預習03直線與平面的夾角、二面角內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：7大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1直線與平面所成的角（1）定義一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）規定（3）判斷方法若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點作平面的垂線，找出直線在平面內的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉化到直角三角形、等邊三角形中求解．（4）利用空間向量求解知識點2二面角（1）二面角的概念定義從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形．畫法記法二面角的平面角（2）用向量運算求平面與平面所成的角【題型1傳統方法求直線與平面的夾角】【答案】A故選：AA． B． C． D．【答案】B故選：B【答案】【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見詳解(2)【題型2利用空間向量求直線與平面的夾角】【詳解】解法一：如圖所示，設是的中點，連接，建立空間直角坐標系，【答案】【詳解】如圖，以A為坐標原點，AB、AD、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，故答案為：【點睛】方法點睛，在求線面角的的正弦值問題時，一般采用空間直角坐標系來完成，所以建系設線段長是本題的關鍵.關于動點問題，一般我們采用向量共線的方法設出動點坐標，然后借助空間向量的夾角求得線面角.【答案】(1)(2)【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）如圖，取的中點，連接、，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，【題型3已知線面角求其他】【答案】C【詳解】如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，故選：CA． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，故選：B.【答案】故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，【答案】(1)證明見解析(2)（2）方法一：方法二：【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接BO，DO，以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，【題型4傳統方法求二面角】A． B． C． D．【答案】C故選：CA． B． C． D．【答案】A故選：A

【答案】故答案為：.【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見解析(2)如圖1，連接，【題型5利用空間向量求二面角】【答案】A故選：A

【答案】D以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

故選：D.

【答案】BC【詳解】根據題意作圖：

故選：BC.【詳解】連接交于，故答案為：.(2)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：取棱CD的中點G，連接EG，（2）取棱BC的中點M，AD的中點O，連接OM，則OA，OM，OE兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，設平面ADE與平面BCF所成的角為，【答案】(1)證明見解析；(3).以O為坐標原點，，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，【題型6已知二面角求其他】【答案】A所以線段AQ長度的最小值是.故選：A.【答案】D所以的值可能為和.故選：D.【答案】故答案為：.【答案】1故答案為：1【答案】(1)證明見解析(2)（2）【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）（1）連接CO．（2）延長CO交AB于點F，則F為AB的中點，以O為原點，OD，OF，OP所在直線分別為x，y，z:軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面AOR與平面AOB的夾角為，【答案】(1)證明見解析(2)1或3【題型7夾角的探索性問題】【答案】(1)選條件②，證明見解析；【點睛】關鍵點睛：解決第（2）問的關鍵是正確建立適當的空間直角坐標系，正確表示點P的坐標.【答案】(1)；【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）連接，交于點，又因為為的中點，(1)試在上確定點的位置，使、、、四點共面，并證明；【答案】(1)為中點，證明見解析(2)【詳解】（1）取中點，連接、，（2）取中點，連接、，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，（3）假設在棱上存在點滿足題設條件，(1)求線段的長；故AD、AB、PA兩兩垂直，一、單選題【答案】A連接、、，如下圖所示：解法二：分別取線段、的中點、，連接、、，如下圖所示：故選：A.2．已知圓臺的上?下底面半徑分別是1和2，且該圓臺的表面積為，則圓臺的母線與底面所成的角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】D根據線面角定義求出母線與底面所成角，所以圓臺的母線與底面所成的角的正切值為．故選：D．A． B． C． D．【答案】D從而直線與直線夾角的余弦值為，故選：D．故所求兩直線夾角的余弦值為，故選：D．

【答案】D【詳解】由題意知CA，CB，兩兩垂直，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

故選：D.【答案】D【詳解】以為坐標原點，建系如圖，所以的軌跡是過點的一條直線，又因為Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），所以的軌跡是過點的一條線段，故選:D.二、多選題6．直線的方向向量為，平面的法向量，則下列命題為真命題的是（）【答案】ABD【詳解】根據向量表示的線線，線面的位置關系可知，AB正確；故選：ABDA．點P在直線上運動時，直線與直線所成角的大小不變【答案】CD故選：CD三、填空題【答案】故答案為：①；②.【答案】故答案為：.【答案】/0.4故答案為：四、解答題【答案】∴所求二面角的正切值為.【答案】(1)證明見詳解(2)【答案