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文檔簡介

矩陣的初等變換矩陣的秩第十章行列式與矩陣基礎(chǔ)教學(xué)部矩陣的初等變換01矩陣的秩02目錄10.4.1矩陣的初等變換3定義1對(duì)矩陣施行以下三種變換，叫做矩陣的初等行變換.（1）互換矩陣的某兩行（第

i行與第

j行互換，記為

ri?rj）；（2）用一個(gè)非零的數(shù)k

乘矩陣某一行的所有元素（第

i行乘k，記為kri）；（3）將某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去，（第j行的k倍加到第

i行上，記為ri+krj）.相應(yīng)地，也有矩陣的初等列變換，其表示方法與初等行變換相仿，即把r換成c即可.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.10.4.1矩陣的初等變換4例1用初等變換將矩陣化為單位矩陣.解矩陣的初等變換01矩陣的秩02目錄10.4.2矩陣的秩6定義2在m×n

矩陣A

中，任取k行和k列（k≤min(m,n)），位于這些行與列交叉處的元素，保持原來的相對(duì)位置所構(gòu)成一個(gè)k階行列式，叫做矩陣A

的一個(gè)k階子式.

如果子式的值不為零，則叫做非零子式.例如第一、二行，第二、三列交叉處的元素構(gòu)成的二階子式為10.4.2矩陣的秩7定義3設(shè)A

為m×n

矩陣，矩陣A中非零子式的最高階數(shù)r叫做矩陣A的秩.記作R(A)，即R(A)=r

.當(dāng)A=O

時(shí)，規(guī)定R(A)=0

.10.4.2矩陣的秩8例2求矩陣的秩.解

因?yàn)锳

的所有三階子式均為零，即而它的一個(gè)二階子式所以矩陣A的秩為R(A)=2

.10.4.2矩陣的秩9定義4

滿足下列兩個(gè)條件的矩陣叫做行階梯形矩陣：（1）矩陣的零行在矩陣的最下方；（2）非零行的第一個(gè)不為零的元素（稱為首非零元）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大.非零行的第一個(gè)不為零的元素下面全是0

.例如行階梯形矩陣非行階梯形矩陣10.4.2矩陣的秩10定義5

如果階梯形矩陣滿足以下兩個(gè)條件：（1）非零行的首非零元(稱為主元)都是1；（2）所有首非零元所在列的其余元素都是零.則把此階梯形矩陣叫做行簡行形矩陣.例如行最簡形矩陣10.4.2矩陣的秩11任一矩陣都可以用一系列初等行變換化成行階梯形矩陣，任一行階梯形矩陣可以用一系列初等行變換化成行簡形矩陣.關(guān)于初等變換和矩陣的秩有以下兩個(gè)重要結(jié)論：（1）初等變換不改變矩陣的秩；（2）矩陣的秩等于其階梯形矩陣非零行的行數(shù).用初等變換求矩陣秩的方法：對(duì)矩陣施行初等行變換，使其化為階梯形矩陣，階梯形矩陣非零的行數(shù)為該矩陣的秩.10.4.2矩陣的秩12例3

把矩陣化成行簡化階梯形矩陣.解先把矩陣A

化成階梯形矩陣，然后再化成行簡化階梯形矩陣，10.4.2矩陣的秩13例4

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