高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校聯合體2025屆高三考前仿真模擬數學試卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.復數的模為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】方法一：，所以.故選：D方法二：.故選：D3.若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】由兩角和的正切公式得.故選：B4.函數的圖象可以由（）A.的圖象向右平移個單位長度，再把曲線上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到B.的圖象向左平移個單位長度，再把曲線上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到C.的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度得到D.的圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度得到【答案】C【解析】對于A：將圖象向右平移個單位長度得到，再將各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到，故A錯誤；對于B：將的圖象向左平移個單位長度得到，再將各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到，故B錯誤；對于C：的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到，再將向右平移個單位長度得到，故C正確；對于D：的圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到，再將向左平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：C5.已知直線與圓：相交于兩點，其中點為圓心，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化為，所以的圓心為，半徑為2.，其中為圓心到直線的距離.因為，所以，因為，所以.故選：B6.在平行四邊形中，若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以平分，所以平行四邊形為菱形，如圖：由兩邊平方得，，所以，所以，所以在上的投影向量為.故選：D7.已知點在拋物線上，記點到軸，到直線的距離分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知拋物線的焦點為，準線方程為，設點到直線的距離為，則.故選：A.8.如圖，三個區域有通道口兩兩相通，一質點從其所在的區域隨機選擇一個通道口進入相鄰的區域，設經過次隨機選擇后質點到達區域的概率為，若質點一開始在區域，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記質點經過次隨機選擇后到達區域的概率為，質點經過次隨機選擇后到達區域的概率為，則有，消去，可得，則，因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即，故.故選：.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.若函數的定義域都為，且為奇函數，為偶函數，則（）A.是偶函數 B.是偶函數C.是奇函數 D.是奇函數【答案】ABD【解析】函數的定義域都為，對于A，因為，所以是偶函數，故A正確；對于B，因為為奇函數，所以，則是偶函數，故B正確；對于C，因為偶函數，則，即是偶函數，故C錯誤；對于D，因，則為偶函數，又因為為奇函數，則是奇函數，故D正確.故選：ABD.10.如圖，在中，若為邊上的點（不包含），，則（）A.外接圓的半徑為B.頂點到的最大距離為C.若為邊的中點，則D.若為邊的中點，則的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，設外接圓的半徑為，由正弦定理得，，所以，所以A錯誤；對于B，由得，頂點在圓弧上運動，當且僅當時，頂點到的最大距離為，所以B正確；對于C，若為邊的中點，則，所以，所以，C正確；對于D，在中，由余弦定理得，當且僅當時取等號，又，則，因此當時，取得最大值，D正確.故選：BCD.11.在三棱錐中，已知分別為，的重心，以下說法正確的是（）A.B.平面C.若，則二面角的大小為D.若，則三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A，取的中點為，連接.由已知得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，因為分別為的重心，所以，且，所以，所以，又平面平面，所以平面，故B正確；對于C，由得二面角的平面角為，因為，則，因為，所以，所以，所以二面角的大小為，故C錯誤；對于D，取的中點為，連接，由得，三棱錐外接球的球心必在的延長線上，設，外接球的半徑為，在中，，則，在中，，則，由得，，解得，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.高三2班第一組的數學期末考試成績分別為，則該組成績的中位數與平均值之差的絕對值為__________.【答案】1【解析】將成績從小到大排列為：，所以該組成績的中位數為，平均值為，所以該組成績的中位數與平均值之差的絕對值為.故答案為：.13.已知雙曲線的半焦距為，過的一個焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】不妨令漸近線方程為，所以，所以，因為的面積為，所以，所以，即，即，，則離心率.故答案為：14.已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，若的圖象與的圖象在軸左側至多有一個公共點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】設點為上任意一點，則其關于直線的對稱點為，且在函數的圖象上，所以，解得，所以，又的圖象與的圖象在軸左側至多有一個公共點，所以方程在上至多有一個解，所以在上至多一個解，記，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由的圖象，易知的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟）15.在一條生產圓鋼的生產線上，出產的成品圓鋼的長度為（單位：，下同），且.（1）若出產這樣的成品圓鋼根，試估計長度在內的圓鋼根數；（2）從這條生產線上出產的圓鋼中隨機抽取根，求這兩根圓鋼其中一根的長度在區間，另一根的長度在區間內的概率（精確到）.參考數據：若，則.解：（1）由已知得，，所以，所以長度在內的圓鋼根數約為.（2）圓鋼的長度在區間的概率為，圓鋼的長度在區間內的概率為，因此這兩根圓鋼其中一根的長度在區間，另一根的長度在區間內的概率為.16.在數列中，已知，數列為等差數列，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式：（3）求數列的前項和.解：（1）因為，所以，因為，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列，所以；（2）由（1）知，.故，設數列的公差為，則，所以；（3），即，所以，兩式相減得，所以，所以.17.已知函數.（1）求的圖象在處的切線方程；（2）設，若在區間上有且只有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）函數，則，所以圖象在處的切線斜率為，所以切線方程為，化簡得，.（2）由已知可得，若在區間上有且只有兩個零點，則在區間上有且只有1個零點.，則，令，則，因為在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增，所以最小值的最大值，①當時，有，則恒成立，則在區間上單調遞增，所以，所以在區間上無零點，舍去；②當時，成立，則在區間上單調遞減，所以，所以在區間上無零點，舍去；③當時，有，又在區間上單調遞增，根據零點存在定理可得，，使得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，又，要使在區間上有且只有一個零點，只需，解得，又，所以.18.在三棱錐中，的平分線交于點，記所在平面為.（1）求直線與所成角的大小；（2）設.（i）若，求點到平面的距離；（ii）探究：在內是否存在兩個不同的定點，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為平面，所以平面，所以直線與所成的角為，因為的平分線交于點，所以，在直角三角形中，，所以，所以，所以；所以直線與所成角為；（2）（i）由（1）得平面，又平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面所以平面平面，過點作于點，因為平面平面，平面，所以平面，則的長度即為點到平面的距離，所以，即點到平面的距離為；（ii）取的中點為的中點為，連接.則，由得，，又，所以，在內過點作，所以，以為原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示.因為，所以，設，又，則，因為，所以，化簡得，，即，所以點在橢圓上運動，所以存在，使得19.已知橢圓長軸長為，左、右焦點分別為，直線與交于兩點，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若.（i）證明：；（ii）若直線經過原點，與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的取值范圍.解：（1）設橢圓的半焦距為，依題意得，當點在短軸端點時面積最大，所以，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）（i）由（1）知，橢圓的方程可化為，設，由消去得，則，，因為，所以，整理得，則，化簡得，，此時成立，所以；（ii）設的中點為，因為，所以，不妨設.又.由，得點坐標為，則所以，化簡得，即，所以，所以四邊形面積的取值范圍為.湖南省名校聯合體2025屆高三考前仿真模擬數學試卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.復數的模為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】方法一：，所以.故選：D方法二：.故選：D3.若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】由兩角和的正切公式得.故選：B4.函數的圖象可以由（）A.的圖象向右平移個單位長度，再把曲線上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到B.的圖象向左平移個單位長度，再把曲線上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到C.的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度得到D.的圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度得到【答案】C【解析】對于A：將圖象向右平移個單位長度得到，再將各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到，故A錯誤；對于B：將的圖象向左平移個單位長度得到，再將各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到，故B錯誤；對于C：的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到，再將向右平移個單位長度得到，故C正確；對于D：的圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到，再將向左平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：C5.已知直線與圓：相交于兩點，其中點為圓心，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化為，所以的圓心為，半徑為2.，其中為圓心到直線的距離.因為，所以，因為，所以.故選：B6.在平行四邊形中，若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以平分，所以平行四邊形為菱形，如圖：由兩邊平方得，，所以，所以，所以在上的投影向量為.故選：D7.已知點在拋物線上，記點到軸，到直線的距離分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知拋物線的焦點為，準線方程為，設點到直線的距離為，則.故選：A.8.如圖，三個區域有通道口兩兩相通，一質點從其所在的區域隨機選擇一個通道口進入相鄰的區域，設經過次隨機選擇后質點到達區域的概率為，若質點一開始在區域，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記質點經過次隨機選擇后到達區域的概率為，質點經過次隨機選擇后到達區域的概率為，則有，消去，可得，則，因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即，故.故選：.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.若函數的定義域都為，且為奇函數，為偶函數，則（）A.是偶函數 B.是偶函數C.是奇函數 D.是奇函數【答案】ABD【解析】函數的定義域都為，對于A，因為，所以是偶函數，故A正確；對于B，因為為奇函數，所以，則是偶函數，故B正確；對于C，因為偶函數，則，即是偶函數，故C錯誤；對于D，因，則為偶函數，又因為為奇函數，則是奇函數，故D正確.故選：ABD.10.如圖，在中，若為邊上的點（不包含），，則（）A.外接圓的半徑為B.頂點到的最大距離為C.若為邊的中點，則D.若為邊的中點，則的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，設外接圓的半徑為，由正弦定理得，，所以，所以A錯誤；對于B，由得，頂點在圓弧上運動，當且僅當時，頂點到的最大距離為，所以B正確；對于C，若為邊的中點，則，所以，所以，C正確；對于D，在中，由余弦定理得，當且僅當時取等號，又，則，因此當時，取得最大值，D正確.故選：BCD.11.在三棱錐中，已知分別為，的重心，以下說法正確的是（）A.B.平面C.若，則二面角的大小為D.若，則三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A，取的中點為，連接.由已知得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，因為分別為的重心，所以，且，所以，所以，又平面平面，所以平面，故B正確；對于C，由得二面角的平面角為，因為，則，因為，所以，所以，所以二面角的大小為，故C錯誤；對于D，取的中點為，連接，由得，三棱錐外接球的球心必在的延長線上，設，外接球的半徑為，在中，，則，在中，，則，由得，，解得，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.高三2班第一組的數學期末考試成績分別為，則該組成績的中位數與平均值之差的絕對值為__________.【答案】1【解析】將成績從小到大排列為：，所以該組成績的中位數為，平均值為，所以該組成績的中位數與平均值之差的絕對值為.故答案為：.13.已知雙曲線的半焦距為，過的一個焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】不妨令漸近線方程為，所以，所以，因為的面積為，所以，所以，即，即，，則離心率.故答案為：14.已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，若的圖象與的圖象在軸左側至多有一個公共點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】設點為上任意一點，則其關于直線的對稱點為，且在函數的圖象上，所以，解得，所以，又的圖象與的圖象在軸左側至多有一個公共點，所以方程在上至多有一個解，所以在上至多一個解，記，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由的圖象，易知的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟）15.在一條生產圓鋼的生產線上，出產的成品圓鋼的長度為（單位：，下同），且.（1）若出產這樣的成品圓鋼根，試估計長度在內的圓鋼根數；（2）從這條生產線上出產的圓鋼中隨機抽取根，求這兩根圓鋼其中一根的長度在區間，另一根的長度在區間內的概率（精確到）.參考數據：若，則.解：（1）由已知得，，所以，所以長度在內的圓鋼根數約為.（2）圓鋼的長度在區間的概率為，圓鋼的長度在區間內的概率為，因此這兩根圓鋼其中一根的長度在區間，另一根的長度在區間內的概率為.16.在數列中，已知，數列為等差數列，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式：（3）求數列的前項和.解：（1）因為，所以，因為，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列，所以；（2）由（1）知，.故，設數列的公差為，則，所以；（3），即，所以，兩式相減得，所以，所以.17.已知函數.（1）求的圖象在處的切線方程；（2）設，若在區間上有且只有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）函數，則，所以圖象在處的切線斜率為，所以切線方程為，化簡得，.（2）由已知可得，若在區間上有且只有兩個零點，則在區間上有且只有1個零點.，則，令，則，因為在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增，所以最小值的最大值，①當時，有，則恒成立，則在區間上單調遞增，所以，所以在區