2024級校際聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，的虛部是（）A. B.2 C. D.2.已知，為平面內(nèi)一組基底，，，，若，，三點共線，則的值為（）A. B. C.2 D.53.已知，，表示不同的直線，，表示不同的平面，下面四個命題錯誤的有（）A.若，，則；B.若，，，，則；C.若，，則；D.，，則.4.拋擲兩枚質(zhì)地均勻骰子，則向上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.5.某市為了解全市12000名高一學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全市高一學(xué)生中隨機抽取了1000名學(xué)生進行體能測試，并將這1000名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中正確的是（）A.圖中一組的頻率為0.015B.估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C.估計樣本數(shù)據(jù)分位數(shù)為88.75D.由樣本數(shù)據(jù)可估計全市高一學(xué)生體測成績優(yōu)異（80分及以上）的人數(shù)約為7000人6.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量某建筑的高度，選取了在同一水平面上的，，三處（垂直于平面），如圖.已知在，，處測得該建筑頂部的仰角分別為，，，是的中點，米，則該建筑的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米7.已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的最大值為（）A. B. C. D.8.刻畫空間彎曲性是空間幾何研究的重要內(nèi)容，我們常用曲率來刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，則其各個頂點的曲率均為.若正四棱錐的側(cè)面與底面的夾角的正切值為，則四棱錐在頂點處的曲率為（）A B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分）9.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限C. D.復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為10.為加強青少年科學(xué)健身普及和健康干預(yù)，讓年輕一代在運動中強意志、健身心，某校舉辦一場籃球賽，其中每隊上場5人，每人得分情況如下表（單位：分），則下列結(jié)論正確的是（）甲隊乙隊51023128881576A.運動員得分極差甲隊大于乙隊 B.運動員得分均值甲隊小于乙隊C.甲隊運動員得分75%分位數(shù)為8 D.相較于甲隊，乙隊運動員實力更均衡11.如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，Q是線段上的動點，則（）A.存在點Q，使平面MBN B.不存在點Q，使B，N，P，Q四點共面C.三棱錐Q-BCN體積是定值 D.經(jīng)過C，M，B，N四點的球的表面積三、填空題（每小題5分，共15分）12.哪吒系列手辦盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4個人物手辦，小明隨機購買2個盲盒（2個盲盒內(nèi)人物一定不同），則恰有哪吒及其父母中的一位的概率為________.13.多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體，正八面體、正十二面體、正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的體積的比為________.14.四面體中且異面直線與所成角為若四面體外接球半徑為則四面體的體積的最大值為__________.四、解答題（5道小題，共77分）15.已知．（1）若，求；（2）若：（i）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（ii）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，該公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的準(zhǔn)確性．運用上述思想，計算的值．（結(jié)果精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù)：）16.如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.（3）若，，求三棱錐的體積.17.在高一學(xué)生預(yù)選科之前，為了幫助他們更好地了解自己是否適合選讀物理，我校從高一年級中隨機抽取了100名學(xué)生的物理成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并估算高一學(xué)生的物理平均分?jǐn)?shù)；（2）若根據(jù)這次成績，學(xué)校建議70%的學(xué)生選報物理，30%的學(xué)生選報歷史，某同學(xué)想選報物理，請問他的物理成績應(yīng)不低于多少分？（小數(shù)點后保留一位）（3）現(xiàn)學(xué)校要選拔學(xué)生參加物理競賽，需要再進行考試.考試分為兩輪，第一輪需要考2個模塊，每個模塊成績從高到低依次有，，，，五個等級，若兩個模塊成績均為，則直接參加；若一個模塊成績?yōu)椋硪粋€模塊成績不低于，則要參加第二輪實驗操作，實驗操作通過也能參加，否則均不能參加.現(xiàn)有甲、乙二人報名參加，二人互不影響，甲在每個模塊考試中取得，，，，的概率分別為；乙在每個模塊考試中取得，，，，的概率分別為，甲、乙在實驗操作中通過的概率分別為.求甲、乙能同時參加物理競賽的概率.18.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角的值；（2）若的面積，且，求；（3）若，求三角形周長的取值范圍.19.如圖，在棱長為4的正方體中，為的中點，過，，三點的平面與此正方體的面相交，交線圍成一個多邊形.（1）在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由）；（2）平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比（其中）；（3）若點是側(cè)面內(nèi)的動點，且，當(dāng)最小時，求三棱錐的外接球的表面積.

2024級校際聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）【1題答案】【答案】A【2題答案】【答案】D【3題答案】【答案】C【4題答案】【答案】B【5題答案】【答案】C【6題答案】【答案】B【7題答案】【答案】C【8題答案】【答案】D二、多選題（每小題6分，共18分）【9題答案】【答案】ACD【10題答案】【答案】AD【11題答案】【答案】ACD三、填空題（每小題5分，共15分）【12題答案】【答案】【13題答案】【答案】【14題答案】【答案】四、解答題（5道小題，共77分）【15題答案】【答案】（1）或（2）（i）；（ii