

的代數余子式，則方陣叫做A的伴隨矩陣，記作A*

.10.5.3逆矩陣的求法13例2求三階矩陣的伴隨矩陣A*

.解因為10.5.3逆矩陣的求法14所以10.5.3逆矩陣的求法15定理n階方陣

A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，并且證必要性設A為可逆矩陣，即有A-1，使故A為非奇異矩陣.10.5.3逆矩陣的求法16充分性設A為非奇異矩陣，即有|A|≠0，故存在矩陣使得10.5.3逆矩陣的求法17充分性設A為非奇異矩陣，即有|A|≠0，故存在矩陣同理可證BA=E

.由此可知A可逆，且10.5.3逆矩陣的求法18例3求的逆矩陣A-1

.解因為A

的行列式|A|中各元素的代數余子式為而10.5.3逆矩陣的求法19并且所以10.5.3逆矩陣的求法20例4解矩陣方程AX=B

，其中解因為所以A

的逆矩陣A-1

存在，對方程兩邊左乘A-1，得即10.5.3逆矩陣的求法21因為故得故10.5.3逆矩陣的求法22利用矩陣的初等變換求逆矩陣根據

n階方陣A=(aij)n×n作

n×2n矩陣（AE）（5-4）即在矩陣A的右側加上與他同階的單位矩陣E，然后對矩陣（AE）作初等行變換，把左半側的A化成E，右半側就是A的逆矩陣A-1，即10.5.3逆矩陣的求法23例5用初等行變換求矩陣的逆矩陣A-1.解

因為10.5.3逆矩陣的求法24所以目錄逆矩陣的概念01逆矩陣的性質02逆矩陣的求法03用逆矩陣解線性方程組0410.5.4用逆矩陣解線性方程組26對于矩陣方程AX=B，如果矩陣A是可逆的，用A的逆矩陣A-1左乘方程