1/5【例題與講解】數據的離散程度1．極差定義：一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差，即極差＝最大值－最小值．極差反映了這組數據的波動范圍．談重點極差(1)極差是最簡單、最便于計算的一種反映數據波動情況的量，極差能夠反映一組數據的波動范圍；(2)在對一組數據的波動情況粗略估計時經常用到極差；(3)極差僅僅反映了數據的波動范圍沒有提供數據波動的其他信息，且受極端值的影響較大；(4)一組數據的極差越小，這組數據就越穩定．【例1】在一次體檢中，測得某小組5名同學的身高分別是170,162,155,160,168(單位：cm)，則這組數據的極差是__________cm.解析：根據極差的概念，用最大值減去最小值即可，170－155＝15(cm)．答案：152．方差(1)定義：設有n個數據x1，x2，x3，…，xn，各數據與它們的平均數的差的平方分別是(x1－eq\x\to(x))2，(x2－eq\x\to(x))2，(x3－eq\x\to(x))2，…，(xn－eq\x\to(x))2，用它們的平均數來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差．(2)方差的計算公式：通常用s2表示一組數據的方差，用eq\x\to(x)表示這組數據的平均數．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋(x3－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(3)標準差：標準差就是方差的算術平方根．談重點方差(1)方差是用來衡量一組數據的波動大小的重要的量，方差反映的是數據在它的平均數附近波動的情況；(2)對于同類問題的兩組數據，方差越大，數據的波動越大，方差越小，數據的波動越小；(3)一組數據的每一個數據都加上(或減去)同一個常數，所得的一組新數據的方差不變；(4)一組數據的每一個數據都變為原來的k倍，則所得的一組新數據的方差將變為原數據方差的k2倍．【例2】已知兩組數據分別為：甲：42,41,40,39,38；乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.計算這兩組數據的方差．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(42＋41＋40＋39＋38)＝40，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2.eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.3．極差與方差(或標準差)的異同相同之處：(1)都是衡量一組數據的波動大小的量；(2)一組數據的極差、方差(或標準差)越小，這組數據的波動就越小，也就越穩定．不同之處：(1)極差反映的僅僅是數據的變化范圍，方差(或標準差)反映的是數據在它的平均數附近波動的情況；(2)極差的計算最簡單，只需要計算數據的最大值與最小值的差即可，而方差的計算比較復雜．【例3】已知甲、乙兩支儀仗隊隊員的身高如下(單位：cm)甲隊：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179乙隊：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180(1)將下表填完整：身高(cm)176177178179180甲隊(人數)340乙隊(人數)211(2)甲隊隊員身高的平均數為_____cm，乙隊隊員身高的平均數為____cm；(3)這兩支儀仗隊隊員身高的極差、方差分別是多少？解：(1)甲隊從左到右分別填：0,3，乙隊從左到右分別填：4,2；(2)178,178；(3)經過計算可知，甲、乙兩支儀仗隊隊員身高數據的極差分別為2cm和4cm，方差分別是0.6和1.8.4．運用方差解決實際問題方差是反映一組數據的波動大小的統計量，通過計算方差，可以比較兩組數據的穩定程度，進而解決一些實際問題．對于一般兩組數據來說，可從平均數和方差兩個方面進行比較，平均數反映一組數據的一般水平，方差則反映一組數據在平均數左右的波動大小，因此從平均數看或從方差看，各有長處．方差的計算可用一句話“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的程度．方差的單位是原數據的平方單位，方差反映了數據的波動大小，在實際問題中，例如長得是否整齊一致、是否穩定等都是波動體現．點技巧方差反映波動情況在實際問題中，如果出現要求分析穩定性的問題，因為方差是反映數據的波動大小的量，所以一般就要計算出各組數據的方差，通過方差的大小比較來解決問題．【例4】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，記錄如下：甲9582888193798478乙8392809590808575(1)請你計算這兩組數據的平均數、中位數；(2)現要從中選派一人參加操作技能比賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪名工人參加合適？請說明理由．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.這兩組數據的平均數都是85.這兩組數據的中位數分別為83,84.(2)派甲參賽比較合適．理由如下：由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41，∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適．5．運用用樣本估計總體的思想解決實際問題統計學的基本思想是用樣本估計總體，它主要研究兩個基本問題：一是如何從總體中抽取樣本，二是如何通過對所抽取的樣本進行計算和分析，從而對總體的相應情況作出推斷．用樣本估計總體是統計的基本思想，正像用樣本的平均數估計總體的平均數一樣，考察總體方差時，如果所要考察的總體包含很多個體，或考察本身帶有破壞性，實際中常常用樣本的方差來估計總體的方差．方差是反映已知數據的波動大小的一個量．在日常生活中，有時只用平均數、中位數和眾數難以準確地分析一組數據時，就要用方差來評判．但是并不是方差越小越好，要根據問題的實際情況靈活運用數據分析問題，作出正確的判斷．注：在解決問題或決策時，應運用統計思想，搞清楚特殊和一般的關系，具體問題具體對待．全方位、多角度地分析與評判是關鍵．【例5】某運動隊欲從甲、乙兩名優秀選手中選一名參加全省射擊比賽，該運動隊預先對這兩名選手進行了8次測試，測得的成績如下表：次數選手甲的成績(環)選手乙的成績(環)19.69.529.79.9310.510.3410.09.759.710.569.910.3710.010.0810.69.8根據統計的測試成績，請你運用所學過的統計知識作出判斷，派哪一位選手參加比賽更好？為什么？解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(9.6＋9.7＋…＋10.6)＝10.0，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(9.5＋9.9＋…＋9.8)＝10.0.seq\o\al(2,甲)＝0.12，seq\o\al(2,乙)＝0.1025.結果甲、乙兩選手的平均成績相同，seq\o\al(2,甲)＞