2025年福建省中考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）下列實數中，最小的數是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．22．（4分）中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數學數量關系的內在聯系及其規律的一種文學浪漫形式．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）若x?1在實數范圍內有意義，則實數x的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．24．（4分）福建博物院收藏著一件“鎮館之寶”——云紋青銅大鐃，如圖1．云紋青銅大鐃是西周樂器，鼓飾變形獸面紋，兩側飾云雷紋，渾大厚重，作風穩重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經的歷史和輝煌．圖2為其示意圖，它的主視圖是（）A． B． C． D．5．（4分）不等式12xA． B． C． D．6．（4分）在分別寫有﹣1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數恰好互為相反數的概率是（）A．14 B．13 C．127．（4分）某數學興趣小組為探究平行線的有關性質，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點A，E，C，F在同一條直線上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．當AD∥BC時，∠ADE的大小為（）A．5° B．15° C．25° D．35°8．（4分）為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設矩形的一邊長為x米，根據題意可列方程（）A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝69．（4分）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO的延長線交⊙O于點C．AB∥PC，且交⊙O于點B．若∠P＝30°，則∠BCP的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．（4分）已知點A（﹣2，y1），B（1，y2）在拋物線y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，則下列判斷正確的是（）A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）為響應“體重管理年”有關倡議，小敏對自己的體重進行了跟蹤統計．為方便記錄，他將體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應記作．12．（4分）某房梁如圖所示，立柱AD⊥BC，E，F分別是斜梁AB，AC的中點．若AB＝AC＝8m，則DE的長為m．13．（4分）若反比例函數y=kx的圖象過點（﹣2，1），則常數k＝14．（4分）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F．若OA＝2，OD＝1，則△AOE與△DOF的面積之和為．15．（4分）某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測試，其中聽、說、讀、寫各項成績（百分制）按4：3：2：1的比例計算最終成績．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項測試成績及最終成績如表：項目員工聽說讀寫最終成績甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判斷A，B的大小關系是AB．（填“＞”“＝”或“＜”）16．（4分）彈簧秤是根據胡克定律并利用物體的重力來測量物體質量的．胡克定律為：在彈性限度內，彈簧彈力F的大小與彈簧伸長（或壓縮）的長度x成正比，即F＝kx，其中k為常數，是彈簧的勁度系數；質量為m的物體重力為mg，其中g為常數．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米．在其彈性限度內：當所掛物體的質量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體的質量為千克．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：20+|1?218．（8分）如圖，點E，F分別在AB，AD的延長線上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求證：AB＝AD．19．（8分）先化簡，再求值：(2+1?aa)÷a20．（8分）甲、乙兩人是新華高級中學數學興趣小組成員．以下是他們在參加高中數學聯賽預備隊員集訓期間的測試成績及當地近五年高中數學聯賽的相關信息．信息一：甲、乙兩人集訓期間的測試成績（單位：分）日期隊員2月10日2月21月3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績的平均數分別是x甲=85，x乙=85；方差分別是s甲2＝58.4，s乙信息二：當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎分數線9089908990試根據以上信息及你所學的統計學知識，解決以下問題：（1）計算a的值，并根據平均數與方差對甲、乙的成績進行評價；（2）計算當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線的平均數，并說明：若要從中選擇一人參加高中數學聯賽，選誰更合適；（3）若要從中選擇一人參加進一步的培養，從發展潛能的角度考慮，你認為選誰更合適？為什么？21．（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB的中點，CE⊥BC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF過點A，BE交CD于點G．（1）求∠DCE的大小；（2）求證：△CEG是等邊三角形．22．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＜AD．（1）求作正方形EFGH，使得點E，G分別落在邊AD，BC上，點F，H落在BD上；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的邊長．23．（10分）在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣2的圖象過點A（1，t），B（2，t）．（1）求ba（2）已知二次函數y＝ax2+bx﹣2的最大值為1?3（i）求該二次函數的表達式；（ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）為該二次函數圖象上的不同兩點，且m≠0，求證：(x24．（12分）閱讀材料，回答問題．【主題】兩個正數的積與商的位數探究．【提出問題】小明是一位愛思考的小學生．一次，在完成多位數的乘法時，他根據提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整數與n位的正整數的乘積是一個（m+n﹣1）位的正整數．【分析探究】問題1小明的猜想是否正確？若正確，請給予證明；否則，請舉出反例．【推廣延伸】小明的猜想激發了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數的乘法，進而遷移到對除法的研究，小華將數的“位數”與“數字”的概念進行推廣，規定：如果一個正數用科學記數法表示為a×10n，則稱這個數的位數是n+1，數字是a．借此，小華研究了兩個數乘積的位數問題，提出并證明了以下命題．命題：若正數A，B，C的位數分別為m，n，p，數字分別為a，b，c，且A×B＝C，則必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，當c≥a且c≥b時，p＝m+n﹣1；當c＜a且c＜b時，p＝m+n．證明：依題意知，A，B，C用科學記數法可分別表示為a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均為正數．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，即abc當c≥a且c≥b時，ac≤1，所以abc≤b＜10，又abc≥ac＞110當c≥a且c＜b時，ac≤1bc＞1當c＜a且c≥b時，①；當c＜a且c＜b時，②．綜上所述，命題成立．【拓展遷移】問題2若正數A、B的位數分別為m，n，那么AB（1）解決問題1；（2）請把①②所缺的證明過程補充完整；（3）解決問題2．25．（14分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD，BC的延長線相交于點E，AC，BD相交于點F．G是AB上一點，GD交AC于點H，且AB＝AC，BG＝DG．（1）求證：∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）求證：AH2＝HF?HC；（3）若tan∠ABC=5，AD＝2DE，CD=6，求△

題號12345678910答案A．DDACBBCCA11．【答案】﹣1．【解答】解：為方便記錄，他將體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應記作﹣1．故答案為：﹣1．12．【答案】4．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵E是AB的中點，∴DE=12AB=1故答案為：4．13．【答案】﹣2．【解答】解：∵反比例函數y=k∴k＝﹣2×1＝﹣2，故答案為：﹣2．14．【答案】1．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴△DOF的面積＝△BOE的面積，∴△AOE與△DOF的面積之和＝△BOA的面積=1故答案為：1．15．【答案】＞．【解答】解：由題意得：4A+70×3+80×2+90×14+3+2+1=82，解得4B+90×3+80×2+70×14+3+2+1，解得B∵90＞80，∴A＞B，故答案為：＞．16．【答案】0.8．【解答】解：將F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx，得0.5g＝0.5k，解得k＝g，∴F與x的函數關系式為F＝gx，將x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx，得mg＝0.8g，解得m＝0.8，∴當彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體的質量為0.8千克．故答案為：0.8．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【答案】?2【解答】解：原式=1+=1?1+2=?218．【答案】證明見解答．【解答】證明：∵∠CBE＝∠CDF，∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF，∵∠ABC＝180°﹣∠CBE，∠ADC＝180°﹣∠CDF，∴∠ABC＝∠ADC，在△ABC和△ADC中，∠ABC=∠ADC∠ACB=∠ACD∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB＝AD．19．【答案】1a+1【解答】解：原式=(=a+1=1當a=5原式==1=520．【答案】（1）見解答；（2）（2）選甲更合適，理由見解答；（3）選甲更合適，理由見解答．【解答】解：（1）由題意得：a=110×[2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2兩人的平均數相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成績更穩定；（2）選甲更合適，理由如下：因為當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線都在89分或89分以上，在兩個10次成績中，甲有4次超過89分，乙只有1次超過89分，所以甲獲獎的概率更高，所以選甲更合適；（3）選甲更合適，理由如下：因為在兩個10次成績中，甲有4次達到90分或90以上，乙只有1次達到90分或90以上，所以選甲更合適．21．【答案】（1）60°；（2）見解析．【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵D是AB的中點，∴∠DCB＝∠DCA=12∠ACB∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．（2）證明：由平移可知：CD∥EF，∴∠EAC＝∠DCA＝30°，又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°，又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC，∴∠GEC=12∠AEC由（1）知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°，∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，∴△CEG是等邊三角形．22．【答案】（1）見解析；（2）102【解答】解：（1）正方形EFGH即為所求；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴BD=AB2∴OB＝OD=5∵tan∠ADB=AB∴OE=5∵四邊形EFGH是正方形，∴OE＝OH=52，EO⊥∴EH=2OE=∴正方形EFGH的邊長為10223．【答案】（1）﹣3；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2；②證明見解析．【解答】（1）解：二次函數y＝ax2+bx﹣2的圖象的對稱軸為直線x=?b∵點A（1，t），B（2，t）在該函數的圖象上，∴2?(?b∴?b∴ba（2）①解：由（1）可得，∵b＝﹣3a，∴該函數的表達式為y＝ax2﹣3ax﹣2，∴函數圖象的頂點坐標為(3∵函數的最大值為1?3∴a＜0，且?9解得a＝﹣1，或a＝4（舍去），∴該二次函數的表達式為y＝﹣x2+3x﹣2，②證明：∵點M（x1，m）在函數y＝﹣x2+3x﹣2的圖象上，∴m=?x由①知，點M（x1，m），N（x2，m）關于直線x=32對稱，不妨設x1＜x則x2?32=32∴(=(=(=?m(=?m(＝0，∴(x24．【答案】（1）小明的猜想不正確，反例：3×4＝12；（2）見解析；（3）當A的數字大于或等于B的數字時，AB的位數是m﹣n+1；當A的數字小于B的數字時，AB的位數是m﹣【解答】解：（1）小明的猜想不正確，反例：3×4＝12；（2）①ac＞1，bc≤1，②ac＞1所以abc＞b＞1，又由（*）知abc=10所以p＝m+（3）當A的數字大于或等于B的數字時，AB的位數是m﹣n當A的數字小于B的數字時，AB的位數是m﹣n證明如下：由已知，A，B的位數分別為m，n，設AB=C，A，B，C的數字分別為a，b，c，C的位數為x，則B×C＝由小華的命題知，當a≥b時，必有a≥c，此時，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1，當a＜b時，必有a＜c，此時，m＝n+x，所以x＝m﹣n，綜上所述，當A的數字大于或等于B的數字時，AB的位數是m﹣n當A的數字小于B的數字時，AB的位數是m﹣n25．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）36．【解答