線性方程組解的結構第十一章線性方程組基礎教學部齊次線性方程組解的結構01非齊次線性方程組解的結構02目錄11.4.1齊次線性方程組解的結構3一個含有m

個方程n

個未知量的齊次線性方程組AX=0（稱其為AX=B的導出組）的解有以下兩個性質：性質1若X1，X2

是齊次線性方程組AX=0的任意兩個解，則X1+X2

也是AX=0的解.性質2若X1

是齊次線性方程組AX=0的任意兩個解，則kX1

也是AX=0的解.其中

k是任意實數.由性質1，2可知，齊次線性方程組AX=0解的線性組合也是它的解.即當X1，X2，…，Xs是AX=0的s

個解時，那么k1X1+k2X2+…+ksXs（k1，k2，…，ks

是任意實數）也是AX=0的解.11.4.1齊次線性方程組解的結構4由此可知，如果一個齊次線性方程組有非零解，則它就有無窮多解，這無窮多解就構成了一個維向量組.如果我們能求出這個向量組的一個極大無關組，就能用它的線性組合來表示線性方程組的全部解.定義1如果X1，X2，…，Xs是齊次線性方程組AX=0的解向量組的一個極大無關組，則稱X1，X2，…，Xs為齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系.定理1如果齊次線性方程組AX=0的系數矩陣A的秩

R(A)，則方程組一定有基礎解系，并且它的基礎解系中解向量的個數為n-r.11.4.1齊次線性方程組解的結構5例1求齊次線性方程組的一個基礎解系.解11.4.1齊次線性方程組解的結構6方程組的一般解為其中x3，x4為自由未知量.11.4.1齊次線性方程組解的結構7讓自由未知量(x3，x4)T取值(1，0)T，

(0，1)T

,可以得方程組的兩個解為可以證明X1，X2，就是方程組的一個基礎解系.11.4.1齊次線性方程組解的結構8例2求齊次線性方程組的基礎解系和全部解.解11.4.1齊次線性方程組解的結構9方程組的一般解為其中x3，x4，x5為自由未知量.令

x3=1，x4

=0，x5=0，得X1=(-2,1,1,0,0)T；令

x3=0，x4

=1，x5=0，得X2=(-1,-3,0,1,0)T；令

x3=0，x4

=0，x5=1，得X3=(2,1,0,0,1)T.所以，方程組的基礎解系為X1，X2，X3.全部解為

k1X1+k2X2

+k3X3（k1,k2,k3為任意實數）.齊次線性方程組解的結構01非齊次線性方程組解的結構02目錄11.4.2非齊次線性方程組解的結構11含有m

個方程n

個未知量的線性方程組AX=B的解與其導出組AX=0的解滿足以下兩個性質：性質3若X1，X2

是非齊次線性方程組AX=B

的任意兩個解，則X1-X2

是其導出組AX=0的一個解.性質4若X0

是非齊次線性方程組AX=B

的一個解，是其導出組AX=0的一個解，則是方程組AX=B的一個解.定理2設X0是非齊次線性方程組AX=B的一個解，則方程組AX=B的任一解X

可以表示成X0與其導出組AX=0的某個解之和.11.4.2非齊次線性方程組解的結構12由定理2可知，如果非齊次線性方程組AX=B有解，則只需要求出它的一個解X0（稱為特解），并求出其導出組AX=0的一個基礎解系X1，X2，…，Xn-r，則其全部解可以表示為其中k1，k2，…，kn-r是任意實數，r

是A

的秩.如果非齊次線性方程組的導出組僅有零解，則該非齊次線性方程組只有一個解；如果其導出組有無窮多個解，則該非齊次線性方程組也有無窮多解.11.4.2非齊次線性方程組解的結構13例3用基礎解系表示下列線性方程組的全部解解利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成行最簡形矩陣，即11.4.2非齊次線性方程組解的結構14方程組的一般解為令x3=x4=0，得方程組的一個特解其中x3，x4為自由未知量..11.4.2非齊次線性方程組解的結構15方程組的導出組的一般解為令x3=1，x4=0，得其中x3，x4為自由未知量..令x3=0，x4=1，得所以，方程組的全部解為其中k1,k2,k3為任意實數.11.4.2非齊次線性方程組解的結構16例4

l，m取何值時，下列線性方程組無解？有解？有解時求出其全部解.解對方程組的增廣矩陣進行初等行變換：11.4.2非齊次線性方程組解的結構17（1）當m≠5時，因為，所以方程組無解；（2）當m=5但

l≠-