學習單元一.液體流動的基本概念

虐一、描述液體運動的兩種方法______________________________________

要研究液體運動的規律，就要建立描述液體運動的方法。在流體力學中，

表達流體的運動形態和方式有兩種不同的基本方法：拉格朗日法和歐拉法。

1.拉格朗日法

拉格朗日法是由法國科學家J.L.拉格朗日作了獨立的、完整的表述和具

體運用，又稱隨體法。該方法著眼于流體內部各質點的運動情況，描述流體

的運動形態。按照這個方法，在連續的流體運動中，任意流體質點的空間位

置,將是質點的起始坐標(4仇。(即當時間。等于起始值to時的坐標)以及

時間廣的單值連續函數。若以r代表任意選擇的質點在任意時間匕的矢徑，

則：矢徑與質點坐標可以表示為：

r=r{a,b,c,f)

X=x(a,b,c,t)

y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)

式中，,在x、y、z軸上的投影為x、y、z：a、b、c稱為拉格朗

日變量。

當研究對象為某一確定的流體質點時，起始坐標久久c將為常數，r

以及Ky、z將只是時間f的函數；此時上式所表達的將是這個流體質點

運動的軌跡。

當研究的對象不是某一確定的流體質點，而是在某一確定時間中，各流

體質點的分布情況，即時間t為一常數，，及X、y、z將只是起始坐標義

仇c的函數；在這種情況下，式子所表達的將不是某流體質點的歷史情況，

而是同一瞬間，由各質點所組成的整體狀況.

將式上述拉格朗日表達式對時間求一階和二階導數，可得任意流體質點

的速度和加速度為：

二〃(〃/,c,t)

w=—=w(a,b,c,t)

dt

dud2x/.、

A=3=*=a、(a，b,c,t)

dvd2y

怎=G"=『=%(〃，"c")

dtdr

d\vd2z

a.=—=—r=a.(a,b,c,t)

dtdt1

描述了整個流場中所有質點的規律，就可以描述整個流動。

2.歐拉法

歐拉法，又稱流場法，是瑞士學者歐拉提出并發展完善的一種研究描述

流體運動的方法。是從分析流場中每一個空間點上的流體質點的運動著手，

來研究整個流體的運動的，即研究流體質點在通過某一空間點時流動參數隨

時間的變化規律。所以流體質點的流動要素是空間點坐標(x,y,z)和時

間t的函數，例如：流體質點的三個速度分量、壓強和密度可表示為：

U=u(x,y,z,t)

v=v(x,y,z,t)

w二w(x,y,z,t)

式中，u,v,w分別表示速度矢量在三個坐標軸上的分量：舊二行十》十族

〃=p(x,y,z")

p=p(x,z")

當參數X,y,z不變而改變時間t,則表示空間某固定點的速度隨時間

的變化規律。當參數t不變，而改變x,y,z,則代表某一時刻，空間各點

的速度分布。

x,y,z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標，另一方面它代表

流體質點在空間的位移。根據流體連續介質假設，每一個空間點上都有流體

質點所占據。而占據每一個空間點上的流體質點都有自己的速度，有速度必

然產生位移。也就是說，空間坐標x,y,z也是流體質點位移的變量，它也

是時間t的函數：

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

將上式對時間求導可以獲得速度的表達公式：

dxdydz

u=—v=-w=—

山；dt;山。

再對時間求導可以獲得在三個坐標方向的加速度：

ducu包

a=—+u—++a-w

r②&

dtdx"

dvdv+8

a=——+u——十②-

■vdtdx

包

az啜

dwdw

a,=—+〃—t辦

dtdx

用矢量表示法記為'=而十%"或。

由上述公式可知，用歐拉法求得的流體質點的加速度由兩部分組成；第

一部分是由于某一空間點上的流體質點的速度隨時間的變化而產生的，稱為

dudvdw

當地加速度，即式中等式右端的第一項正、百、不；第二部分是某一瞬時

由于流體質點的速度隨空間點的變化稱為遷移加速度，即式中等式右端的后

dudi<dudvdvdvdwdvvdw

U--FV--FW-U--FV--FW-U--FV--1-W--

三項dx/及、&本及、&8Sz等；當地加速度和遷移

加速度之和稱為總加速度。為了加深對當地加速度和遷移加速度的理解，現

舉例說明這兩個加速度的物理意義。如下圖所示，不可壓縮流體流過一個中

間有收縮形的變截面管道，截面2比截面1小，則截面2的速度就要比截

面1的速度大。所以當流體質點從1點流到2點時，由于截面的收縮引起

速度的增加，從而產生了遷移加速度，如果在某一段時間內流進管道的流體

輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點上流體質點的速度將相應發

生變化（增大或減少），從而產生了當地加速度。

采用歐拉法描述流體的流動，常常比采用拉格朗日法優越，其原因有三。

一是利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數學工具來研究。二是采用

歐拉法，加速度是一階導數，而拉格朗日法，加速度是二階導數，所得的運

動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數學上一階偏微分

方程比二階偏微分方程求解容易。三是在工程實際中，并不關心每一質點的

來龍去脈，往往只關心在某一空間位置的液體運動要素，如水文觀測，水龍

頭出水速度和壓力等。基于上述三點原因，歐拉法在流體力學研究中廣泛被

采用。當然拉格朗日法在研究爆炸現象、環境污染物分析以及計算流體力學

的某些問題中還是方便的。

喧二、液體運動學的幾個基本概念_______________________________________

1、流線與跡線

跡線是流場中某一質點運動的軌跡。例如在流動水中含有比較輕的浮渣

老馬，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點的運動軌跡，也就是跡線。流場

中所有的流體質點都有自己的跡線，跡線是流體運動的一種幾何表示，可以

用它來直觀形象地分析流體的運動，清楚地看出質點的運動情況。跡線的研

究是屬于拉格朗日法的內容，跡線表示同一流體質點在不同時刻所形成的曲

蟲=蟲=里

線，其數學表達式為：〃VW

流線是某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質點

的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質點所組成的

曲線，如圖所示。

流線可以形象地給出流場的流動狀態。通過流線，可以清楚地看出

某時刻流場中各點的速度方向，由流線的密集程度，也可以判定出速度的大

小。流線的引入是歐拉法的研究特點。例如在流動水面上同時撤一大片木屑，

這時可看到這些木屑將連成若干條曲線，每一條曲線表示在同一瞬時各水點

的流動方向線就是流線。

1.1流線的基本特性

(1)在運動要素不隨時間變化的定常流動時，因為流場中各流體質點的

速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和

跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡

線不相重合。

(2)通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相

交和分支。否則在同一空間點上流體質點將同時有幾個不同的流動方向。只

有在流場中速度為零或無窮大的那些點，流線可以相交，這是因為，在這些

點上不會出現在同一點上存在不同流動方向的問題。速度為零的點稱駐點，

速度為無窮大的點稱為奇點。

(3)流線不能突然折轉，是一條光滑的連續曲線。跡線可以轉折和相交。

(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示

該處的流速較小。跡線只能表示流速的方向，無法表示流速的大小。

2、流線微分方程

設在某一空間點上流體質點的速度矢量爐=〃：+a+/，通過該點流線上

的微元線段優=心7+昉+d"。由流線的定義知，空間點上流體質點的速度與

流線相切。根據矢量分析，這兩個矢量的矢量積應等于零，即

ijk

—?—*

Vxd￡=uvvt=0

dxdvdz

udy-vdx=0

vdz一卬dy=0dr__dz

即：w(h-//(iz=0〃(x,y,zj)v(x,y,zj)vv(x,y,zj)這就是流線的微分方程，

式中時間t是個參變量。如果流速分布已知可以根據流線方程構建微分方程

求出流線的規律，從而判斷流動的特征。

值三■流管.元流和總流

在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些

流線組成一個管狀表面，稱之為流管。如圖所示。因為流管是由流線構成的，

所以它具有流線的一切特性，流體質點不能穿過流管流入或流出(由于流線

不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內流動。

過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。

當流束的橫截面積趨近于零時，則流束達到它的極限一一流線。

在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。流線相互平行時，有

效截面是平面。流線不平行時，有效截面是曲面，如下圖所示。有效截面面

積為無限小的流束和流管，稱為微元流束和微元流管。在每一個微元流束的

有效截面上，各點的速度可認為是相同的。

無數微元流束的總和稱為總流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都

是總流。根據總流的邊界情況，可以把總流流動分為三類：

(1)有壓流動總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，

如壓力水管中的流動。

(2)無壓流動總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體

接觸，形成自由液面，如明渠中的流動。

(3)射流總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動。

在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度稱為濕周，用符號X

表小。

總流的有效截面面積與濕周之比稱為水力半徑，用符號Rh表示，即

凡一

x

關于濕周和水力半徑的概念在非圓截面管道和管束的水力計算中常常

用到。

過水斷面、流量、斷面平均流速

流管中與流線垂直的斷面稱為過水斷面：單位時間內通過過水斷面的流

體體積稱為體積流量，以Qv表示。其單位為m3/s、m3/h等。

單位時間內通過有效截面的流體質量稱為質量流量，以Qm表示，其單

位為kg/s、t/h等。

由于微元流束有效截面上各點的流速U是相等的，所以通過微元流束有

效截面積為的體積流量dQv和質量流量dQm分別為：

dQv=udA

dQm=pudA

由于總流是由無限多的微元流束組成的，所以通過流束有效截面面積為

的流體體積流量和質量流量分別由上式積分求得，即

Qv=

A

Q.n=JJ

A

以上計算必須先找出微元流束的速度u在整個流束有效截面上的分布

規律，這在大部分工程問題中是不能用解析法來確定的。在工程計算中為了

方便起見，引入平均流速的概念。平均流速是一個假想的流速，即假定在過

水斷面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該過水斷面上的體積流量

仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。

A4

虐四、定常流動和非定常流動___________________________________________

根據流體的流動參數是否隨時間而變化，可將流體的流動分為定常流動

和非定常流動，現舉例說明如下：如下圖所示裝置，將閥門A和B的開度

調節到使水箱中的水位保持不變，則水箱和管道中任一點（如1點、2點和3

點等）的流體質點的壓強和速度都不隨時間而變化,但由于1、2、3各點所

處的空間位置不同，故其壓強和速度值也就各不相同。這時從管道中流出的

射流形狀也不隨時間而變。這種運動流體中任一點的流體質點的流動參數

（壓強和速度等）均不隨時間變化，而只隨空間點位置不同而變化的流動，稱

為定常流動。現將閥門A關小，則流入水箱的水量小于從閥門B流出的水

量，水箱中的水位就逐漸下降，于是水箱和管道任一點流體質點的壓強和速

度都逐漸減小，射流的形狀也逐漸向下彎曲。這種運動流體中任一點流體質

點的流動參數（壓強和速度等）隨時間而變化的流動，稱為非定常流動。由上

可見，定常流動的流場中，流體質點的速度、壓強和密度等流動參數僅是空

間點坐標X、V、Z的函數，而與時間t無關，用。表示任一流動參數（即。可

表示U,V,W,p,P等），則

(p=(p(x,y,z)

由于是定常流動，故其流動參數對時間的偏導數等于零，即

d(p

=0

~dt

因此，在定常流動中只有遷移加速度。例如上圖中，當水箱的水位保持

不變時，2點到3點液體質點的速度減小，而4點到5點速度增加，都是由

于斷面變化而引起的遷移加速度。若遷移加速度為零，則為均勻流動，例如

流體質點在等截面管道中的流動（3點到4點）。

在供水和通風系統中，只要泵和風機的轉速不變，運轉穩定，則水管和

風道中的流體流動都是定常流動。又如火電廠中，當鍋爐和汽輪機都穩定在

某一工況下運行時，主蒸汽管道和給水管道中的流體流動也都是定常流動。

可見研究流體的定常流動有很大的實際意義。

流動要素（如速度）隨時間的變化而變化的流動稱為非定常流動，非定

常流動中，流速不僅是位置坐標的函數，也是時間的函數。

值五、一元、二元和三元流動

從運動要素的變化與多少個空間坐標變量有關的角度考慮，液體的流動

可以分為一元流動、二元流動和三元流動。

若流動要素隨三個坐標方向變化的流動稱為三元流動；運動要素只隨兩

個坐標變量變化的流動，就是二元流動；如運動要素只隨一個坐標變量變化，

則稱為一元流動。

實際流體力學問題，大多屬于三元流或二元流。但由于考慮多維問題的

復雜性，在數學上有相當大的困難。為此，有的需要進行簡化。最常用的簡

化方法，就是引入過流斷面平均流速的概念，把水流簡化為一維流，用一維

分析方法研究實際上是多維的水流問題，但用一維流代替多維流所產生的誤

差，要加以修正，修正系數一般用試驗的方法來解決。

曲六、均勻流和非均勻流________________________________________________

根據流場中同一條流線各空間點上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均

勻流。若相同則稱為均勻流，否則稱為非均勻流。由此定義可知在均勻流中，流線是

彼此平行的直線，過水斷面（有效截面）是平面。使用力的平衡原理還可以證明：對

于均勻流斷面壓強分布服從靜壓強分布，即均勻流統一斷面上的測壓管水頭均相等。

如在等直徑的直管道內的水流都是均勻流。注意在均勻流中各流線上的流速大小不定

彼此相等.在非均勻