高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區(qū)2025屆高三下學(xué)期第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，且，則.

故選：A2.已知，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】因?yàn)椋裕詮?fù)數(shù)的實(shí)部為.故選：.3.已知單位向量的夾角為，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄繛閱挝幌蛄浚遥裕矗喌茫驗(yàn)橄蛄康膴A角，所以.故選：B.4.某人工智能模型在語言訓(xùn)練時(shí)，每輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量會(huì)發(fā)生變化.記第一輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為，若從第二輪開始，每一輪與它前一輪相比較，訓(xùn)練的模型參數(shù)增加的數(shù)量可以看成一個(gè)以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，則第五輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，從第二輪開始，該模型參數(shù)增加的數(shù)量為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為，第一輪參數(shù)為,第二輪參數(shù)增加的數(shù)量為,第三輪參數(shù)增加的數(shù)量為,第四輪參數(shù)增加的數(shù)量為，第五輪參數(shù)增加的數(shù)量為,所以第五輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為..故選：C.5.若雙曲線的離心率大于，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，，解得.故選：D.6.已知下列選項(xiàng)中能使既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)：如圖，不符，對于B選項(xiàng)：如圖，符合，對于C選項(xiàng)：如圖，不符，對于D選項(xiàng)：如圖，不符，故選：B.7.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】充分性：因?yàn)椋曰颍?dāng)時(shí)，或，，當(dāng)時(shí)，或，，可得或，所以充分性不成立，必要性：若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，滿足，所以必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.已知直線過點(diǎn)，且上至少有一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則的傾斜角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為圓心，2為半徑作圓C，如圖所示，依題意直線l與圓C至少有一個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)直線l的科率不存在時(shí)，直線l與圓C有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線l的傾斜角；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則，即依題意，解得或，此時(shí)直線l的傾斜角綜上所述，直線l的傾斜角，故直線l的傾斜角的最大值為．故選：C.9.馬赫數(shù)是飛行器的運(yùn)動(dòng)速度與音速的比值.在不考慮空氣阻力的前提下，某飛行器的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、飛行器（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.已知當(dāng)該飛行器所處高空的音速為，最大速度對應(yīng)的馬赫數(shù)分別為8和13時(shí)，燃料的質(zhì)量分別為和，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)馬赫數(shù)為8時(shí)，速度，解得，即，，當(dāng)馬赫數(shù)為13時(shí)，速度，解得，即，，所以,.故選：C.10.設(shè)無窮數(shù)列滿足，則（）A.存在，為等差數(shù)列 B.存在，為等比數(shù)列C.存在，為遞減數(shù)列 D.存在，為遞增數(shù)列【答案】D【解析】選項(xiàng)A：若存在，數(shù)列為等差數(shù)列，則（常數(shù)），即對所有成立，則必須滿足，且，唯一可能解為，此時(shí)或，但不包含端點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若存在，數(shù)列為等比數(shù)列，則（常數(shù)），即，即，若，則與成正比，由的圖象可知，無法保證與的變式速度相同；若，則，僅當(dāng)時(shí)成立，但，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若存在，數(shù)列為遞減數(shù)列，則，即，但時(shí)，，故，數(shù)列遞增，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若存在，數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即，故，數(shù)列遞增，故D正確.故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在中，，，則___________．【答案】【解析】由正弦定理，，則，，且，即，故.所以本題答案為.【『點(diǎn)石成金』】本題考查正弦定理的應(yīng)用和三角形大邊對大角的性質(zhì)，注意仔細(xì)審題，認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.12.已知，則實(shí)數(shù)_____【答案】【解析】因?yàn)椋裕?故答案為：.13.已知直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，則_____；若該拋物線的準(zhǔn)線上的點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值為，則_____.【答案】①.②.【解析】對于拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.將代入拋物線方程，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，即.已知直線過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)除以得；當(dāng)時(shí)，已知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為.設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)，則.因?yàn)椋势渥钚≈禐椋?所以，可得.故答案為：；.14.《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中討論了“垣”“塹”等建筑的體積問題.某工程要完成一個(gè)形如直四棱柱的“塹”型溝渠的土方作業(yè)（如圖），其中與平面所成的角均為，，米，米，米，則需要挖土_____立方米.【答案】【解析】因?yàn)榕c平面所成角均為，且,所以四邊形為等腰梯形，因?yàn)?所以等腰梯形的高，故，所以直四棱柱體積.故答案為：.15.已知曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線為中心對稱圖形；②曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；③曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線上任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論序號是_____.【答案】①③【解析】對于①，假設(shè)曲線的對稱中心為，將對稱點(diǎn)代入原方程：，整理得，與原方程比較系數(shù)，有，解得，說明曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，故①正確；對于②，聯(lián)立與，消去并整理可得，此時(shí)，故曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)時(shí)，原方程不成立，故曲線可變形為，若橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則必須為整數(shù)，故或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)和，故③正確；對于④，由③可知，因?yàn)椋睿?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，同理，由①知曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以當(dāng)和都最小時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)最小，所以，故④錯(cuò)誤.故選：①③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，長方體的底面是正方形，，，點(diǎn)在棱上，平面.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，點(diǎn)在棱上，因?yàn)槠矫妫矫妫移矫嫫矫妫裕詾榈闹悬c(diǎn).（2）解：如圖，以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值．17.已知函數(shù).（1）若最小值為，求的值；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得函數(shù)存在且唯一，求在區(qū)間上的取值范圍.條件①：的圖象關(guān)于和對稱；條件②：在區(qū)間上單調(diào)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；條件③：的最小正周期，且.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1），因?yàn)榈淖钚≈禐椋裕裕唬?）因?yàn)椋裕獾茫裕暨x擇條件①：函數(shù)的對稱軸為，所以，所以，，因?yàn)椋裕裕矗驗(yàn)椋剩遥瑢?yīng)的滿足題意，所以函數(shù)存在且不唯一；若選擇條件②：因在區(qū)間上單調(diào)，所以，所以，又，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕矗裕藭r(shí)當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)減，故符合題設(shè)要求.因?yàn)椋裕裕裕蝗暨x擇條件③：因?yàn)榈淖钚≌芷冢裕裕郑裕驗(yàn)椋裕曰颍曰颍?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕藭r(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋圆淮嬖跐M足不等式的，此時(shí)無解，所以，所以，因?yàn)椋裕裕?18.已知近10年北京市12月和1月歷史氣溫分別如下圖所示.（1）從2016年至2024年這9年中隨機(jī)抽取一年，求該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率；（2）將當(dāng)年12月和次年1月作為當(dāng)年的冬季周期，記當(dāng)年12月平均高溫與平均低溫的差值為（單位：攝氏度），次年1月平均高溫與平均低溫的差值為（單位：攝氏度）.從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至少有2個(gè)冬季周期中的概率；（3）依據(jù)圖2中信息，能否預(yù)測北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度?請說明理由.解：（1）由圖可知從2016年至2024年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的有2017，2018，2020，2022，所以從2016年至2024年這9年中隨機(jī)抽取一年，該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率為；（2）由已知可得從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期分別為，滿足的有個(gè)，從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期中隨機(jī)抽取3個(gè)，至少有2個(gè)冬季周期中的概率為；（3）不能預(yù)測北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度，理由如下：從圖2可以看出，1月平均高溫?cái)?shù)據(jù)雖有波動(dòng)，但沒有明顯的單調(diào)遞增或遞減的線性趨勢，數(shù)據(jù)的波動(dòng)是隨機(jī)的，沒有足夠的依據(jù)能從過去10年的數(shù)據(jù)直接推斷2026年1月平均高溫低于4攝氏度.19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為.且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程及焦距（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).直線的斜率分別記為與，當(dāng)時(shí)，求的面積.解：（1）由題意，因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,且過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為，焦距為.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，，由，化簡得，則，即，所以，即，則，所以直線方程為，，故，且點(diǎn)到直線的距離，所以.20.設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)：（2）當(dāng)時(shí)，證明：（i）1為的極小值點(diǎn)；（ii）對于任意，存在，使得曲線在點(diǎn)處的切線斜率與在點(diǎn)處的切線斜率互為相反數(shù).（1）解：已知，定義域，令，則，解得（舍去）或（舍去）或，故的零點(diǎn)為1.（2）證明：（i）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故1為的極小值點(diǎn).（ii）已知，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)榕c互為相反數(shù)，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知：存在，使得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋睿瑒t，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，故時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故的值域?yàn)椋闯鰞蓚€(gè)函數(shù)的值域有交集，故對于任意，存在，使得曲線在點(diǎn)處的切線斜率與在點(diǎn)處的切線斜率互為相反數(shù).21.已知有窮整數(shù)數(shù)列，滿足.記集合為，或，或，.若數(shù)列，則稱數(shù)列是的“恒元”.（1）已知數(shù)列，請寫出中所有滿足數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在數(shù)列滿足，且是的“恒元”?若存在，請寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)數(shù)列是的“恒元”時(shí)，若是個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值.解：（1）因?yàn)閿?shù)列，所以中的數(shù)列滿足．因?yàn)椋灾兴袧M足的數(shù)列有；；；.（2）假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列，則滿足，有，或，或．所以與同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．所以是偶數(shù)．所以是偶數(shù)．又是奇數(shù)，矛盾．所以假設(shè)不成立，不存在滿足條件的數(shù)列．（3）當(dāng)數(shù)列是的“恒元”時(shí)，因?yàn)閿?shù)列中，是個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列，所以當(dāng)時(shí)，有，且至多一項(xiàng)為1．不妨記，所以，且．當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有.此時(shí)，或．又，所以，，或，．①當(dāng)時(shí)，有，或，所以，或者．當(dāng)時(shí)，有，，，，所以，，.因?yàn)椋裕裕?dāng)時(shí)，有，，，，所以（舍）．②當(dāng)時(shí)，有，或，所以，或者．當(dāng)時(shí)，有，，，，所以，，,所以．當(dāng)時(shí)，有，，，，所以．所以（舍）．又由于數(shù)列和滿足條件．綜上所述，．北京市東城區(qū)2025屆高三下學(xué)期第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，且，則.

故選：A2.已知，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】因?yàn)椋裕詮?fù)數(shù)的實(shí)部為.故選：.3.已知單位向量的夾角為，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄繛閱挝幌蛄浚遥裕矗喌茫驗(yàn)橄蛄康膴A角，所以.故選：B.4.某人工智能模型在語言訓(xùn)練時(shí)，每輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量會(huì)發(fā)生變化.記第一輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為，若從第二輪開始，每一輪與它前一輪相比較，訓(xùn)練的模型參數(shù)增加的數(shù)量可以看成一個(gè)以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，則第五輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，從第二輪開始，該模型參數(shù)增加的數(shù)量為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為，第一輪參數(shù)為,第二輪參數(shù)增加的數(shù)量為,第三輪參數(shù)增加的數(shù)量為,第四輪參數(shù)增加的數(shù)量為，第五輪參數(shù)增加的數(shù)量為,所以第五輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為..故選：C.5.若雙曲線的離心率大于，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，，解得.故選：D.6.已知下列選項(xiàng)中能使既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)：如圖，不符，對于B選項(xiàng)：如圖，符合，對于C選項(xiàng)：如圖，不符，對于D選項(xiàng)：如圖，不符，故選：B.7.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】充分性：因?yàn)椋曰颍?dāng)時(shí)，或，，當(dāng)時(shí)，或，，可得或，所以充分性不成立，必要性：若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，滿足，所以必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.已知直線過點(diǎn)，且上至少有一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則的傾斜角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為圓心，2為半徑作圓C，如圖所示，依題意直線l與圓C至少有一個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)直線l的科率不存在時(shí)，直線l與圓C有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線l的傾斜角；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則，即依題意，解得或，此時(shí)直線l的傾斜角綜上所述，直線l的傾斜角，故直線l的傾斜角的最大值為．故選：C.9.馬赫數(shù)是飛行器的運(yùn)動(dòng)速度與音速的比值.在不考慮空氣阻力的前提下，某飛行器的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、飛行器（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.已知當(dāng)該飛行器所處高空的音速為，最大速度對應(yīng)的馬赫數(shù)分別為8和13時(shí)，燃料的質(zhì)量分別為和，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)馬赫數(shù)為8時(shí)，速度，解得，即，，當(dāng)馬赫數(shù)為13時(shí)，速度，解得，即，，所以,.故選：C.10.設(shè)無窮數(shù)列滿足，則（）A.存在，為等差數(shù)列 B.存在，為等比數(shù)列C.存在，為遞減數(shù)列 D.存在，為遞增數(shù)列【答案】D【解析】選項(xiàng)A：若存在，數(shù)列為等差數(shù)列，則（常數(shù)），即對所有成立，則必須滿足，且，唯一可能解為，此時(shí)或，但不包含端點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若存在，數(shù)列為等比數(shù)列，則（常數(shù)），即，即，若，則與成正比，由的圖象可知，無法保證與的變式速度相同；若，則，僅當(dāng)時(shí)成立，但，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若存在，數(shù)列為遞減數(shù)列，則，即，但時(shí)，，故，數(shù)列遞增，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若存在，數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即，故，數(shù)列遞增，故D正確.故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在中，，，則___________．【答案】【解析】由正弦定理，，則，，且，即，故.所以本題答案為.【『點(diǎn)石成金』】本題考查正弦定理的應(yīng)用和三角形大邊對大角的性質(zhì)，注意仔細(xì)審題，認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.12.已知，則實(shí)數(shù)_____【答案】【解析】因?yàn)椋裕?故答案為：.13.已知直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，則_____；若該拋物線的準(zhǔn)線上的點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值為，則_____.【答案】①.②.【解析】對于拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^點(diǎn)作軸的垂線，垂足為拋物線的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.將代入拋物線方程，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，即.已知直線過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)除以得；當(dāng)時(shí)，已知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為.設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)，則.因?yàn)椋势渥钚≈禐椋?所以，可得.故答案為：；.14.《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中討論了“垣”“塹”等建筑的體積問題.某工程要完成一個(gè)形如直四棱柱的“塹”型溝渠的土方作業(yè)（如圖），其中與平面所成的角均為，，米，米，米，則需要挖土_____立方米.【答案】【解析】因?yàn)榕c平面所成角均為，且,所以四邊形為等腰梯形，因?yàn)?所以等腰梯形的高，故，所以直四棱柱體積.故答案為：.15.已知曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線為中心對稱圖形；②曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；③曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線上任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，.其中正確結(jié)論序號是_____.【答案】①③【解析】對于①，假設(shè)曲線的對稱中心為，將對稱點(diǎn)代入原方程：，整理得，與原方程比較系數(shù)，有，解得，說明曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，故①正確；對于②，聯(lián)立與，消去并整理可得，此時(shí)，故曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)時(shí)，原方程不成立，故曲線可變形為，若橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則必須為整數(shù)，故或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故曲線恰好經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)和，故③正確；對于④，由③可知，因?yàn)椋睿?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，同理，由①知曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以當(dāng)和都最小時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)最小，所以，故④錯(cuò)誤.故選：①③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，長方體的底面是正方形，，，點(diǎn)在棱上，平面.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，點(diǎn)在棱上，因?yàn)槠矫妫矫妫移矫嫫矫妫裕詾榈闹悬c(diǎn).（2）解：如圖，以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值．17.已知函數(shù).（1）若最小值為，求的值；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得函數(shù)存在且唯一，求在區(qū)間上的取值范圍.條件①：的圖象關(guān)于和對稱；條件②：在區(qū)間上單調(diào)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；條件③：的最小正周期，且.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1），因?yàn)榈淖钚≈禐椋裕裕唬?）因?yàn)椋裕獾茫裕暨x擇條件①：函數(shù)的對稱軸為，所以，所以，，因?yàn)椋裕裕矗驗(yàn)椋剩遥瑢?yīng)的滿足題意，所以函數(shù)存在且不唯一；若選擇條件②：因在區(qū)間上單調(diào)，所以，所以，又，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕矗裕藭r(shí)當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)減，故符合題設(shè)要求.因?yàn)椋裕裕裕蝗暨x擇條件③：因?yàn)榈淖钚≌芷冢裕裕郑裕驗(yàn)椋裕曰颍曰颍?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕藭r(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋圆淮嬖跐M足不等式的，此時(shí)無解，所以，所以，因?yàn)椋裕裕?18.已知近10年北京市12月和1月歷史氣溫分別如下圖所示.（1）從2016年至2024年這9年中隨機(jī)抽取一年，求該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率；（2）將當(dāng)年12月和次年1月作為當(dāng)年的冬季周期，記當(dāng)年12月平均高溫與平均低溫的差值為（單位：攝氏度），次年1月平均高溫與平均低溫的差值為（單位：攝氏度）.從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至少有2個(gè)冬季周期中的概率；（3）依據(jù)圖2中信息，能否預(yù)測北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度?請說明理由.解：（1）由圖可知從2016年至2024年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的有2017，2018，2020，2022，所以從2016年至2024年這9年中隨機(jī)抽取一年，該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率為；（2）由已知可得從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期分別為，滿足的有個(gè)，從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期中隨機(jī)抽取3個(gè)，至少有2個(gè)冬季周期中的概率為；（3）不能預(yù)測北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度，理由如下：從圖2可以看出，1月平均高溫?cái)?shù)據(jù)雖有波動(dòng)，但沒有明顯的單調(diào)遞增或遞減的線性趨勢，數(shù)據(jù)的波動(dòng)是隨機(jī)的，沒有足夠的依據(jù)能從過去10年的數(shù)據(jù)直接推斷2026年1月平均高溫低于4攝氏度.19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為.且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程及焦距（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).直線的斜率分別記為與，當(dāng)時(shí)，求的面